Garis singgung lingkaran

Pada geometri bidang Euclid, garis singgung lingkaran adalah garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik, tidak pernah memasuki bagian dalam lingkaran. Garis singgung lingkaran menghasilkan beberapa subjek dalam bentuk teorema, dan memainkan peran penting dalam bentuk konstruksi dan pembuktian geometris. Diketahui garis singgung lingkaran di titik P tegak lurus terhadap jari-jari titik tersebut, maka teorema yang melibatkan garis singgung sering melibatkan garis radial dan lingkaran orthogonal.

Garis singgung terhadap satu lingkaran

Garis singgung t ke lingkaran C memotong lingkaran di titik T. Sebagai perbandingan, garis potong memotong lingkaran di dua titik, sedangkan garis lain mungkin tidak memotong pada lingkaran sama sekali. Sifat garis singgung ini dipertahankan di banyak transformasi geometris, seperti pengunaan skala, rotasi, translasi, inversi, dan proyeksi peta. Dalam bahasa teknis, transformasi ini tidak mengubah struktur kejadian garis singgung dan lingkaran, meskipun garis dan lingkaran dapat berubah bentuk.

Jari-jari lingkaran tegak lurus terhadap garis singgungnya melalui titik ujung pada keliling lingkaran. Sebaliknya, apabila sesuatu tegak lurus terhadap jari-jari melalui titik akhir yang sama disebut garis singgung. Hasil dari bentuk geometri terhadap lingkaran dan garis singgung memiliki simetri pantulan terhadap sumbu jari-jari.

Dengan teorema pangkat titik, perkalian dari panjang PM·PN untuk sembarang sinar PMN sama dengan kuadrat dari PT, panjang ruas garis singgung (merah).

Tidak ada garis singgung yang dapat digambar melalui titik di dalam lingkaran, karena garis seperti itu disebut garis potong. Akan tetapi, dua garis singgung lingkaran dapat ditarik dari titik P di luar lingkaran. Bentuk geometris sebuah lingkaran dan kedua garis singgungnya juga memiliki simetri pantulan terhadap sumbu radial yang menghubungkan P ke titik pusat lingkaran O. Jadi panjang segmen dari P menuju ke dua titik singgung adalah sama. Menurut teorema garis potong dan garis singgung, kuadrat dari panjang garis singgung ini sama dengan pangkat titik P di dalam lingkaran C. Pangkat ini sama dengan perkalian jarak dari P menuju ke dua titik perpotongan lingkaran mana pun dengan garis potong yang melewati P.

Sudut θ antara tali busur dan garis singgung adalah setengah sudut dari busur ke tali busur.

Garis singgung t dan titik singgung T memiliki hubungan konjugat satu sama lain, yang telah diperumum ke dalam gagasan titik kutub dan garis kutub. Hubungan timbal balik yang sama ada antara titik P di luar lingkaran dan garis potong yang menghubungkan dua titik singgungnya.

Jika sebuah titik P berada di luar lingkaran dengan pusat O, dan jika garis singgung dari P menyentuh lingkaran di titik T dan S, maka jumlahan ∠TPS dan ∠TOS disebut sudut suplemen (dijumlahkan dengan 180°).

Jika tali busur TM ditarik dari titik singgung T terhadap itik luar P dan ∠PTM ≤ 90° maka ∠PTM = (1/2) ∠TOM.

Diberikan persamaan sebuah lingakaran dalam koordinat Kartesius yaitu $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ dengan titik pusat di $(a,b)$. Maka garis singgung dari titik di $(x_{1},y_{1})$ membentuk persamaan

$(x-x_{1})(x_{1}-a)+(y-y_{1})(y_{1}-b)=0$

Hal ini dapat dibuktikan dengan mencari turunan implisit dari lingkaran. Dimisalkan sebuah lingkaran mempunyai persamaan $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$, dan kita akan mencari gradian dari garis singgung di $(x_{1},y_{1})$ dengan $(x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2}=r^{2}$. Kita akan mencari turunan implisit terhadap $x$:

${\begin{aligned}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\2(x-a)+2(y-b){\frac {dy}{dx}}&=0\\{\frac {dy}{dx}}&=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\\\end{aligned}}$

Lalu kita mempunyai gradien dari garis singgung, kemudian kita substitusikan gradien dan koordinat titik potong ke persamaan garis $y=kx+m$.

${\begin{aligned}y&=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}x+y_{1}+x_{1}\left({\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\right)\\y-y_{1}&=(x_{1}-x)\left({\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\right)\\(y-y_{1})(y_{1}-b)&=-(x-x_{1})(x_{1}-a)\\(x-x_{1})(x_{1}-a)+(y-y_{1})(y_{1}-b)&=0\\\end{aligned}}$

Konstruksi kompas dan garis lurus

Hal ini relatif mudah untuk membuat garis t yang bersinggungan dengan lingkaran di titik T pada keliling lingkaran:

• Sebuah garis a yang dibentuk dari O, pusat dari suatu lingkaran, melalui titik radial T;
• Garis t merupakan garis yang tegak lurus terhadap a.

Konstruksi dari garis singgung ke lingkaran yang sudah ada (hitam) dari titik luar yang diberikan (P).

Teorema Thales dapat digunakan untuk menyusun garis singgung ke titik P di luar lingkaran C:

• Sebuah lingkaran digambar dengan pusat pada titik tengah ruas garis OP, yang berdiameter OP, dimana O merupakan pusat dari lingkaran C.
• Titik-titik persimpangan T₁ and T₂ dari lingkaran C dan lingkaran yang baru merupakan titik singgung untuk garis yang lewat melalui P, dengan memenuhi argumen.

Ruas-ruas garis OT₁ and OT₂ merupakan radii darilingkaran C; karena keduanya dibentuk di dalam setengah lingkaran, mereka tegak lurus terhadap garis segmen PT₁ and PT₂ secara berturut-turut. Tetapi hanya garis singgung yang tegak lurus dengan garis radial. Oleh karena itu, dua garis dari P dan and melalui T₁ and T₂ merupakan garis singgung ke lingkaran C.

Metode lain dalam membentuk garis singgung ke titik luar P menuju ke lingkaran dengan :

• Gambar tiga garis yang berbedda melui titik Pyang memotong lingkaran dua kali
• Diberikan $A_{1},A_{2},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}$ yang merupakan 6 titik persimpangan, dengan huruf yang sama sesuai dengan garis yang sama dan indeks satu swsuai dengan titik terdekat dengan P.
• Diberikan titik D dimana garis $A_{1}B_{2}$ and $A_{2}B_{1}$ berpotongan,
• Begitu juga dengan titik E untuk garis $B_{1}C_{2}$ dan $B_{2}C_{1}$.
• Gambarkan garis yang melalui titik D and E.
• Garis ini bertemu dengan lingkaran di dua titik yaitu titik F dan G.
• Garis singgungnya yaitu garis PF dan PG.