Polinomial karakteristik

Dalam aljabar linear, polinomial karakteristik matriks persegi merupakan sebuah polinomial yang invarian di bawah kesebangunan matriks dan memiliki eigennilai sebagai akar. Ini memiliki determinan dan teras dari matriks di antara koefisiennya. Polinomial karakteristik keendomorfan ruang vektor dimensi hingga merupakan polinomial karakteristik dari matriks dari keendomorfan di suatu basis, ini tidak bergantung pada pemilihan basis. Persamaan karakteristik, juga dikenal sebagai persamaan determinan, adalah persamaan yang diperoleh dengan menyamakan polinomial karakteristik dengan nol.

Dalam teori graf spektral, polinomial karakteristik graf merupakan polinomial karakteristik dari matriks kedampingan.

Motif

Diberikan sebuah matriks persegi $A$, kita ingin mencari sebuah polinomial yang nolnya adalah eigennilai $A$. Untuk sebuah matriks diagonal $A$, polinomial karakteristik mudah didefinisikan: jika entri-entri diagonal adalah $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, dst. maka polinomial karakteristiknya akan menjadi:

$$(t-a_{1})(t-a_{2})(t-a_{3})\cdots$$

Ini bekerja karena entri-entri diagonalnya juga eigennilai matriks ini.

Untuk sebuah matriks umum $A$, satunya dapat diteruskan sebagai berikut. Sebuah skalar $\lambda$ adalah sebuah eigennilai $A$ jika dan hanya jika terdapat sebuah vektor taknol $\mathbf {v}$; disebut sebuah eigenvektor, sehingga

$$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$$

atau, dengan setara,

$$(\lambda I-A)\mathbf {v} =0$$

(dimana $I$ adalah matriks identitas). Karena $\mathbf {v}$ harus menjadi taknol, ini berarti bahwa matriks $\lambda I-A$ memiliki sebuah kernel taknol. Demikian matriks ini tidak terbalikkan, dan samanya adalah benar untuk determinannya, yang oleh karena itu harus menjadi nol. Demikian eigennilai $A$ adalah akar $\det(\lambda I-A)$, yang mana sebuah polinomial dalam $\lambda$.

Definisi formal

Kita anggap sebuah matriks $A$ dengan ukuran $n\times n$. Polinomial karakterisitik $A$, dilambangkan oleh $p_{A}(t)$, merupakan sebuah polinomial didefinisikan oleh

$$p_{A}(t)=\det(tI-A)$$

dimana $I$ melambangkan matriks identitas dengan ukuran $n\times n$.

Beberapa penulis mendefinisikan polinomial karakteristik menjadi $\det(A-tI)$. Polinomial itu membedakan dari satu yang didefinisikan disini oleh sebuah tanda $(-1)^{n}$, jadi ini tidak ada perbedaan untuk sifat-sifat seperti memiliki sebagai akar eigennilai $A$; namun definisi di atas selalu memberikan sebuah polinomial monik, sedangkan definisi altenatifnya hanya monik ketika $n$ adala genap.

Contoh-contoh

Andaikan kita ingin menghitung polinomial karakteristik dari matriks

$A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}$.

Kita sekarang menghitung determinan dari

$tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}$

yang mana $(t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1$, polinomial karakteristik $A$. Contoh lainnya menggunakan fungsi hiperbolik dari sebuah sudut hiperbolik $\varphi$. Untuk matriksnya ambillah

$A={\begin{pmatrix}\cosh(\varphi )&\sinh(\varphi )\\\sinh(\varphi )&\cosh(\varphi )\end{pmatrix}}$.

Polinomial karakteristiknya adalah

$\det(tI-A)=(t-\cosh(\varphi ))^{2}-\sinh ^{2}(\varphi )=t^{2}-2t\ \cosh(\varphi )+1=(t-e^{\varphi })(t-e^{-\varphi })$.

Sifat-sifat

Polinomial karakteristik $p_{A}(t)$ dari sebuah matriks $n\times n$ adalah monik (koefisien yang ditujunya adalah 1) dan derajatnya adalah $n$. Fakta yang paling terpenting mengenai polinomial karakteristik sudah disebutkan dalam paragraf motif: eigennilai $A$ tepatnya akar dari $p_{A}(t)$ (ini juga berlaku untuk polinomial minimal $A$, tapi derajatnya dapat lebih kecil dari $n$). Semua koefisien dari polinomial karakteristik adalah ekspresi polinomial dalam entri-entri dari matriks. Khususnya koefisien tetapannya $p_{A}(0)$ adalah

$\det(-A)=(-1)^{n}\det(A)$,

koefisiennya $t^{n}$ adalah satu, dan koefisien $t^{n-1}$ adalah $\operatorname {tr} (-A)=-\operatorname {tr} (A)$, dimana $\operatorname {tr} (A)$ adalah teras $A$. (Tandanya yang diberikan disini berpadanan dengan definisi formal yang diberikan dalam bagian sebelumnya; untuk definisi alternatif ini akan sebagai gantinya masing-masing menjadi $\det(A)$ dan $(-1)^{n-1}\operatorname {tr} (A)$.) Untuk sebuah matriks $A$ dengan ukuran $2\times 2$, polinomial karakterisitiknya demikian diberikan oleh

$t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A)$.

Menggunakan bahasa aljabar luar, salah satunya dapat secara kompak mengekspresikan polinomial karakteristik dari sebuah matriks $A$ dengan ukuran $n\times n$ sebagai

$p_{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}t^{n-k}(-1)^{k}\operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{k}A\right)$

dimana $\operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{k}A\right)$ adalah teras dari kuasa luar dari $A$, yang memiliki dimensi ${\binom {n}{k}}$. Teras ini dapat dihitung sebagai jumlah semua minor utama $A$ dari ukuran $k$. Algoritme Faddeev–LeVerrier rekursif menghitung koefisien-koefisien ini lebih efisien. Ketika karakteristik dari medan dari koefisien adalah 0, setiap seperti teras dapat secara alternatif dihitung sebagia sebuah determinan tunggal, yang dari matriks $k\times k$,

$\operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{k}A\right)={\frac {1}{k!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\cdots &\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&&\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&&\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}$

Teorema Cayley–Hamilton menyatakan bahwa menggantikan $t$ oleh $A$ dalam polinomial karakteristik (menginterpretasi hasil pangkat sebagai kuasa matriks, dan suku tetapan $c$ sebagai $c$ dikali matriks identitas) menghasilkan matriks nol. Pembicaraan secara informal, setiap matriks memenuhi persamaan karakteristiknya sendiri. Pernyataan ini setara untuk mengatakan bahwa polinomial minimal $A$ membagi polinomial karakteristik $A$.

Dua matriks serupa memiliki polinomial karakteristik yang sama. Namun sebaliknya tidak benar secara umum: matrks dengan polinomial karakteristik tidak dibutuhkan menjadi serupa.

Matriks $A$ dan transposnya memiliki polinomial karakteristik yang sama. $A$ serupa dengan sebuah matriks segitiga jika dan hanya jika polinomial karakteristiknya dapat difaktorkan dengan lengkap menjadi faktor linear atas $K$ (kesamaannya benar dengan polinomial minimal sebagai gantinya dari polinomial karakteristik). Dalam kasus ini, $A$ serupa dengan sebuah matriks dalam bentuk normal Jordan.

Polinomial karakteristik dari sebuah darab dua matriks

Jika $A$ dan $B$ adalah dua matriks persegi $n\times n$, maka polinomial karakteristik $AB$ dan $BA$ berimpit:

$p_{AB}(t)=p_{BA}(t)$.

Ketika $A$ adalah taksingular, hasil berikut ini dari fakta bahwa $AB$ dan $BA$ adalah serupa:

$BA=A^{-1}(AB)A$.

Untuk kasusnya dimana $A$ dan $B$ adalah tunggal, satunya dapat ditandai bahwa identitas yang diinginkan adalah sebuah persamaan di antara polinomial dalam $t$ dan koefisiennya dari matriks. Dengan demikian, untuk membuktikan persamaan ini, ini cukup untuk membuktikan bahwa ini sah pada sebuah himpunan bagian buka takkosong (untuk topologi biasanya, atau, lebih umumnya, untuk topologi Zariski) dari ruang semua koefisiennya. Karena matriks taksingular membentuk seperti himpunan bagian bukan dari ruang semua matriks, ini membuktikan hasilnya. Lebih umumnya, jika $A$ adalah sebuah matriks ordo $m\times n$ dan $B$ adalah matriks ordo $n\times m$, maka $AB$ adalah $m\times m$ dan $BA$ adalah matriks $n\times n$, dan satunya memiliki

$p_{BA}(t)=t^{n-m}p_{AB}(t)$.

Untuk membuktikan ini, satunya dapat menganggap $n>m$ dengan menukarkan, jika diperlukan, $A$ dan $B$. Kemudian, oleh berbatasan dengan $A$ di bawahnya oleh baris $n-m$ nolnya, dan $B$ di sebelah kanan, oleh, kolom $n-m$ nolnya, salah satunya mendapatkan dua matriks $n\times n$, yaitu $A'$ dan $B'$ sehingga $B'A'=BA$ dan $A'B'$ sama dengan $AB$ berbatasan dengan baris dan kolom $n-m$ nolnya. Hasil berikut dari kasus matriks persegi, dengan membandingkan polinomial karakteristik $A'B'$ dan $AB$.

Polinomial karakteristik dari $A^{k}$

Jika $\lambda$ adalah sebuah eigennilai dari sebuah matriks persegi $A$ dengan eigenvektor $\mathbf {v}$, maka jelas $\lambda ^{k}$ adalah sebuah eigennilai dari $A^{k}$

$A^{k}{\textbf {v}}=A^{k-1}A{\textbf {v}}=\lambda A^{k-1}{\textbf {v}}=\dots =\lambda ^{k}{\textbf {v}}$

Perkaliannya dapat ditunjukkan untuk menyetujui sebagai berikut, dan ini merampat untuk suatu polinomial dalam tempat $x^{k}$:

Teorema — Misalkan $menjadisebuahmatrikspersegi<math>n\times n$ dan misalkan $f(t)$ menjadi sebuah polinomial. Jika polinomial karakteristik $A$ memiliki sebuah faktorisasi.

$p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})(t-\lambda _{2})\cdots (t-\lambda _{n})$

maka polinomial karakteristik dari matriks $f(A)$ diberikan oleh

$p_{f(A)}(t)=(t-f(\lambda _{1}))(t-f(\lambda _{2}))\cdots (t-f(\lambda _{n})).$

Yaitu, perkalian aljabar $\lambda$ dalam $f(A)$ sama dengan jumlah perkalian aljabar $\lambda '$ di $A$ atas $\lambda '$ sehingga $f(\lambda ')=\lambda$. Khususnya,

$\operatorname {tr} (f(A))=\sum _{i=1}^{n}f(\lambda _{i})$

dan

$\operatorname {det} (f(A))=\prod _{i=1}^{n}f(\lambda _{i})$.

Disini sebuah polinomial $f(t)=t^{3}+1$, contohnya, dievaluasi pada sebuah matriks $A$ disederhanakan sebagai $f(A)=A^{3}+1$.

Teoremanya berlaku dengan matriks dan polinomial atas suatu medan atau gelanggang komutatif. Namun, asumsinya bahwa $p_{A}(t)$ memiliki sebuah faktorisasi ke dalam faktor linear tidak selalu benar, kecuali matriksnya atas sebuah medan tertutup secara aljabar seperti bilangan kompleks.

Fungsi sekuler dan persamaan sekuler

Fungsi sekuler

Istilah fungsi sekuler telah digunakan untuk apa yang sekarang disebut polinomial karakteristik (dalam beberapa sastra istilah fungsi sekuler masih digunakan). Istilahnya datang dari polinomial karakteristik digunakan untuk menghitung usikan sekuler (pada sebuah skala waktu mengenai sebuah abad, yaitu, dibandingkan dengan perlahan untuk gerakan tahunan) mengenai orbit planet, menurut teori Lagrange mengenai ayunan.

Persamaan sekuler

Persamaan sekuler memiliki beberapa arti.

• Dalam aljabar linear, ini terkadang digunakan dalam tempat persamaan karakteristik.
• Dalam astronomi, ini adalah ekspresi aljabar atau numerik dari besaran mengenai pertidaksamaan dalam sebuah gerakan planet yang tetap setelah pertidaksamaan mengenai sebuah kala pendek telah dimungkinkan untuk.

• Dalam perhitungan orbital molekul mengaitkan dengan energi dari elektron dan fungsi gelombangnya juga digunakan sebagai gantinya dari persamaan karakteristik.

Untuk aljabar asosiatif umum

Definisi di atas mengenai polinomial karakteristik mengenai sebuah matriks $A\in M_{n}(F)$ dengan entri-entri dalam sebuah medan $F$ merampat tanpa suatu perubahan dengan kasus ketika $F$ hanyalah sebuah gelanggang komutatif. (Garibaldi 2004) mendefinisikan polinomial karakteristik untuk aljabar berdimensi hingga sembarang (asosiatif, tetapi tidak perlu komutatif) atas sebuah medan $F$ dan membuktikan sifat-sifat standar dari polinomial karakteristik dalam keadaan umum ini.

Lihat pula

• Persamana karakteristik (disambiguasi)
• Polinomial minimal (aljabar linear)
• Invarian tensor
• Matriks pendamping
• Algoritme Faddeev–LeVerrier
• Teorema Cayley–Hamilton
• Algoritme Samuelson–Berkowitz

Referensi

• T.S. Blyth & E.F. Robertson (1998) Basic Linear Algebra, hlm. 149, Springer ISBN 3-540-76122-5.
• John B. Fraleigh & Raymond A. Beauregard (1990) Linear Algebra 2nd edition, hlm. 246, Addison-Wesley ISBN 0-201-11949-8.
• Garibaldi, Skip (2004), "The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions", American Mathematical Monthly, 111 (9): 761–778, arXiv:math/0203276 , doi:10.2307/4145188, JSTOR 4145188, MR 2104048 
• Werner Greub (1974) Linear Algebra 4th edition, pp 120–5, Springer, ISBN 0-387-90110-8.
• Paul C. Shields (1980) Elementary Linear Algebra 3rd edition, hlm. 274, Worth Publishers ISBN 0-87901-121-1.
• Gilbert Strang (1988) Linear Algebra and Its Applications 3rd edition, hlm. 246, Brooks/Cole ISBN 0-15-551005-3.