Ruang singgung Zariski

Pada geometri aljabar, ruang singgung Zariski (Zariski tangent space) didefinisikan sebagai ruang tangen pada titik P di suatu varietas aljabar V. Konstruksi geometris ini tidak menggunakan kalkulus ataupun derivatif, dan hanya didasarkan pada aljabar abstrak. Versi konkret dari ruang singgung Zariski dapat diilustrasikan dengan menggunakan sistem persamaan linear.

Motivasi

Definisikan kurva C pada suatu bidang berdimensi dua melalui persamaan polinomial berikut,

F(X,Y)=0

dan representasikan P sebagai titik asal (0, 0). Jika suku-suku dengan derajat total lebih daripada satu pada F(X, Y) dihilangkan, kita akan memeroleh "versi linear" dari F(X, Y). Misalkan

L(X,Y)=0

adalah "versi linear" dari F(X, Y) yang dideskripsikan sebelumnya.

Maka, L bernilai konstan 0 atau merepresentasikan suatu persamaan garis. Pada kasus L bernilai konstan 0, ruang singgung (Zariski) dari kurva C di titik (0, 0) adalah seluruh bidang, yang dapat dipandang sebagai ruang afin berdimensi dua. Jika L merupakan garis, maka ruang tangen dari kurva C adalah garis L itu sendiri, dengan menganggap L sebagai ruang afin. Jika P bukan lagi titik asal dan merupakan sembarang titik di C, lebih tepat mengatakan bahwa ruang singgung di titik P adalah ruang afin dan P merupakan kandidat titik asal yang natural untuk ruang ini daripada sebagai ruang vektor.

Pada lapangan real, ruang L dapat dicari dengan menggunakan turunan parsial pertama F. Jika turunan parsial pertama F terhadap X dan Y di titik P bernilai 0, maka P disebut titik singular (titik ganda, taring, atau mungkin lebih rumit). Secara umum, titik P disebut titik singular kurva C apabila dimensi ruang singgungnya adalah dua.

Definisi

Ruang ko-singgung (cotangent space) dari gelanggang lokal R, dengan ideal maksimal ${\mathfrak {m}}$ didefinisikan sebagai

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$

Modul ini dapat dipandang sebagai ruang vektor-k dengan k adalah lapangan residu R/${\mathfrak {m}}$. Dual dari ruang kotangen (sebagai ruang vektor-k) disebut ruang tangen dari R.

Definisi ini merupakan perumuman contoh di atas ke dimensi yang lebih tinggi: misalkan V merupakan varietas aljabar afin dan v adalah titik di V. Secara konkret, modulo ${\mathfrak {m}}^{2}$ pada definisi ruang kotangen dapat dipandang sebagai proses menghapus suku-suku nonlinear dari persamaan yang mendefinisikan V dalam ruang afin. Hal ini analog dengan apa yang kita lakukan pada bagian Motivasi laman ini untuk memeroleh sistem persamaan linear yang mendefinisikan ruang singgung.

Ruang singgung $T_{P}(X)$ dan ruang ko-singgung $T_{P}^{*}(X)$ dari skema X di titik P adalah ruang (ko-)singgung dari gelanggang lokal ${\mathcal {O}}_{X,P}$. Karena fungtor Spec fungtorial, homomorfisme faktor alami $f:R\to R/I$ menginduksi homomorfisme $g:{\mathcal {O}}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{Y,P}$ dengan X =Spec(R) dan P adalah suatu titik di Y =Spec(R/I). Homomorfisme ini digunakan untuk "memasukkan" ruang tangen $T_{P}(Y)$ke dalam ruang tangen $T_{f^{-1}P}(X)$ . Karena homomorfisme dari lapangan bersifat injektif, homomorfisme surjektif lapangan residu yang diinduksi oleh g merupakan suatu isomorfisme. Dengan demikian, g menginduksi morfisme k antar ruang ko-singgung yang didefinisikan melalui

${\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}$

$\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)/I)$

$\cong {\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)$

$\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm {Ker} (k).$

Karena pemetaan ini adalah surjektif, transpose $k^{*}:T_{P}(Y)\rightarrow T_{f^{-1}P}(X)$ bersifat injektif.

(Seringkali ruang singgung dan ko-singgung untuk manifold didefinisikan dengan cara yang analog.)