Lihat sumber Kalkulus vektor

{{sect-stub}}
{{Kalkulus}}
'''Kalkulus Vektor''' (Bahasa Inggris: Vector Calculus) (atau sering disebut '''Analisis Vektor''') dalam [[matematika]] adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari analisis riil dari [[vektor]] dalam dua atau lebih dimensi. Cabang ilmu ini sangat berguna bagi para insinyur dan fisikawan dalam menyelesaikan masalah karena mengandung teknik-teknik dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor.

Salah satu fokus dari kalkulus vektor adalah permasalahan bidang skalar, di mana terdapat suatu nilai dalam setiap titik dalam ruang. Contoh dari bidang skalar adalah temperatur udara di dalam suatu kamar. Kalkulus vektor juga fokus pada bidang vektor, di mana terdapat suatu vektor dalam setiap titik dalam ruang.

== Ruang Lingkup ==
Kalkulus vektor melingkupi operasi vektor, diferensial vektor, integral vektor, dan teorema-teorema yang berhubungan dengan operasi [[Kalkulus vektor#Nabla|nabla]].

==Aljabar vektor==
{{main|Vektor Euklides#Properti dasar}}
Operasi aljabar (non-diferensial) dalam kalkulus vektor disebut sebagai [[aljabar vektor]], didefinisikan untuk ruang vektor dan kemudian diterapkan secara global ke bidang vektor. Operasi aljabar dasar terdiri dari:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+Notasi dalam kalkulus vektor
|-
!scope="col"|Operasi
!scope="col"|Notasi
!scope="col"|Deskripsi
|-
![[Penambahan vektor]]
|<math>\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2</math>
|Penjumlahan dua vektor, menghasilkan vektor.
|-
!scope="row"|[[Perkalian skalar]]
|<math>a \mathbf{v}</math>
|Perkalian skalar dan vektor, menghasilkan vektor.
|-
!scope="row"|[[Produk titik]]
|<math>\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2</math>
|Perkalian dua vektor, menghasilkan skalar.
|-
!scope="row"|[[Produk silang]]
|<math>\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2</math>
|Perkalian dua vektor pada <math>\mathbb R^3</math>, menghasilkan vektor (pseudo).
|}

Yang juga biasa digunakan adalah keduanya [[produk tiga kali lipat]]:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+Hasil kali tiga kalkulus vektor
|-
!scope="col"|Operasi
!scope="col"|Notasi
!scope="col"|Deskripsi
|-
!scope="row"|[[Produk triple skalar]]
|<math>\mathbf{v}_1\cdot\left( \mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3 \right)</math>
|Produk titik dari perkalian silang dua vektor.
|-
!scope="row"|[[Produk triple vektor]]
|<math>\mathbf{v}_1\times\left( \mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3 \right)</math>
|Produk silang dari perkalian dua vektor.
|}

== Operator dan teorema ==
{{main|Identitas kalkulus vektor}}
===Operator diferensial===
{{main|Gradien|Perbedaan|Curl (matematika)|Laplacian}}
Kalkulus vektor mempelajari berbagai [[operator diferensial]] yang ditentukan pada bidang skalar atau vektor, yang biasanya dinyatakan dalam operator [[del]] (<math>\nabla</math>), juga dikenal sebagai "nabla". Tiga [[operator vektor]] dasar adalah:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+Operator diferensial dalam kalkulus vektor
|-
!scope="col"|Operasi
!scope="col"|Notasi
!scope="col"|Deskripsi
!scope="col"|[[Notasi untuk diferensiasi#Notasi dalam kalkulus vektor|Notasional<br/>analogi]]
!scope="col"|Domain
|-
!scope="row"|[[Gradien]]
|<math>\operatorname{grad}(f)=\nabla f</math>
|Mengukur laju dan arah perubahan dalam bidang skalar.
|[[Perkalian skalar]]
|Memetakan bidang skalar ke bidang vektor.
|-
!scope="row"|[[Perbedaan]]
|<math>\operatorname{div}(\mathbf{F})=\nabla\cdot\mathbf{F}</math>
|Mengukur skalar sumber atau sink pada titik tertentu dalam bidang vektor.
|[[Produk titik]]
|Memetakan bidang vektor ke bidang skalar.
|-
!scope="row"|[[Kurl (matematika)|Kurl]]
|<math>\operatorname{curl}(\mathbf{F})=\nabla\times\mathbf{F}</math>
|Mengukur kecenderungan untuk memutar di sekitar titik dalam bidang vektor di <math>\mathbb R^3</math>.
|[[Produk silang]]
|Maps vector fields to (pseudo)vector fields.
|-
!scope="row" colspan=5|<math>f</math> menunjukkan bidang skalar dan <math>F</math> menunjukkan bidang vektor
|}

Yang juga umum digunakan adalah dua operator Laplace:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+Operator Laplace dalam kalkulus vektor
|-
!scope="col"|Operasi
!scope="col"|Notasi
!scope="col"|Deskripsi
!scope="col"|Domain / Rentang
|-
!scope="row"|[[Operator Laplace|Laplacian]]
|<math>\Delta f=\nabla^2 f=\nabla\cdot \nabla f</math>
|Mengukur selisih antara nilai bidang skalar dengan rata-ratanya pada bola yang sangat kecil.
|Peta antar bidang skalar.
|-
!scope="row"|[[Vektor Laplacian]]
|<math>\nabla^2\mathbf{F}=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{F})-\nabla \times (\nabla \times \mathbf{F})</math>
|Mengukur selisih antara nilai bidang vektor dengan rata-ratanya pada bola yang sangat kecil.
|Peta antar bidang vektor.
|-
!scope="row" colspan=4|<math>f</math> menunjukkan bidang skalar dan <math>F</math> menunjukkan bidang vektor
|}

Kuantitas yang disebut [[matriks dan determinan Jacobian|matriks Jacobian]] berguna untuk mempelajari fungsi ketika domain dan rentang fungsi tersebut multivariabel, seperti [[perubahan variabel]] selama integrasi.

===Teorema integral===
Tiga operator vektor dasar memiliki teorema yang sesuai yang menggeneralisasi [[teorema dasar kalkulus]] ke dimensi yang lebih tinggi:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+Teorema integral kalkulus vektor
|-
!scope="col"| Teorema
!scope="col"| Pernyataan
!scope="col"| Deskripsi
|-
!scope="row"| [[Teorema gradien]]
| <math> \int_{L \subset \mathbb R^n}\!\!\! \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r} \ =\ \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right)\ \  \text{ for }\ \ L = L[p\to q]   </math>
| [[Garis integral]] dari gradien bidang skalar di atas [[kurva]] ''L'' sama dengan perubahan bidang skalar antara titik-titik akhir ''p'' dan ''q'' dari kurva.
|-
!scope="row"| [[Teorema divergensi]]
| <math> \underbrace{ \int \!\cdots\! \int_{V \subset \mathbb R^n} }_{n} (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV 
\  = \ \underbrace{ \oint \!\!\cdots\! \oint_{\!\!\!\!\partial V} }_{n-1} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} </math>
| Integral dari divergensi bidang vektor di atas sebuah {{mvar|n}}-dimensi padat ''V''  sama dengan [[fluks]] dari bidang vektor melalui {{math|(''n''−1)}}-dimensi permukaan batas tertutup dari padatan.
|-
!scope="row"| [[Teorema Kelvin-Stokes|Teorema Curl (Kelvin–Stokes)]]
| <math> \iint_{\Sigma\,\subset\mathbb R^3} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{\Sigma} \ =\ \oint_{\!\!\!\!\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} </math>
| Integral dari lengkungan bidang vektor di atas [[Permukaan (topologi)|permukaan]] Σ dalam <math>\mathbb R^3</math> sama dengan sirkulasi bidang vektor di sekitar kurva tertutup yang membatasi permukaan.
|-
!scope="row" colspan=5|<math>\varphi</math> denotes a scalar field and <math>F</math> denotes a vector field
|}

Dalam dua dimensi, teorema divergensi dan keriting tereduksi menjadi teorema Green:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+Teorema Green untuk kalkulus vektor
|-
! scope="col"| Teorema
! scope="col"| Pernyataan
! scope="col"| Deskripsi
|-
!scope="row"| [[Teorema Green]]
| <math> \iint_{A\,\subset\mathbb R^2} \left  (\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA \ =\ \oint_{\!\!\!\!\partial A} \left ( L\, dx + M\, dy \right ) </math> || Integral dari divergensi (atau lengkungan) bidang vektor di beberapa wilayah ''A''  <math>\mathbb R^2</math> sama dengan fluks (atau sirkulasi) bidang vektor di atas kurva tertutup yang membatasi daerah tersebut.
|-
!scope="row" colspan=5|Untuk divergensi, <math>F=(M,-L)</math>. Untuk ikal, <math>F=(L,M,0)</math>. L dan M adalah fungsi dari (x, y).
|}

== Nabla ==
Nabla (atau del) adalah salah satu operator yang digunakan dalam kalkulus vektor. Dinotasikan secara matematika sebagai <math>\nabla</math>.

Terdapat empat operasi penting dalam kalkulus vektor berhubungan dengan operator ini, yaitu:
* [[Gradien]]
* [[Divergensi]]
* [[Curl]]
* [[Laplacian]]

== Lihat pula ==
{{Div col|colwidth=20em}}
* [[Analisis kurva nilai vektor]]
* [[Fungsi bernilai nyata]]
* [[Fungsi variabel nyata]]
* [[Fungsi dari beberapa variabel nyata]]
* [[Identitas kalkulus vektor]]
* [[Hubungan aljabar vektor]]
* [[Del dalam koordinat tabung dan bola]]
* [[Turunan arah]]
* [[Bidang vektor konservatif]]
* [[Bidang vektor solenoida]]
* [[Bidang vektor Laplacian]]
* [[Dekomposisi Helmholtz]]
* [[Koordinat ortogonal]]
* [[Koordinat kemiringan]]
* [[Koordinat Lengkungan]]
* [[Tensor]]
{{Div col end}}

[[Kategori:Kalkulus]]