Tindakan grup (matematika): Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi per 25 Desember 2020 02.23

Dalam matematika, grup aksi atau disebut juga aksi grup pada ruang adalah homomorfisme grup dari gruo tertentu ke dalam grup transformasi ruang. Demikian pula, tindakan kelompok pada struktur matematika adalah kelompok homomorfisme dari suatu kelompok ke dalam grup automorfisme dari struktur. Dikatakan bahwa grup bertindak pada ruang atau struktur. Jika suatu grup bertindak pada suatu struktur, biasanya juga akan bertindak atas objek yang dibangun dari struktur. Misalnya, kelompok Isometri Euklid bekerja pada Ruang Euklidean dan juga pada gambar yang digambar di dalamnya. Secara khusus, ia bekerja pada himpunan dari semua segitiga. Demikian pula, kelompok simetri dari sebuah polihedron bekerja pada simpul, tepi, dan wajah dari polyhedron.

Tindakan grup pada ruang vektor (berdimensi-hingga)] disebut representasi dari grup. Ini memungkinkan seseorang untuk mengidentifikasi banyak grup dengan subkelompok $GL(n, K)$ , kelompok matriks yang dapat dibalik dengan dimensi $n$ di atas bidang $K$ .

Grup simetris $S n$ bertindak pada setiap himpunan dengan elemen $n$ dengan menggunakan elemen himpunan. Meskipun grup dari semua permutasi dari suatu himpunan secara formal bergantung pada himpunan tersebut, konsep aksi kelompok memungkinkan seseorang untuk mempertimbangkan satu grup untuk mempelajari permutasi dari semua himpunan dengan kardinal yang sama.

Definisi

Grup aksi kiri

Jika $G$ adalah grup dengan elemen identitas $e$ , dan $X$ adalah himpunan, maka ( kiri ) aksi grup $α$ dari $G$ pada $X$ adalah sebuah fungsi

\alpha \colon G\times X\to X,

(dengan $α (g, x)$ sering disingkat menjadi $gx$ atau $g \cdot x$ jika tindakan yang dipertimbangkan sudah jelas dari konteksnya)

yang memenuhi dua aksioma berikut:^[1]

Identitas:	$e\cdot x=x$
Kesesuaian:	$g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x$

untuk $g$ dan $h$ pada $G$ dan $x$ pada $X$ .

Grup $G$ dikatakan bertindak atas $X$ (dari kiri). Himpunan $X$ bersama dengan aksi $G$ disebut ( kiri ) himpunan- $G$ .

Dari dua aksioma ini, dapat disimpulkan bahwa untuk $g$ tetap di $G$ , fungsi dari $X$ ke yang memetakan $x$ ke $g \cdot x$ adalah bijeksi, dengan bijeksi terbalik untuk peta yang sesuai $g -1$ . Oleh karena itu, seseorang dapat secara ekivalen mendefinisikan aksi grup $G$ pada $X$ sebagai homomorfisme grup dari $G$ ke grup simetris $Sym(X)$ dari semua bias dari $X$ ke dirinya sendiri.^[2]

Grup aksi kanan

Demikian juga, aksi kelompok kanan dari $G$ pada $X$ adalah fungsi

\alpha \colon X\times G\to X,

(dengan $α (x, g)$ sering disingkat menjadi $xg$ atau $x \cdot g$ jika tindakan yang dipertimbangkan jelas dari konteksnya)

yang memenuhi aksioma analogi:

Identitas:	$x\cdot e=x$
Kesesuaian:	$(x\cdot g)\cdot h=x\cdot (gh)$

untuk $g$ dan $h$ pada $G$ dan $x$ pada $X$ .

Perbedaan antara aksi kiri dan kanan terletak pada urutan perkalian $gh$ yang bekerja pada $x$ . Untuk aksi kiri, $h$ aksi pertama, diikuti oleh $g$ detik. Untuk tindakan yang benar, $g$ tindakan pertama, diikuti oleh $h$ detik. Karena rumusnya $(gh) -1 = h -1 g -1$ , aksi kiri dapat dibangun dari aksi kanan dengan menyusun dengan operasi kebalikan dari grup. Juga, aksi kanan grup $G$ pada $X$ bisa dianggap sebagai aksi kiri dari grup berlawanan $G op$ pada $X$ . Jadi cukup untuk hanya mempertimbangkan aksi kiri tanpa kehilangan keumuman.

Jenis aksi

Tindakan G pada X disebut:

Transitif jika X adalah himpunan kosong dan jika untuk setiap pasangan x , y pada X maka g pada G dirumuskan g⋅x = y. Misalnya, aksi grup simetris X bersifat transitif, aksi grup linear umum atau grup linear khusus ruang vektor V pada V∖{0} bersifat transitif, tetapi aksi grup ortogonal dari ruang Euklides E tidak transitif pada E∖{0} (ini transitif pada unit bola dari E , meskipun).
Tepat (atau efektif) jika untuk setiap dua g yang berbeda, h pada G dengan x pada X sehingga g⋅x ≠ h⋅x; atau setara, jika untuk g ≠ e pada G ada x di X seperti itu g⋅x ≠ x. Dengan kata lain, dalam aksi kelompok yang setia, elemen G yang berbeda menyebabkan permutasi yang berbeda dari X .^[a] Dalam istilah aljabar, grup G bertindak tepat pada X jika dan hanya jika homomorfisme yang sesuai dengan grup simetris, G → Sym(X), memiliki trivial kernel. Jadi, untuk tindakan yang setia, G embed ke grup permutasi pafa X ; khusus, G isomorfik untuk citra Sym(X). Jika G tidak beraksi tepat pada X , kita dapat dengan mudah memodifikasi grup untuk mendapatkan aksi yang tepat. Jika kita mendefinisikan N = {g pada G : g⋅x = x untuk x in X}, maka N adalah subgrup normal dari G ; memang, itu adalah inti dari homomorfisme G → Sym(X). Grup faktor G/N beraksi tepat pada X dengan menyetel (gN)⋅x = g⋅x. Aksi asli G pada X setia jika dan hanya jika N = {e}. Kumpulan terkecil di mana tindakan yang setia dapat didefinisikan dapat sangat bervariasi untuk grup dengan ukuran yang sama. Sebagai contoh:
- Tiga grup ukuran 120 adalah grup simetris S₅, grup ikosahedral, dan grup siklik $\mathbb {Z} /120\mathbb {Z}$ . Set terkecil di mana tindakan yang setia dapat didefinisikan masing-masing berukuran 5, 12, dan 16.
- Grup abelian ukuran 2ⁿ menyertakan grup siklik $\mathbb {Z} /2^{n}\mathbb {Z}$ serta $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{n}$ (produk langsung dari n salinan $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ), tetapi yang terakhir bertindak dengan setia pada set ukuran 2n , sedangkan yang pertama tidak dapat bertindak dengan setia pada set yang lebih kecil dari dirinya sendiri.
Bebas (atau semiregular atau tanpa titik tetap ) jika, diberikan g , h dengan G , adanya x in X dengan g⋅x = h⋅x menyiratkan g = h. Setara: jika g adalah elemen grup dan terdapat x di X dengan g⋅x = x (yaitu, jika g memiliki setidaknya satu titik tetap), maka g adalah identitasnya. Perhatikan bahwa tindakan bebas pada set yang tidak kosong adalah tepat.
Biasa (atau hanya transitif atau transitif tajam ) jika transitif dan bebas; Ini sama dengan mengatakan bahwa untuk setiap dua x , y dalam X tepat ada satu g dalam G sehingga g⋅x = y. Dalam hal ini, X disebut sebagai ruang homogen utama untuk G atau torsi G . Grup aksi G pada dirinya sendiri dengan perkalian kiri adalah teratur, dan dengan demikian setia juga. Setiap grup, oleh karena itu, dapat disematkan dalam grup simetris pada elemennya sendiri, Sym( G ). Hasil ini dikenal sebagai Teorema Cayley.
n-transitif jika X memiliki setidaknya n elemen, dan untuk semua yang berbeda x₁, ..., x_n dan berbeda y₁, ..., y_n, jika g pada G dirumuskan g⋅x_k = y_k untuk 1 ≤ k ≤ n. Aksi 2-transitif juga disebut transitif ganda, aksi 3-transitif disebut juga triply transitive , dan seterusnya. Aksi tersebut menentukan kelas menarik dari subkelompok dalam grup simetris: Grup 2-transitif dan lebih umum perkalian grup transitif. Tindakan grup simetris pada himpunan dengan elemen n selalu n -transitif; aksi dari alternating group adalah ( n - 2)-transitif.
Tajam n-transitif jika memang ada satu seperti g .
Primitif jika transitif dan tidak mempertahankan partisi non-sepele dari X . Lihat grup permutasi primitif untuk detailnya.
Bebas secara lokal jika G adalah grup topologi, dan ada lingkungan U dari e dalam G sedemikian rupa sehingga pembatasan aksi menjadi U bebas; yaitu jika g⋅x = x untuk beberapa x dan beberapa g di U lalu g = e.

Selanjutnya, jika G bekerja pada ruang topologi X , maka tindakannya adalah:

Wendering jika setiap titik x pada X memiliki lingkungan U sehingga $\{g\in G:g\cdot U\cap U\neq \emptyset \}$ is finite.^[3] Misalnya, aksi $\mathbb {Z} ^{n}$ pada $\mathbb {R} ^{n}$ oleh terjemahan mengembara. Aksi grup wandering pada setengah bidang Poincaré juga sedang mengembara.
Jika X adalah ruang kompak lokal dan untuk setiap subset kompak K ⊂ X the set $\{g\in G:gK\cap K\neq \emptyset \}$ terbatas. Tindakan mengembara yang diberikan di atas juga terputus-putus. Di sisi lain, aksi $\mathbb {Z}$ pada $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ given by $n\cdot (x,y)=(2^{n}x,2^{-n}y)$ wendering dan bebas tetapi tidak terputus-putus dengan benar.^[4]
Layak jika G adalah grup topologi dan peta dari $G\times X\rightarrow X\times X:(g,x)\mapsto (g\cdot x,x)$ adalah layak.^[5] Jika G adalah diskrit maka kesesuaian setara dengan diskontinuitas yang tepat untuk aksi G .
Dikatakan memiliki orbit diskrit jika orbit setiap x dalam X di bawah aksi G diskrit dalam X .^[3]
Aksi ruang jika setiap titik x di X memiliki lingkungan U sedemikian rupa sehingga $\{g\in G:g\cdot U\cap U\neq \emptyset \}=\{e\}$ .^[6]

Jika X adalah bukan nol modul di atas gelanggang R dan aksi G adalah R -linear maka dikatakan

Tidak bisa direduksi jika tidak ada submodul invarian bukan nol yang tepat.

Orbit dan stabilisator

Pertimbangkan grup G yang berakting pada himpunan X . Orbit dari suatu elemen x dalam X adalah himpunan elemen dalam X di mana x dapat dipindahkan oleh elemen G . Orbit x adalah dengan:

G\cdot x=\left\{g\cdot x\mid g\in G\right\}.

Properti yang menentukan dari grup menjamin bahwa himpunan orbit (titik x ) X di bawah aksi G membentuk partisi dari X. Relasi ekivalen terkait ditentukan dengan mengatakan x ∼ y jika dan hanya jika terdapat g di G dengan g⋅x = y. Orbitnya kemudian kelas ekivalen es di bawah hubungan ini; dua elemen x dan y setara jika dan hanya jika orbitnya sama, yaitu, G⋅x = G⋅y.

Tindakan kelompok adalah transitif jika dan hanya jika ia memiliki tepat satu orbit, yaitu, jika ada x dalam X dengan G⋅x = X. This is the case if and only if G⋅x = X untuk semua x dalam X (mengingat bahwa X tidak kosong).

Himpunan semua orbit X di bawah aksi G ditulis sebagai X/G (atau, lebih jarang: G\X), dan disebut hasil bagi dari tindakan tersebut. Dalam situasi geometris ini bisa disebut ruang orbit, sedangkan dalam situasi aljabar itu bisa disebut ruang konvariat, dan ditulis X_G , berbeda dengan invariant (titik tetap), dilambangkan X^G: varian koin adalah hasil bagi sedangkan invariannya adalah himpunan bagian. Terminologi dan notasi coinvariant digunakan terutama dalam kelompok kohomologi dan grup homologi, yang menggunakan konvensi superskrip/subskrip yang sama.

Himpunan bagian varian

Jika Y adalah himpunan bagian dari X , seseorang akan menulis GY untuk set tersebut {g⋅y : y ∈ Y dan g ∈ G}. Himpunan bagian Y dikatakan invarian di bawah G jika G⋅Y = Y (yang setara dengan G⋅Y ⊆ Y). Dalam hal ini, G juga beroperasi pada Y dengan membatasi aksinya menjadi Y . Himpunan bagian Y disebut tetap di bawah G jika g⋅y = y untuk g di G dan semua y di Y . Setiap subset yang ditetapkan di bawah G juga invarian di bawah G , tetapi tidak sebaliknya.

Setiap orbit adalah subset invarian dari X di mana G bertindak secara transitif. Sebaliknya, setiap subset invarian dari X adalah gabungan orbit. Tindakan G pada X adalah transitif jika dan hanya jika semua elemen ekivalen, artinya hanya ada satu orbit.

Elemen G-invarian dari X adalah x ∈ X dirumuskan g⋅x = x untuk g ∈ G. Himpunan dari semua x dilambangkan X^G dan disebut G-invariants dari X . Ketika X adalah Modul-G, X^G adalah grup zeroth kohomologi dari G dengan koefisien dalam X , dan kelompok kohomologi yang lebih tinggi adalah functor turunan dari functor dari G -invarian.

Titik tetap dan subgrup stabilisator

Diberikan g dalam G dan x dalam X dengan g⋅x = x, dikatakan bahwa " x adalah titik tetap dari g " atau " g memperbaiki x ". Untuk setiap x dalam X , subkelompok penstabil dari G sehubungan dengan x (juga disebut grup isotropi atau kelompok kecil ^[7]) adalah himpunan semua elemen di G yang memperbaiki x :

G_{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}.

Ini adalah subgrup dari G , meskipun biasanya bukan yang normal. Tindakan G pada X adalah bebas jika dan hanya jika semua stabilisator trivial. Kernel N dari homomorfisme dengan grup simetris, G → Sym(X), diberikan oleh persimpangan dari stabilisator G_x untuk x dalam X . Jika N sepele, tindakan tersebut dikatakan setia (atau efektif).

Misalkan x dan y menjadi dua elemen dalam X , dan biarkan g menjadi elemen grup sedemikian rupa sehingga y = g⋅x. Kemudian dua grup stabilisator G_x dan G_y dihubungkan oleh G_y = g G_x g⁻¹. Bukti: menurut definisi, h ∈ G_y jika dan hanya jika h⋅(g⋅x) = g⋅x. Menerapkan g ⁻¹ ke kedua sisi persamaan ini akan menghasilkan (g⁻¹hg)⋅x = x; itu adalah, g⁻¹hg ∈ G_x. Inklusi yang berlawanan mengikuti dengan cara yang sama dengan mengambil h ∈ G_x dan seandainya x = g⁻¹⋅y.

Hal di atas mengatakan bahwa stabilisator unsur-unsur dalam orbit yang sama adalah konjugasi satu sama lain. Jadi, untuk setiap orbit, kita dapat mengasosiasikan kelas konjugasi dari subkelompok G (yaitu, himpunan semua konjugasi dari subgrup). Misalkan $(H)$ menunjukkan kelas konjugasi H . Kemudian orbit O bertipe $(H)$ jika stabilisator $G_{x}$ dari beberapa/sesuatu x pada O milik $(H)$ . Jenis orbit maksimal sering disebut jenis orbit utama.

Teorema penstabil Orbit dan lemma Burnside

Orbit dan stabilisator terkait erat. Untuk tetap x dalam X , pertimbangkan peta f:G → X diberikan oleh g ↦ g·x. Menurut definisi gambar f(G) dari peta ini adalah orbit G · x . Syarat dua elemen untuk memiliki citra yang sama adalah

f(g)=f(h)\iff g\cdot x=h\cdot x\iff g^{-1}h\cdot x=x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\in gG_{x}

.

Dengan kata lain, $f(g)=f(h)$ jika dan hanya jika $g$ dan $h$ berada di tempat yang sama kohimpunan untuk subgrup stabilizer $G_{x}$ . Jadi, serat $f^{-1}(\{y\})$ dari f di atas setiap y di G · x terkandung dalam coset tersebut, dan setiap coset tersebut juga muncul sebagai serat. Oleh karena itu f mendefinisikan bijection antara himpunan $G/G_{x}$ kohimpunan untuk subgrup stabilizer dan orbit G · x , yang mengirimkan $gG_{x}\mapsto g\cdot x$ .^[8] Hasil ini dikenal sebagai teorema penstabil orbit .

Jika G berhingga maka teorema penstabil orbit, bersama dengan Teorema Lagrange, memberikan

|G\cdot x|=[G\,:\,G_{x}]=|G|/|G_{x}|,

dengan kata lain panjang orbit x kali urutan stabilisatornya adalah urutan grup. Secara khusus yang menyiratkan bahwa panjang orbit adalah pembagi dari ordo grup.

Contoh: Misalkan G menjadi sekelompok orde utama p yang bekerja pada himpunan X dengan elemen k . Karena setiap orbit memiliki elemen 1 atau p , setidaknya ada

k{\bmod {p}}

orbit dengan panjang 1 yang merupakan G elemen invarian.

Hasil ini sangat berguna karena dapat digunakan untuk menghitung argumen (biasanya dalam situasi di mana X juga terbatas).

Contoh: Kita dapat menggunakan teorema penstabil orbit untuk menghitung automorfisme dari sebuah grafik. Pertimbangkan grafik kubik seperti yang digambarkan, dan biarkan G menunjukkan grup automorfisme. Kemudian G bekerja pada himpunan simpul {1, 2, ..., 8}, dan tindakan ini bersifat transitif seperti yang dapat dilihat dengan menyusun rotasi di sekitar pusat kubus. Jadi, dengan teorema penstabil orbit,

|G|=|G\cdot 1||G_{1}|=8|G_{1}|

. Menerapkan teorema sekarang ke stabilizer G ₁, kita bisa mendapatkan

|G_{1}|=|(G_{1})\cdot 2||(G_{1})_{2}|

. Setiap elemen G yang menetapkan 1 harus mengirim 2 ke 2, 4, atau 5. Sebagai contoh automorfisme tersebut pertimbangkan rotasi di sekitar sumbu diagonal melalui 1 dan 7 oleh

2\pi /3

yang membolehkan 2,4,5 dan 3,6,8, dan fix 1 dan 7. Jadi,

\left|(G_{1})\cdot 2\right|=3

. Menerapkan teorema untuk ketiga kalinya memberikan

|(G_{1})_{2}|=|((G_{1})_{2})\cdot 3||((G_{1})_{2})_{3}|

. Setiap elemen G yang menetapkan 1 dan 2 harus mengirim 3 ke 3 atau 6. Mencerminkan kubus di bidang melalui 1,2,7 dan 8 adalah automorfisme yang mengirim 3 hingga 6, jadi

\left|((G_{1})_{2})\cdot 3\right|=2

. Seseorang juga melihat bahwa

((G_{1})_{2})_{3}

hanya terdiri dari automorfisme identitas, karena setiap elemen dari G yang memperbaiki 1, 2 dan 3 juga harus memperbaiki semua simpul lainnya, karena mereka ditentukan oleh kedekatannya dengan 1, 2 dan 3. Menggabungkan perhitungan sebelumnya, sekarang kita bisa mendapatkan

|G|=8\cdot 3\cdot 2\cdot 1=48

.

Hasil yang terkait erat dengan teorema penstabil orbit adalah Lemma Burnside:

|X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,

dimana X^g himpunan poin yang ditetapkan oleh g . Hasil ini terutama digunakan ketika G dan X terbatas, bila dapat diartikan sebagai berikut: jumlah orbit sama dengan jumlah rata-rata titik yang ditetapkan per elemen grup.

Memperbaiki grup G , himpunan perbedaan formal dari G hingga, himpunan membentuk gelanggang yang disebut cincin Burnside dari G , di mana penjumlahan sesuai dengan disjoint union, dan perkalian dengan produk Kartesius.

Grup aksi dan grupoid

Gagasan aksi kelompok dapat diletakkan dalam konteks yang lebih luas dengan menggunakan aksi groupoid $G'=G\ltimes X$ terkait dengan tindakan kelompok, sehingga memungkinkan teknik dari teori groupoid seperti presentasi dan fibrasi. Selanjutnya, penstabil aksi adalah kelompok puncak, dan orbit aksi adalah komponen, dari aksi grupoid. Untuk lebih jelasnya, lihat buku Topologi dan groupoids yang direferensikan di bawah ini

Aksi groupoid ini hadir dengan morfisme p : G ′ → G yang merupakan morfisme yang menutupi groupoids . Hal ini memungkinkan adanya hubungan antara morfisme tersebut dan peta penutup dalam topologi.

Galeri

Orbit segitiga bola fundamental (ditandai merah) di bawah aksi grup oktahedral penuh.
Orbit segitiga bola fundamental (ditandai dengan warna merah) di bawah aksi grup ikosahedral penuh.

Lihat pula

Referensi

Catatan

^ Artinya, representasi permutasi terkait adalah injektif.

Kutipan

^ Eie & Chang (2010). A Course on Abstract Algebra. hlm. 144.
^ This is done, for example, by Smith (2008). Introduction to abstract algebra. hlm. 253.
^ ^a ^b Thurston, William (1980), The geometry and topology of three-manifolds, Princeton lecture notes, hlm. 175
^ Thurston 1980, hlm. 176.
^ tom Dieck, Tammo (1987), Transformation groups, de Gruyter Studies in Mathematics, 8, Berlin: Walter de Gruyter & Co., hlm. 29, doi:10.1515/9783110858372.312, ISBN 978-3-11-009745-0, MR 0889050
^ Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. hlm. 72. ISBN 0-521-79540-0.
^ Procesi, Claudio (2007). Lie Groups: An Approach through Invariants and Representations (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 5. ISBN 9780387289298. Diakses tanggal 23 February 2017.
^ M. Artin, Algebra, Proposition 6.4 on p. 179

Lain

Aschbacher, Michael (2000). Finite Group Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78675-1. MR 1777008.
Brown, Ronald (2006). Topology and groupoids, Booksurge PLC, ISBN 1-4196-2722-8.
Categories and groupoids, P.J. Higgins, downloadable reprint of van Nostrand Notes in Mathematics, 1971, which deal with applications of groupoids in group theory and topology.
Dummit, David; Richard Foote (2004). Abstract Algebra (edisi ke-3rd). Wiley. ISBN 0-471-43334-9.
Eie, Minking; Chang, Shou-Te (2010). A Course on Abstract Algebra. World Scientific. ISBN 978-981-4271-88-2.
Rotman, Joseph (1995). An Introduction to the Theory of Groups. Graduate Texts in Mathematics 148 (edisi ke-4th). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94285-8.
Smith, Jonathan D.H. (2008). Introduction to abstract algebra. Textbooks in mathematics. CRC Press. ISBN 978-1-4200-6371-4.

Pranala luar

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Action of a group on a manifold", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W. "Group Action". MathWorld.

[3] Artinya, representasi permutasi terkait adalah injektif.

[1] Eie & Chang (2010). A Course on Abstract Algebra. hlm. 144.

[2] This is done, for example, by Smith (2008). Introduction to abstract algebra. hlm. 253.

[Thurston_1980_p175-4] Thurston, William (1980), The geometry and topology of three-manifolds, Princeton lecture notes, hlm. 175

[FOOTNOTEThurston1980176-5] Thurston 1980, hlm. 176.

[tom_Dieck_1987_p29-6] tom Dieck, Tammo (1987), Transformation groups, de Gruyter Studies in Mathematics, 8, Berlin: Walter de Gruyter & Co., hlm. 29, doi:10.1515/9783110858372.312, ISBN 978-3-11-009745-0, MR 0889050

[Hatcher_2001-7] Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. hlm. 72. ISBN 0-521-79540-0.

[Procesi-8] Procesi, Claudio (2007). Lie Groups: An Approach through Invariants and Representations (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. hlm. 5. ISBN 9780387289298. Diakses tanggal 23 February 2017.

[9] M. Artin, Algebra, Proposition 6.4 on p. 179

[1]

[2]

[a]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]