Partisi selang

Dalam matematika, partisi dari selang $\left[a,\,b\right]$ pada garis bilangan adalah himpunan berhingga bilangan riil terurut ${\mathcal {P}}=\left\{x_{0},\,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right\}$ sedemikian sehingga

$x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}$
$x_{0}=a$ dan $x_{n}=b$

Dengan menggunakan istilah lain, partisi dari selang kompak $I$ adalah barisan bilangan yang naik sejati (yang berada pada selang $I$ itu sendiri) dimulai dari titik awal dari $I$ dan berakhir di titik akhir dari $I$ .

Setiap selang dalam bentuk $\left[x_{i},\,x_{i+1}\right]$ disebut sebagai selang bagian^{[butuh rujukan]} atau subinterval dari partisi $\left[a,\,b\right]$ .

Partisi Penghalus[sunting | sunting sumber]

Misalkan ${\mathcal {P}}=\left\{x_{0},\,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right\}$ adalah partisi dari selang $\left[a,\,b\right]$ . Partisi ${\mathcal {Q}}$ dari interval $\left[a,\,b\right]$ disebut sebagai penghalus dari partisi ${\mathcal {P}}$ jika ${\mathcal {P}}\subset {\mathcal {Q}}$ .^[1]

Diberikan dua partisi ${\mathcal {P}}_{1}$ dan ${\mathcal {P}}_{2}$ dari selang $\left[a,\,b\right]$ . Maka, dapat dikonstruksikan partisi sekutu (dinotasikan dengan ${\mathcal {P}}_{1}\lor {\mathcal {P}}_{2}$ ) yang diperoleh dari ${\mathcal {P}}_{1}\cup {\mathcal {P}}_{2}$ .^[2]

Norma Partisi[sunting | sunting sumber]

Norma (atau mesh) dari partisi

{\mathcal {P}}=\left\{x_{0},\,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right\}

didefinisikan sebagai panjang subinterval terpanjang.^[3]^[4] Secara matematis,

\|{\mathcal {P}}\|=\max \left\{x_{1}-x_{0},\,x_{2}-x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}-x_{n-1}\right\}

Partisi Bertanda[sunting | sunting sumber]

Jika dipilih suatu titik $t_{i}\in \left[x_{i-1},\,x_{i}\right]$ (yang disebut tag) dimana $i=1,\,2,\,\ldots ,\,n$ , maka himpunan

{\mathcal {P}}=\left\{\left(\left[x_{0},\,x_{1}\right],\,t_{1}\right),\,\left(\left[x_{1},\,x_{2}\right],\,t_{2}\right),\,\ldots ,\,\left(\left[x_{n\,-\,1},\,x_{n}\right],\,t_{n}\right)\right\}

disebut Partisi bertanda (atau partisi tag) dari

\left[a,\,b\right]

.^[5] Dengan kata lain, partisi bertanda adalah partisi suatu interval terbatas

I

, beserta suatu elemen dari setiap subintervalnya.

Penerapan[sunting | sunting sumber]

Konsep partisi merupakan bagian penting dari definisi konsep integral, seperti integral Riemann, integral Darboux, integral Riemann–Stieltjes, dan regulated integral. Saat partisi intervalnya terus diperhalus, maka norma partisi nya mendekati nol dan nilai dari jumlahan Riemann nya pada selang yang diberikan akan mendekati integral Riemann.^[6]

Lihat juga[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

^ Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2010). Introduction to Real Analysis [Pengantar Analisis Riil] (PDF) (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-4). Wiley. hlm. 226. ISBN 9780471433316.
^ Brannan, D. A. (2006). A First Course in Mathematical Analysis [Kursus Pertama dalam Analisis Matematika] (dalam bahasa Inggris). Cambridge University Press. hlm. 262. ISBN 9781139458955.
^ Hijab, Omar (2011). Introduction to Calculus and Classical Analysis [Pengantar Kalkulus dan Analisis Klasik] (dalam bahasa Inggris). Springer. hlm. 60. ISBN 9781441994882.
^ Zorich, Vladimir A. (2004). Mathematical Analysis II [Analisis Matematika II] (dalam bahasa Inggris). Springer. hlm. 108. ISBN 9783540406334.
^ Dudley, Richard M.; Norvaiša, Rimas (2010). Concrete Functional Calculus [Kalkulus Fungsional Konkret] (dalam bahasa Inggris). Springer. hlm. 2. ISBN 9781441969507.
^ Ghorpade, Sudhir; Limaye, Balmohan (2006). A Course in Calculus and Real Analysis [Sebuah kursus dalam Kalkulus dan Analisis Riil] (dalam bahasa Inggris). Springer. hlm. 213. ISBN 9780387364254.

Bacaan Lanjutan[sunting | sunting sumber]

Gordon, Russell A. (1994). The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock [Integral Lebesgue, Denjoy, Perron, dan Henstock]. Graduate Studies in Mathematics (dalam bahasa Inggris). 4. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3805-9.

[1] Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2010). Introduction to Real Analysis [Pengantar Analisis Riil] (PDF) (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-4). Wiley. hlm. 226. ISBN 9780471433316.

[2] Brannan, D. A. (2006). A First Course in Mathematical Analysis [Kursus Pertama dalam Analisis Matematika] (dalam bahasa Inggris). Cambridge University Press. hlm. 262. ISBN 9781139458955.

[3] Hijab, Omar (2011). Introduction to Calculus and Classical Analysis [Pengantar Kalkulus dan Analisis Klasik] (dalam bahasa Inggris). Springer. hlm. 60. ISBN 9781441994882.

[4] Zorich, Vladimir A. (2004). Mathematical Analysis II [Analisis Matematika II] (dalam bahasa Inggris). Springer. hlm. 108. ISBN 9783540406334.

[5] Dudley, Richard M.; Norvaiša, Rimas (2010). Concrete Functional Calculus [Kalkulus Fungsional Konkret] (dalam bahasa Inggris). Springer. hlm. 2. ISBN 9781441969507.

[6] Ghorpade, Sudhir; Limaye, Balmohan (2006). A Course in Calculus and Real Analysis [Sebuah kursus dalam Kalkulus dan Analisis Riil] (dalam bahasa Inggris). Springer. hlm. 213. ISBN 9780387364254.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]