Asas D'Alembert

Asas d'Alembert, juga dikenal sebagai asas Lagrange-d'Alembert, adalah pernyataan hukum gerak klasik yang mendasar. Dinamakan sesuai dengan penemunya, fisikawan dan matematikawan Prancis Jean le Rond d'Alembert, dan matematikawan Prancis-Italia Joseph Louis de Lagrange. Asas d'Alembert menggeneralisasi prinsip kerja maya dari sistem statis ke dinamis dengan memperkenalkan gaya inersia, dimana jika ditambahkan pada gaya yang diterapkan dalam suatu sistem akan menghasilkan keseimbangan dinamis.

Asas d'Alembert dapat diterapkan dalam kasus kendala kinematik yang bergantung pada kecepatan.^:92 Asas ini tidak berlaku untuk perpindahan yang tidak dapat dipulihkan, seperti gesekan geser, dan diperlukan spesifikasi yang lebih umum tentang ketidakberubahan.

Pernyataan asas

Asas ini menyatakan bahwa jumlah perbedaan antara gaya yang bekerja pada sistem partikel masif dan turunan waktu dari momentum sistem itu sendiri yang diproyeksikan ke perpindahan maya apa pun yang konsisten dengan batasan sistem adalah nol. Dengan demikian, dalam notasi matematika, prinsip d'Alembert dituliskan sebagai berikut.

$\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}-{\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$

dimana:

• $i$ adalah sebuah bilangan bulat yang digunakan untuk mengindikasikan (melalui subskrip) sebuah variabel yang berhubungan dengan partikel tertentu di dalam sistem,
• $\mathbf {F} _{i}$ adalah total gaya yang diberikan (tidak termasuk gaya pembatas) pada partikel ke-$i$,
• $m_{i}$ adalah massa partikel ke-$i$,
• $\mathbf {v} _{i}$ adalah kecepatan partikel ke-$i$,
• $\delta \mathbf {r} _{i}$ adalah perpindahan maya partikel ke-$i$, konsisten dengan batasan.

Notasi titik Newton digunakan untuk merepresentasikan turunan terhadap waktu. Persamaan di atas sering disebut asas d'Alembert, tetapi pertama kali ditulis dalam bentuk variasi ini oleh Joseph Louis de Lagrange. Kontribusi d'Alembert adalah untuk menunjukkan bahwa dalam totalitas sistem dinamis, gaya pembatas menghilang. Artinya, gaya umum $\mathbf {Q} _{j}$ tidak perlu menyertakan gaya pembatas. Ini setara dengan yang agak lebih rumit yaitu asas Gauss tentang batasan terkecil.

Turunan

Kasus umum dengan massa variabel

Pernyataan umum asas d'Alembert menyebutkan "turunan waktu dari momentum sistem". Berdasarkan hukum kedua Newton, turunan waktu pertama dari momentum adalah gaya. Momentum massa ke-$i$ adalah hasil kali antara massa dan kecepatannya:

$\mathbf {p} _{i}=m_{i}\mathbf {v} _{i}$

dan turunan waktunya adalah

${\dot {\mathbf {p} }}_{i}={\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}+m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}$

Di banyak aplikasi, massa adalah konstan dan persamaan ini dirubah menjadi

${\dot {\mathbf {p} }}_{i}=m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}=m_{i}\mathbf {a} _{i}$

Namun, beberapa aplikasi melibatkan perubahan massa (misalnya, rantai yang digulung atau dibuka) dan dalam kasus tersebut kedua istilah ${\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}$ dan $m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}$ harus tetap ada, sehingga

$\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i}-{\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$

Kasus khusus dengan massa konstan

Pertimbangkan hukum Newton untuk sistem partikel dengan massa konstan, $i$. Gaya total pada setiap partikel adalah

$\mathbf {F} _{i}^{(T)}=m_{i}\mathbf {a} _{i}$

dimana:

• $\mathbf {F} _{i}$ adalah gaya total yang bekerja pada partikel sistem,
• $m_{i}\mathbf {a} _{i}$ adalah gaya inersia yang dihasilkan dari gaya total.

Memindahkan gaya inersia ke kiri memberikan ekspresi yang dapat dianggap mewakili keseimbangan kuasi-statis, tetapi sebenarnya hanya merupakan manipulasi aljabar kecil dari hukum Newton:

$\mathbf {F} _{i}^{(T)}-m_{i}\mathbf {a} _{i}=\mathbf {0}$

Mempertimbangkan kerja maya, $\delta W$, dilakukan oleh gaya total dan inersia secara bersamaan melalui perpindahan maya yang berubah-ubah, $\delta \mathbf {r} _{i}$, dari sistem mengarah ke identitas nol, karena gaya yang terlibat berjumlah nol untuk setiap partikel.

$\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\sum _{i}m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$

Persamaan vektor asli dapat dipulihkan dengan mengenali bahwa ekspresi kerja harus berlaku untuk perpindahan yang berubah-ubah. Memisahkan gaya total menjadi gaya yang diterapkan, $\mathbf {F} _{i}$, dan gaya pembatas, $\mathbf {C} _{i}$, menghasilkan

$\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\sum _{i}m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$

Jika perpindahan maya sembarang diasumsikan dalam arah yang ortogonal terhadap gaya pembatas (biasanya tidak demikian sehingga turunan ini hanya berlaku untuk kasus-kasus khusus), gaya pembatas tidak bekerja. Perpindahan tersebut dikatakan konsisten dengan batasan. Hal ini mengarah pada perumusan asas d'Alembert, yang menyatakan bahwa perbedaan gaya yang diterapkan dan gaya inersia untuk sistem dinamis tidak melakukan kerja maya:

$\delta W=\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$

Ada juga prinsip yang sesuai untuk sistem statis yang disebut prinsip kerja maya untuk gaya yang diterapkan.

Gaya inersia asas d'Alembert

D'Alembert menunjukkan bahwa seseorang dapat mengubah benda tegar yang berakselerasi menjadi sistem statis yang setara dengan menambahkan "gaya inersia" dan "torsi inersia" atau momen. Gaya inersia harus bekerja melalui pusat massa dan torsi inersia dapat bekerja di mana saja. Sistem ini kemudian dapat dianalisis persis seperti sistem statis yang mengalami "gaya dan momen inersia" ini dan gaya eksternal. Keuntungannya adalah bahwa dalam sistem statis yang setara, seseorang dapat mengambil momen di titik mana pun (bukan hanya pusat massa). Hal ini sering kali menghasilkan perhitungan yang lebih sederhana karena gaya apa pun (pada gilirannya) dapat dihilangkan dari persamaan momen dengan memilih titik yang sesuai untuk menerapkan persamaan momen (jumlah momen = nol). Bahkan dalam mata kuliah Dasar-Dasar Dinamika dan Kinematika Mesin, asas ini membantu dalam menganalisis gaya yang bekerja pada sebuah sambungan mekanisme ketika bergerak. Dalam buku teks dinamika teknik, hal ini kadang disebut sebagai asas d'Alembert.

Beberapa pendidik memperingatkan bahwa upaya untuk menggunakan mekanika inersia d'Alembert mengarahkan siswa untuk sering membuat kesalahan tanda. Penyebab potensial dari kesalahan ini adalah tanda gaya inersia. Gaya inersia dapat digunakan untuk menggambarkan gaya semu dalam kerangka acuan non-inersia yang memiliki percepatan $\mathbf {a}$ terhadap kerangka acuan inersia. Dalam kerangka acuan non-inersia, sebuah massa yang diam dan memiliki percepatan nol dalam sistem acuan inersia, karena tidak ada gaya yang bekerja padanya, masih akan memiliki percepatan $-\mathbf {a}$ dan gaya inersia semu, atau semu atau gaya fiktif $-m\mathbf {a}$ akan tampak bekerja padanya: dalam situasi ini gaya inersia memiliki tanda minus.

Ekuilibrium dinamis

Bentuk prinsip kerja maya d'Alembert menyatakan bahwa sistem benda tegar berada dalam ekuilibrium dinamis ketika kerja maya dari jumlah gaya yang diterapkan dan gaya inersia adalah nol untuk setiap perpindahan maya sistem. Dengan demikian, ekuilibrium dinamis dari sistem $n$ benda tegar dengan $m$ koordinat umum membutuhkan

$\delta W=\left(Q_{1}+Q_{1}^{*}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(Q_{m}+Q_{m}^{*}\right)\delta q_{m}=0$

untuk setiap set perpindahan maya $\delta q_{j}$ dengan $Q_{j}$ adalah gaya terapan yang digeneralisasi dan $Q_{j}^{*}$ adalah gaya inersia yang digeneralisasi. Kondisi ini menghasilkan persamaan $m$:

$Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m$

juga dapat ditulis dengan

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m$

Hasilnya adalah seperangkat persamaan gerak $m$ yang mendefinisikan dinamika sistem benda tegar.

Formulasi menggunakan Lagrangian

Asas d'Alembert dapat ditulis ulang dalam bentuk Lagrangian L=T-V dari sistem sebagai versi umum dari asas Hamilton sebagai berikut,

$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)dt+\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0$

dimana:

• $\mathbf {r} =(\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{N})$
• $\mathbf {F} _{i}$ adalah gaya yang diterapkan
• $\delta \mathbf {r} _{i}$ adalah perpindahan maya dari partikel ke-$i$, konsisten dengan batasan $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$
• kurva kritis memenuhi batasan $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0$

Dengan Lagrangian

$L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2}$

pernyataan sebelumnya dari asas d'Alembert dipulihkan.

Generalisasi untuk termodinamika

Ekstensi dari asas d'Alembert dapat digunakan dalam termodinamika. Sebagai contoh, untuk sistem termodinamika yang tertutup secara adiabatik yang dijelaskan oleh Lagrangian yang bergantung pada entropi tunggal $S$ dan dengan massa konstan $m_{i}$, seperti

$L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},S,t)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2}-V(\mathbf {r} ,S)$

dituliskan sebagai berikut

$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},S,t)dt+\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0$

dimana batasan sebelumnya $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$ dan $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0$ digeneralisasi untuk melibatkan entropi sebagai:

• $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+T\delta S=0$
• $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}+T{\dot {S}}=0$

Di sini $T=\partial V/\partial S$ adalah suhu sistem, $\mathbf {F} _{i}$ adalah gaya eksternal, $\mathbf {C} _{i}$ adalah gaya disipatif internal. Hal ini menghasilkan persamaan keseimbangan mekanis dan termal:

$m_{i}\mathbf {a} _{i}=-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r} _{i}}}+\mathbf {C} _{i}+\mathbf {F} _{i},\;\;i=1,...,N\qquad \qquad T{\dot {S}}=-\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}$

Aplikasi umum dari asas ini mencakup sistem termo-mekanis, transportasi membran, dan reaksi kimia.

Untuk $\delta S={\dot {S}}=0$ asas dan persamaan d'Alembert klasik ditemukan kembali.