Bilangan Fibonacci

Dalam matematika, bilangan Fibonacci adalah sebuah bilangan yang di mana setiap bilangannya adalah jumlah dari dari dua bilangan sebelumnya. Bilangan yang merupakan bagian dari bilangan Fibonacci dikenal sebagai deret Fibonacci, biasanya dilambangkan F_n . Bilangannya biasanya dimulai dari 0 dan 1, meskipun beberapa penulis memulai urutannya dari 1 dan 1 atau kadang-kadang (seperti yang dilakukan Fibonacci) dari 1 dan 2. Dimulai dari 0 dan 1, bilangannya dimulai

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ....

Dalam matematika, bilangan Fibonacci adalah barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:

$F(n)={\begin{cases}0,&{\mbox{jika }}n=0;\\1,&{\mbox{jika }}n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&{\mbox{jika tidak.}}\end{cases}}$

Barisan bilangan Fibonacci dapat dinyatakan sebagai berikut:

$F_{n}={\frac {{x_{1}}^{n}-{x_{2}}^{n}}{\sqrt {5}}}$

dengan

• $F_{n}$ adalah bilangan Fibonacci ke-n
• $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah penyelesaian persamaan $x^{2}-x-1=0$

Perbandingan antara $F_{n+1}$ dengan $F_{n}$ hampir selalu sama untuk sebarang nilai n dan mulai nilai n tertentu, perbandingan ini nilainya tetap. Perbandingan itu disebut rasio emas yang nilainya mendekati 1,618.

Definisi

Spiral Fibonacci: perkiraan spiral emas yang dibuat dengan menggambar busur lingkaran menghubungkan sudut-sudut kotak yang berlawanan pada petak Fibonacci (lihat gambar sebelumnya)

Bilangan Fibonacci dapat didefinisikan oleh relasi perulangan

$$F_{0}=0,\quad F_{1}=1,$$

dan

$$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$$

untuk n > 1.

Berdasarkan beberapa definisi lama, nilai $F_{0}=0$ dihilangkan, jadi bilangan tersebut dimulai dengan $F_{1}=F_{2}=1,$ dan perulangan $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ valid untuk n > 2.

20 bilangan F_n Fibonacci pertama adalah:

F0	F1	F2	F3	F4	F5	F6	F7	F8	F9	F10	F11	F12	F13	F14	F15	F16	F17	F18	F19
0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610	987	1597	2584	4181

Asal mula

Pengaturan lantai dengan kotak berukuran bilangan Fibonacci

Berdasarkan buku The Art of Computer Programming karya Donald E. Knuth, barisan ini pertama kali dijelaskan oleh matematikawan India, Gopala dan Hemachandra pada tahun 1150, ketika menyelidiki berbagai kemungkinan untuk memasukkan barang-barang ke dalam kantong. Di dunia barat, barisan ini pertama kali dipelajari oleh Leonardo da Pisa, yang juga dikenal sebagai Fibonacci (sekitar 1200), ketika membahas pertumbuhan ideal dari populasi kelinci.

Bentuk lain

Banyak bentuk lain yang dapat diperoleh dengan menggunakan berbagai metode. Inilah beberapa di antaranya:

Bentuk Cassini dan Catalan

Artikel utama: Cassini and Catalan identities

Bentuk Cassini menyatakan bahwa

$${F_{n}}^{2}-F_{n+1}F_{n-1}=(-1)^{n-1}$$

Bentuk Catalan adalah generalisasi:

$${F_{n}}^{2}-F_{n+r}F_{n-r}=(-1)^{n-r}{F_{r}}^{2}$$

Bentuk d'Ocagne

$$F_{m}F_{n+1}-F_{m+1}F_{n}=(-1)^{n}F_{m-n}$$

$$F_{2n}={F_{n+1}}^{2}-{F_{n-1}}^{2}=F_{n}\left(F_{n+1}+F_{n-1}\right)=F_{n}L_{n}$$

di mana L_n adalah n-th bilangan Lucas. Yang terakhir adalah bentuk untuk penggandaan n; bentuk lain dari jenis ini adalah

$$F_{3n}=2{F_{n}}^{3}+3F_{n}F_{n+1}F_{n-1}=5{F_{n}}^{3}+3(-1)^{n}F_{n}$$

oleh bentuk Cassini.

$$F_{3n+1}={F_{n+1}}^{3}+3F_{n+1}{F_{n}}^{2}-{F_{n}}^{3}$$

$$F_{3n+2}={F_{n+1}}^{3}+3{F_{n+1}}^{2}F_{n}+{F_{n}}^{3}$$

$$F_{4n}=4F_{n}F_{n+1}\left({F_{n+1}}^{2}+2{F_{n}}^{2}\right)-3{F_{n}}^{2}\left({F_{n}}^{2}+2{F_{n+1}}^{2}\right)$$

Ini dapat ditemukan secara eksperimental menggunakan lattice reduction, dan berguna dalam menyiapkan special number field sieve ke bilangan Fibonacci terfaktorisasi.

Lebih umumnya,

$$F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}F_{c-i}{F_{n}}^{i}{F_{n+1}}^{k-i}.$$

atau sebagai alternatif

$$F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}F_{c+i}{F_{n}}^{i}{F_{n-1}}^{k-i}.$$

Menempatkan k = 2 dalam rumus ini, kita mendapatkan lagi rumus akhir dari bagian atas Bentuk Matriks.

Referensi

Kutipan ilmiah

• Ball, Keith M (2003), "8: Fibonacci's Rabbits Revisited", Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11321-0 .
• Beck, Matthias; Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-1-4419-7022-0 .
• Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (edisi ke-3rd), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-4335-23-2 .
• Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (July 1998), Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity, Wiley, hlm. 91–101, ISBN 978-0-471-31515-5 
• Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein, Springer Monographs in Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-3-540-66957-9 .
• Livio, Mario (2003) [2002], The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number (edisi ke-First trade paperback), New York City: Broadway Books, ISBN 0-7679-0816-3 
• Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres (dalam bahasa Prancis), 1, Paris: Gauthier-Villars .
• Sigler, L. E. (2002), Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, ISBN 978-0-387-95419-6 

Lihat pula

• Program bilangan Fibonacci
• Tabel 500 bilangan Fibonacci pertama

Pranala luar

• The Golden Mean and the Physics of Aesthetics
• The Golden Section: Phi Diarsipkan 2006-12-05 di Wayback Machine.
• Menghitung bilangan Fibonacci pada Mesin Turing Diarsipkan 2005-02-06 di Wayback Machine.
• Hemachandra's application to Sanskrit poetry Diarsipkan 2012-07-16 di Wayback Machine.
• Deret Fibonacci Diarsipkan 2005-01-22 di Wayback Machine.
• Representasi Bilangan Bulat menggunakan bilangan Fibonacci Diarsipkan 2007-10-30 di Wayback Machine.