Masalah nilai batas

Ditunjukkan wilayah tempat persamaan diferensial berlaku dan nilai batas yang berkaitan

Dalam matematika, di dalam bidang persamaan diferensial, masalah nilai batas adalah persamaan diferensial bersama dengan himpunan batasan tambahan yang disebut kondisi batas. Penyelesaian masalah nilai batas merupakan penyelesaian persamaan diferensial yang juga memenuhi kondisi batas.

Masalah nilai batas muncul dalam berbagai cabang ilmu fisika karena setiap persamaan diferensial fisika memiliki permasalahan ini. Masalah yang melibatkan persamaan gelombang, seperti penentuan modus normal, sering dinyatakan sebagai masalah nilai batas. Kelas besar masalah nilai batas penting adalah masalah Sturm–Liouville. Analisis masalah ini melibatkan fungsi eigen dari operator turunan.

Agar dapat diterapkan, masalah nilai batas haruslah terumus baik. Hal ini memiliki arti bahwa untuk masukan yang diberikan ke dalam masalah terdapat solusi unik, yang terus-menerus bergantung pada masukan. Banyak penelitian teoretis dalam bidang persamaan diferensial parsial berfokus pada pembuktian bahwa masalah nilai batas yang muncul dari studi ilmiah dan penerapan rekayasa pada faktanya merupakan masalah terumus baik.

Salah satu masalah nilai batas yang dipelajari paling awal adalah masalah Dirichlet, yaitu penentuan fungsi harmonik (solusi dari persamaan Laplace); penyelesaian diberikan pada prinsip Dirichlet.

Penjelasan

Masalah nilai batas serupa dengan masalah nilai awal. Masalah nilai batas memiliki kondisi yang ditentukan pada nilai variabel bebas ekstrem ("batas") di dalam persamaan, sementara masalah nilai awal memiliki semua kondisi yang ditentukan pada nilai variabel bebas yang sama (dan nilai tersebut merupakan batas bawah domain, sehingga digunakan istilah nilai "awal"). Nilai batas adalah nilai data yang berhubungan dengan nilai masukan, internal, atau keluaran minimum atau maksimum yang ditentukan untuk suatu sistem atau komponen.

Sebagai contoh, jika variabel bebas adalah waktu di dalam domain [0,1], masalah nilai batas akan menentukan nilai untuk $y(t)$ pada $t=0$ dan $t=1$, sementara masalah nilai awal akan menentukan nilai $y(t)$ dan $y'(t)$ pada waktu $t=0$.

Penentuan suhu di semua titik pada batang besi dengan salah satu ujung dijaga bersuhu nol mutlak dan ujung lainnya dijaga bersuhu titik beku air merupakan masalah nilai batas.

Jika masalah bergantung pada ruang dan waktu, penyelesaian masalah tersebut dapat menentukan nilai masalah di titik tertentu untuk seluruh titik waktu atau di waktu tertentu untuk seluruh titik ruang.

Secara konkret, contoh masalah nilai batas (pada ruang satu dimensi) adalah

$y''(x)+y(x)=0$

dengan penyelesaian berupa fungsi tak diketahui $y(x)$ dan kondisi batas

$y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.$

Tanpa kondisi batas, solusi umum dari persamaan ini adalah

$y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).$

Dari kondisi batas $y(0)=0$ diperoleh

$0=A\cdot 0+B\cdot 1$

yang berarti bahwa $B=0.$ Dari kondisi batas $y(\pi /2)=2$ diperoleh

$2=A\cdot 1$

sehingga $A=2.$ Dapat dilihat bahwa dengan menerapkan kondisi batas memungkinkan untuk menentukan solusi unik, yang dalam kasus ini adalah

$y(x)=2\sin(x).$

Jenis masalah nilai batas

Kondisi nilai batas

Penentuan fungsi yang menjelaskan suhu batang 2D teridealisasi ini merupakan masalah nilai batas dengan kondisi batas Dirichlet. Fungsi solusi masalah ini akan menyelesaikan persamaan panas dan memenuhi kondisi batas berupa suhu 0 K pada batas kiri dan suhu 273,15 K pada batas kanan.

Kondisi batas yang menentukan nilai fungsi adalah kondisi batas Dirichlet, atau kondisi batas jenis pertama. Sebagai contoh, jika salah satu ujung batang besi dijaga bersuhu nol mutlak, maka nilai masalah dapat diketahui pada titik ruang tersebut.

Kondisi batas yang menentukan nilai turunan berarah normal dari fungsi adalah kondisi batas Neumann, atau kondisi batas jenis kedua. Sebagai contoh, jika terdapat alat pemanas di salah satu ujung batang besi, maka energi akan ditambahkan dengan laju konstan, tetapi suhu aktual tidak diketahui.

Jika batas memiliki bentuk kurva atau bidang yang diketahui nilai turunan berarah normal dan nilai variabel itu sendiri merupakan kondisi batas Cauchy.

Contoh

Berikut rangkuman kondisi batas dari fungsi tak diketahui, $y$, konstanta $c_{0}$ dan $c_{1}$ yang menentukan kondisi batas, serta fungsi skalar $f$ dan $g$ yang diketahui dan menentukan kondisi batas.

Nama	Bentuk batas bagian pertama	Bentuk batas bagian kedua
Dirichlet	$y=f$
Neumann	${\partial y \over \partial n}=f$
Robin	$c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=f$
Campuran	$y=f$	$c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=f$
Cauchy	$y=f$ dan $c_{0}{\partial y \over \partial n}=g$

Operator turunan

Di samping kondisi batas, masalah nilai batas juga dikelompokkan berdasarkan jenis operator turunan yang dilibatkan. Untuk operator eliptik termasuk ke dalam masalah nilai batas eliptik. Sementara untuk operator hiperbolik termasuk ke dalam masalah nilai batas hiperbolik. Pengelompokan ini lebih lanjut dibagi lagi menjadi masalah nilai batas linear dan sejumlah jenis nonlinear.

Penerapan

Potensial elektromagnetik

Lihat pula: Persamaan Laplace § Kondisi batas

Dalam elektrostatika, masalah yang umum ditemui adalah mencari fungsi yang menjelaskan potensial listrik pada wilayah tinjauan. Jika wilayah tidak memiliki muatan, potensial haruslah solusi dari persamaan Laplace (juga sering disebut fungsi harmonik). Kondisi batas pada kasus ini adalah kondisi antarmuka untuk medan elektromagnetik. Jika tidak terdapat kepadatan arus di dalam wilayah tinjauan, penjelasan potensial skalar magnetik juga dimungkinkan menggunakan prosedur serupa.

Lihat pula

Matematika berkaitan:

• Masalah nilai awal
• Fungsi Green
• Proses stokastik dan masalah nilai batas
• Teori Sturm–Liouville
• Kondisi radiasi Sommerfeld
• Kondisi kontak panas sempurna

Penerapan fisika:

• Gelombang
• Modus normal
• Elektrostatika
• Teori potensial
• Penghitungan atenuasi gelombang radio dalam atmosfer
• Lubang hitam

Algoritme numerik:

• Metode tembakan
• Metode tembakan ganda langsung
• Metode berjalan pada bola
• Metode beda hingga
• Metode elemen batas

Referensi

• Polyanin, Andrei D.; Zaitsev, Valentin F. (2003). Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (edisi ke-2). Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 9781420035339. 
• Polyanin, Andrei D.; Nazaikinskii, Vladimir E. (2015). Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists (edisi ke-2). Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 9781466581494. 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Boundary value problems in potential theory", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Boundary value problem, complex-variable methods", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Linear Partial Differential Equations: Exact Solutions and Boundary Value Problems dalam EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• "Boundary value problem". Scholarpedia.