Teorema sisa Tiongkok

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Teorema sisa Tiongkok adalah hasil dari aljabar abstrak dan teori bilangan.

Kongruensi Simultan dari bilangan bulat[sunting | sunting sumber]

Bentuk asli dari teorema ini, seperti terdapat dalam buku yang ditulis oleh ahli matematika dari Tiongkok Qin Jiushao dan diterbitkan pada tahun 1247, adalah suatu pernyataan tentang kongruensi simultan (lihat aritmatika modular). Misalkan n1, ..., nk adalah bilangan bulat positif yang setiap pasangnya adalah koprima (yang artinya FPB (ni, nj) = 1 untuk setiap ij). Maka, untuk setiap bilangan bulat a1, ..., ak, selalu ada bilangan bulat x yang merupakan penyelesaian dari sistem kongruensi simultan

x \equiv a_i \pmod{n_i} \quad\mathrm{for}\; i = 1, \cdots, k

Pseudocode "subtitle":

x_solves_it=true;
for(i= 1; i <= k; i++)
   if(x % n[i] != a[i] % n[i])
      x_solves_it=false;

Terlebih lagi, semua penyelesaian x dari sistem ini adalah juga kongruen modulo dari perkalian n = n1...nk.

Suatu penyelesaian x dapat ditemukan dengan cara sebagai berikut. Untuk setiap i, bilangan bulat ni dan n/ni adalah koprima, dan menggunakan ekstensi algoritma Euklidean kita dapat menemukan bilangan bulat r dan s sehingga r ni + s n/ni = 1. Jika kita menentukan ei = s n/ni, maka kita dapat

e_i \equiv 1 \pmod{n_i} \quad\mathrm{and}\quad
e_i \equiv 0 \pmod{n_j}

untuk ji.

for (i= 1; i <= k; i++)
  {r, s}= ExtendedEuclid( n[i], n / n[i] );
  e[i]= s * n / n[i];
  for(j= 1; j <= k; j++)
    if (j != i)
      assert( e[i] % n[i] == 1 && e[i] % n[j] == 0 );

Penyelesaian dari sistem kongruensi simultan ini adalah

 x = \sum_{i=1..k} a_i e_i\
for(i= 1; i <= k; i++)
  x += a[i] * e[i];

Sebagai contoh, misalkan kita ingin menemukan suatu bilangan bulat x sehingga

x \equiv 2 \pmod{3}
x \equiv 3 \pmod{4}
x \equiv 2 \pmod{5}
 x % 3 == 2 % 3 &&
 x % 4 == 3 % 4 &&
 x % 5 == 2 % 5

Menggunakan ekstensi algoritma Euklidean untuk 3 dan 4×5 = 20, kita memperoleh (-13) × 3 + 2 × 20 = 1, di mana e1 = 40 (e[1] == 40). Menggunakan algoritma Euklidean untuk 4 dan 3×5 = 15, kita memperoleh (-11) × 4 + 3 × 15 = 1. Oleh karena itu, e2 = 45 (e[2] == 45). Akhirnya, menggunakan algoritma Euklidean untukr 5 dan 3×4 = 12, kita memperoleh 5 × 5 + (-2) × 12 = 1, yang berarti e3 = -24 (e[3] == -24). Jadi, penyelesaian x adalah 2 × 40 + 3 × 45 + 2 × (-24) = 167. Semua penyelesaian yang lain adalah kongruen 167 modulo 60, yang berarti bahwa mereka semua kongruen 47 modulo 60.

Kadangkala, sistem kongruensi simultan dapat diselesaikan sekalipun ni (n[i]) setiap pasangnya tidak selalu koprima. Syarat-syarat yang lebih tepat adalah sebagai berikut: sistem mempunyai penyelesaian x jika dan hanya jika aiaj (mod fpb(ni, nj)) (a[i] == a[j] % gcd(n[i], n[j])) untuk semua i dan j. Semua penyelesaian x adalah kongruen modulo kelipatan persekutuan terkecil dari ni (n[i]).

Dengan menggunakan metode substitusi, kita seringkali bisa menemukan penyelesaian dari sistem kongruensi simultan, sekalipun setiap pasang modulusnya tidak selalu koprima.

Pranala luar[sunting | sunting sumber]