Persamaan Klein-Gordon

Dalam mekanika kuantum, persamaan Klein-Gordon adalah persamaan mekanika kuantum relativistik, yang berhubungan dengan persamaan Schrodinger. Ini adalah formalitas dari persamaan relasi atau hubungan energi-momentum yang dicentuskan oleh Albert Einstein.

Persamaan matematis

Persamaan Klein-Gordon dapat ditulis dalam beberapa notasi, termasuk notasi vektor empat

dibawah adalah kedua persamaan Klein-Gordon yang sering ditemui.

Persamaan Klein-Gordon menggunakan satuan natural dengan notasi matrix $\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(\pm 1,\mp 1,\mp 1,\mp 1)$

	Posisi Ruang $x=(ct,\mathbf {x} )$	Transformasi Fourier $\omega =E/\hbar ,\quad \mathbf {k} =\mathbf {p} /\hbar$	Momentum Ruang $p=(E/c,\mathbf {p} )$
Notasi normal	$\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi (t,\mathbf {x} )=0$	$\psi (t,\mathbf {x} )=\int {\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi \hbar }}\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi \hbar )^{3}}}\,e^{\mp i(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} )}\psi (\omega ,\mathbf {k} )$	$E^{2}=\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$
Notasi vektor-empat	$(\Box +\mu ^{2})\psi (x)=0,\quad \mu =mc/\hbar$	$\psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi \hbar )^{4}}}e^{-ip\cdot x/\hbar }\psi (p)$	$p^{2}=\pm m^{2}c^{2}$

Dengan, $\Box =\pm \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }$ adalah simbol operator d'Alembert dan $\nabla ^{2}$ adalah Operator Laplace . Dengan kecepatan cahaya $c$ and konstanta planck $\hbar$ dan dengan menggunakan kesepakatan satuan dimana $c=\hbar =1$.

Interaksi gravitasi

Dalam relativitas umum, kami memasukkan efek gravitasi dengan mengganti parsial dengan turunan kovarian, dan persamaan Klein–Gordon menjadi (dalam tanda sebagian besar plus)

${\begin{aligned}0&=-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }(\partial _{\nu }\psi )+{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi \\&=-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\psi +g^{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \nu }\partial _{\sigma }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi ,\end{aligned}}$

Atau bisa ditulis dengan,

${\frac {-1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\partial _{\nu }\psi \right)+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0,$

Dimana g^αβ adalah invers metrik dari tensor metrik, g adalah determinan dari tensor metrik, ∇_μ adalah turunan kovarian, dan Γ^σ_μν adalah Simbol Christoffel

Tinjauan pustaka

• Klein-Gordon equation (English Wikipedia)

Catatan

• Halaman ini belum sempurna, dan masih menggunakan beberapa kata dari halaman wikipedia berbahasa inggris
• Beberapa koevisien dan konstanta masih belum terbuat halaman independen nya.

Lihat juga

• Persamaan Dirac
• Relativitas