Sferoid

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
OblateSpheroid.PNG
ProlateSpheroid.png
sferoid pepat sferoid lonjong

Sebuah sferoid, atau elipsoid revolusi adalah permukaan kuadrat yang diperoleh dengan memutar suatu elips di salah satu sumbu utamanya; dengan kata lain, suatu elipsoid dengan dua semi-diameter yang sama.

Jika elips diputar di sumbu utamanya, hasilnya adalah sebuah sferoid lonjong (ditarik) seperti bola rugbi. Jika elips diputar di sumbu kecilnya, hasilnya adalah sebuah sferoid pepat (ditekan) seperti lentil. Jika awal elips tersebut berupa lingkaran, hasilnya adalah sebuah sfer.

Akibat efek gabungan gravitasi dan rotasi, bentuk Bumi secara kasar berupa bola yang sedikit pepat di arah sumbunya. Karena itu, dalam kartografi Bumi sering dianggap sebagai sferoid pepat, bukan bola. Model Sistem Geodesi Dunia saat ini menggunakan sferoid yang radiusnya diperkirakan sepanjang 6.378,137 km di khatulistiwa dan 6.356,752 km di kutub (perbedaan sebesar 21 km).

Persamaan[sunting | sunting sumber]

Sebuah sferoid terpusat di asal "y" dan berputar di sumbu z ditetapkan dengan persamaan implisit

\left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{a}\right)^2+\left(\frac{z}{b}\right)^2 = 1\quad\quad\hbox{ or }\quad\quad\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1

a adalah radius horizontal melintang di khatulistiwa, dan b adalah radius vertikal terkumpul.[1]

Luas permukaan[sunting | sunting sumber]

Sebuah sferoid lonjong memiliki luas permukaan

2\pi\left(a^2+\frac{a b \alpha}{\sin(\alpha)}\right)

\alpha=\arccos\left(\frac{a}{b}\right) adalah eksentrisitas sudut sferoid lonjong, dan e=\sin(\alpha) adalah eksentrisitas normalnya.

Sebuah sferoid pepat memiliki luas permukaan

2\pi\left[a^2+\frac{b^2}{\sin(\alpha)} \ln\left(\frac{1+ \sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\right)\right] di mana \alpha=\arccos\left(\frac{b}{a}\right) adalah eksentrisitas sudut sferoid pepat.

Volum[sunting | sunting sumber]

Volum sferoid (jenis apapun) adalaha \frac{4}{3}\pi a^2b \approx 4.19\, a^2b. Jika A=2a adalah diameter khatulistiwa, dan B=2b adalah khatulistiwa kutub, maka volumnya adalah \frac{1}{6}\pi A^2B \approx 0.523\, A^2B.

Kelengkungan[sunting | sunting sumber]

Jika suatu sferoid diparameterkan sebagai

 \vec \sigma (\beta,\lambda) = (a \cos \beta \cos \lambda, a \cos \beta \sin \lambda, b \sin \beta);\,\!

di mana \beta\,\! adalah lintang parametrik atau terkurang, \lambda\,\! adalah bujur, dan -\frac{\pi}{2}<\beta<+\frac{\pi}{2}\,\! dan -\pi<\lambda<+\pi\,\!, maka kelengkungan Gauss-nya adalah

 K(\beta,\lambda) = {b^2 \over (a^2 + (b^2 - a^2) \cos^2 \beta)^2};\,\!

dan kelengkungan rata-ratanya adalah

 H(\beta,\lambda) = {b (2 a^2 + (b^2 - a^2) \cos^2 \beta) \over 2 a (a^2 + (b^2 - a^2) \cos^2 \beta)^{3/2}}.\,\!

Kedua kelengkungan ini selalu positif, jadi setiap titik di suatu sferoid bersifat elips.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan kaki[sunting | sunting sumber]

  1. ^ The computist's manual of facts, and merchant's and mechanic's calculator

Pranala luar[sunting | sunting sumber]