Faktoradik

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari

Faktoradik adalah sebuah sistem bilangan yang setiap posisi angka memiliki basis sesuai dengan faktorial dari posisinya. Sistem bilangan ini memungkinkan untuk membangkitkan permutasi dalam urutan leksikografik.

Faktoradik memiliki bentuk deretan bilangan an...a4a3a2a1a0, dengan setiap bilangan ai bersifat:

a_i \in \mathbb{N}

dan

0 \leq a_i \leq i

Nilai faktoradik[sunting | sunting sumber]

Nilai sebuah faktoradik an...a4a3a2a1a0 dapat dengan mudah didapat menggunakan formula:

\sum_{i=0}^n a_i.i!

Sebagai contoh, bilangan 2,1,1,1,0

Posisi setiap bilangan, sama seperti pada sistem bilangan posisional lainnya, dinomori mulai dari 0 dari sebelah kanan.

Bilangan ke 5 4 3 2 1 0
Bilangan 0 2 1 1 1 0
Faktorial 120 24 6 2 1 1

Sehingga nilainya adalah sebesar: 2×4! + 1×3! + 1×2! + 1×1! + 0×0! = 57

Di bawah ini adalah daftar 24 faktoradik pertama beserta nilainya:

Faktoradik Nilai Faktoradik Nilai Faktoradik Nilai Faktoradik Nilai
0, 0, 0, 0 0 1, 0, 0, 0 6 2, 0, 0, 0 12 3, 0, 0, 0 18
0, 0, 1, 0 1 1, 0, 1, 0 7 2, 0, 1, 0 13 3, 0, 1, 0 19
0, 1, 0, 0 2 1, 1, 0, 0 8 2, 1, 0, 0 14 3, 1, 0, 0 20
0, 1, 1, 0 3 1, 1, 1, 0 9 2, 1, 1, 0 15 3, 1, 1, 0 21
0, 2, 0, 0 4 1, 2, 0, 0 10 2, 2, 0, 0 16 3, 2, 0, 0 22
0, 2, 1, 0 5 1, 2, 1, 0 11 2, 2, 1, 0 17 3, 2, 1, 0 23

Mendapatkan Faktoradik dari Sembarang Bilangan[sunting | sunting sumber]

Suatu faktoradik bisa diperoleh dari sembarang bilangan n dengan algoritma sebagai berikut:

  1. Cari i ! terbesar di mana i ! <  n
  2. Bagi n dengan i !, akan didapatkan hasil bagi d dan sisa bagi m.
  3. d adalah digit faktoradik ke-i, yaitu a_i
  4. Ulangi dari langkah kedua, dengan m(sisa bagi) menggantikan n, dan i - 1 menggantikan i.
  5. Algoritma selesai jika i sudah mencapai 0.

Ketika berakhir, algoritma ini akan menghasilkan deretan faktoradik an...a4a3a2a1a0.

Permutasi[sunting | sunting sumber]

Bilangan Inversi[sunting | sunting sumber]

Membentuk Permutasi berdasarkan Faktoradik[sunting | sunting sumber]

Pertama-tama kita harus membuat kesepakatan mengenai indeks. Indeks untuk untai dimulai dengan indeks 0 dari kiri.

Untai a b c d e f g
Indeks 0 1 2 3 4 5 6

Disediakan sebuah untai s, dan sebuah faktoradik f, maka algoritma untuk menghasilkan sebuah permutasi dari s adalah:

  1. Sediakan satu tempat, yaitu s' untuk menampung untai hasil permutasi
  2. Mulai dari digit f paling kiri (digit dengan indeks posisi paling besar):
    • Ambil huruf dari s di posisi f_i, pindahkan ke s'
  3. Ulangi hingga tidak ada lagi huruf pada untai s

Ketika algoritma ini selesai, s' akan merupakan permutasi dari s yang sesuai dengan f

Sebagai contoh, untuk menghasilkan permutasi dari abcdefg, dengan indeks faktoradik 5341200 dengan algoritma tersebut, diberikan:

s = \mathbf{abcdefg}

dan

f = (5, 3, 4, 1, 2, 0, 0)

Disediakan s' = \epsilon (masih kosong).

Untai a b c d e f g
Indeks 0 1 2 3 4 5 6

Pertama, mulai dari f_6, yaitu 5. Kemudian pindahkan huruf ke-5 (indeks 5) pada untai s ke untai s', yaitu huruf f. Kondisi s dan s' sekarang menjadi s = \mathbf{abcdeg} dan s' = \mathbf{f}

Dengan s sekarang menjadi:

Untai a b c d e g
Indeks 0 1 2 3 4 5

Bilangan kedua dari f, yaitu f_5 adalah 3, maka pindahkan huruf ke-3 pada untai s ke untai s'. Maka kondisinya menjadi s = \mathbf{abceg} dan s' = \mathbf{fd}

Untai a b c e g
Indeks 0 1 2 4 6

Dan seterusnya, yang jika dituliskan sekaligus adalah seperti ini:

i f_i s s'
6 5 abcdeg f
5 3 abceg fd
4 4 abce fdg
3 1 ace fdgb
2 2 ac fdgbe
1 0 c fdgbea
0 0 fdgbeac

Kode-kode program[sunting | sunting sumber]

Kode program untuk membangkitkan faktoradik[sunting | sunting sumber]

Pascal[sunting | sunting sumber]

 FMax := CariFaktorialTerbesar(Bilangan);
 Sisa := Bilangan;
 for i := FMax downto 0 do
 begin
   f := Faktorial(i);
   A[i] := Sisa div f;
   Sisa := Sisa mod f;
 end;

Kode untuk membangkitkan permutasi dari faktoradik[sunting | sunting sumber]

Pascal[sunting | sunting sumber]

 function Permutasi(Untai: STRING; Faktoradik: array of INTEGER): STRING;
 var
   Hasil: STRING;
   i, Indeks: INTEGER;
 begin
   Hasil:=;
 
   for i:=Low(Faktoradik) to High(Faktoradik) do
   begin
     Indeks:=Faktoradik[i] + 1;       // Indeks ditambah 1 karena indeks array berawal dari 0
     Hasil:=Hasil + Untai[ Indeks ];
     Delete(Untai, Indeks, 1);
   end;
 
   Permutasi:=Hasil;
 end;

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

Using Permutations in .NET for Improved Systems Security