Deret ukur

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Diagram yang menunjukkan jumlah 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... adalah mendekati 2.

Deret ukur atau deret geometri dalam bidang matematika adalah urutan bilangan di mana bilangan berikutnya merupakan perkalian dari bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan rasio tertentu. Deret ukur dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

ar^0=a,ar^1=ar,ar^2,ar^3,...\,

dimana r ≠ 0 adalah bilangan rasio pengali dan a adalah faktor skala. Dalam hal ini suku ke-n:

a_n = a\,r^{n-1}

Jumlah semua suku:


 \sum_{k=0}^{n-1} ar^k  =  \frac{a(r^{n}-1)}{r-1} untuk r > 1, dan

 
\sum_{k=0}^{n-1} ar^k   =  \frac{a(1-r^{n})}{1-r} untuk r < 1.

Pembuktian[sunting | sunting sumber]

Suku ke-n
a_1 = a
a_2 = a\,r^1
a_3 = a\,r^2

....

a_n = a\,r^{n-1}

jadi jumlah suku ke-n adalah a_n = a\,r^{n-1}

Jumlah suku ke-n
s_n = a + a\,r^1 + a\,r^2 + .... +  a\,r^{n-2} + a\,r^{n-1} .... (1)
s_n r = a\,r^1 + a\,r^2 + a\,r^3 + .... +  a\,r^{n-1} + a\,r^n ... (2) dikalikan dengan r

persamaan (1) dikurangi (2) menjadi:

s_n - s_n r = a - a\,r^1 + a\,r^1 - a\,r^2 + a\,r^2 - a\,r^3 + .... +  a\,r^{n-2} - a\,r^{n-1} + a\,r^{n-1} - a\,r^n
s_n\,(1-r) = a - a\,r^n
s_n = \frac{a\,(1-r^{n})}{1-r}

Deret geometri tak terhingga[sunting | sunting sumber]

s_\infty = \frac{a}{1-r} untuk -1 < r < 1 dimana n adalah \infty serta r^n adalah 0.

Deret geometri ganjil dan genap[sunting | sunting sumber]

s_n = \frac{a}{1-r^2} untuk bilangan ganjil.
s_n = \frac{a\,r}{1-r^2} untuk bilangan genap.

Rumus umum[sunting | sunting sumber]

a_n = a\,r^{n-1}
s_n = \frac{a\,(1-r^{n})}{1-r} untuk r < 1
s_n = \frac{a\,(r^{n}-1)}{r-1} untuk r > 1
s_\infty = \frac{a}{1-r} untuk -1 < r < 1
r = \frac{a_n}{a_{n-1}}
u_t = \sqrt{a\,{a_{n}}}
n_b = n+(n-1)x
r_b = r^{\frac{1}{x+1}}