Limit invers: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi per 11 November 2020 04.56

Dalam matematika, limit invers (juga disebut limit proyektif) adalah konstruksi yang memungkinkan seseorang untuk "merekatkan" beberapa objek terkait, cara yang tepat dari proses perekatan yang ditentukan oleh morfisme di antara objek. Limit invers dapat didefinisikan dalam kategori, dan itu adalah kasus khusus dari konsep limit dalam teori kategori.

Objek aljabar

Kita mulai dengan definisi sistem terbalik (atau sistem proyektif) dari grup dan homomorfisme. Misalkan ( $I$ , ≤) menjadi himpunan terarah atau poset (tidak semua penulis memerlukan $I$ untuk diarahkan). Misalkan $A • = (A i) i \in I$ jadilah keluarga dari kelompok dan misalkan kita memiliki keluarga homomorfisme $f_{ij}:A_{j}\to A_{i}$ for all $i\leq j$ (perhatikan urutannya), yang disebut peta ikatan, dengan sifat berikut:

$f_{ii}$ adalah identitas pada $A_{i}$ ,^{[note 1]}
Kondisi kompatibilitas: $f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}$ untuk $i\leq j\leq k$ ; adalah, $A_{k}\xrightarrow {f_{jk}} A_{j}\xrightarrow {f_{ij}} A_{i}\;\;{\text{ is equal to }}\;\;A_{k}\xrightarrow {f_{ik}} A_{i}.$

Lalu pasangan $\left(A_{\bullet },\left(f_{ij}\right)_{i\leq j\in I}\right)$ disebut sistem invers dari grup dan morfisme di atas $I$ . Peta $f ij$ disebut ikatan, menghubungkan, transisi, atau menghubungkan, peta/morfisme dari sistem. Jika peta ikatan dipahami atau jika tidak ada kebutuhan untuk memberikan mereka simbol (misalnya seperti dalam pernyataan beberapa teorema) maka peta ikatan akan sering dihilangkan (yaitu tidak tertulis); untuk alasan ini adalah umum untuk melihat pernyataan seperti "maka $A_{\bullet }$ menjadi sistem invers."^{[note 2]}

Kami mendefinisikan limit invers kanonik dari sistem invers $((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})$ sebagai subgrup tertentu dari produk langsung dari $A_{i}$ 's:

A=\varprojlim _{i\in I}{A_{i}}=\left\{\left.{\vec {a}}\in \prod _{i\in I}A_{i}\;\right|\;a_{i}=f_{ij}(a_{j}){\text{ for all }}i\leq j{\text{ in }}I\right\}.

Batas terbalik $A$ dilengkapi dengan proyeksi alami π_i: $A$ → $A_{i}$ yang memilih komponen ith dari produk langsung untuk setiap $i$ di $I$ . Batas terbalik dan proyeksi natural memenuhi sifat universal yang dijelaskan di bagian selanjutnya.

Konstruksi yang sama ini dapat dilakukan jika $A_{i}$ adalah himpunan,^[1] semigrup,^[1] topological spaces,^[1] cincin, modul (di atas cincin tetap), aljabar (di atas cincin tetap), dll, dan homomorfisme adalah morfisme dalam kategori yang sesuai. Batas terbalik juga akan termasuk dalam kategori itu.

Definisi umum

Limit invers dapat didefinisikan secara abstrak dalam sembarang kategori dengan menggunakan sifat universal. Maka $Sys X • := (X •, f ij)$ menjadi sistem kebalikan dari objek dan morphism dalam kategori C (definisi yang sama seperti di atas). Kami tidak akan menulis $f ij$ kecuali $i$ dan $j$ adalah indeks yang memuaskan $i \leq j$ .

Kumpulan morfisme $ψ • = (ψ i) i \in I$ dari objek $Y$ pada C dikatakan kompatibel atau konsisten^[2] dengan sistem $Sys X •$ jika untuk semua indeks $i \leq j$ , the morfisme $ψ i$ memiliki prototipe $ψ i : Y \to X i$ dan kondisi kompatibilitas berikut ini:

f ij \circ ψ j = ψ i

,

dalam hal ini pasangan $(Y, ψ •)$ disebut kerucut dari $Y$ ke dalam sistem. Objek $Y$ disebut puncak dari kerucut $(Y, ψ •)$ .

Limit invers^[2]^[3] of this inverse system $Sys X • := (X •, f ij)$ adalah kerucut $(X, π •)$ into $Sys X •$ (jadi morfisme ini harus merumuskan $π i = f ij \circ π j$ ) yang berlaku kondisi berikut:

Sifat universal: Jika

(Y, ψ •)

adalah sembarang kerucut ke dalam sistem ini (jadi dengan asumsi morfisme ini memuaskan

ψ i = f ij \circ ψ j

) lalu ada morfisme unik

u : Y \to X

seperti

ψ i = π i \circ u

untuk setiap indeks

i

(ini dapat disingkat

ψ • = π • \circ u

);

Dalam kasus ini, diagram berikut akan perjalanan untuk semua indeks $i \leq j$ ,

Peta unik ini $u : Y \to X$ disebut limit kerucut $(Y, ψ •)$ dan itu juga dapat dilambangkan dengan $ψ \infty$ , $\varprojlim \left(Y,\psi _{\bullet }\right)$ , $\varprojlim \psi _{\bullet }$ , or $lim ψ •$ .

Dikatakan lebih ringkas dan tanpa indeks, sebuah limit invers dari sistem invers $Sys X •$ adalah kerucut $(X, π •)$ menjadi $Sys X •$ seperti itu untuk kerucut $(Y, ψ •)$ ke dalam sistem ini, terdapat morfisme yang unik $u : Y \to X$ seperti $ψ • = π • \circ u$ .

Morfisme $π i : X \to X i$ disebut proyeksi dari $X$ . Limit invers sering dilambangkan

X=\varprojlim X_{i}

dengan sistem invers $(X i, f ij)$ .

Dalam beberapa kategori, batas kebalikan dari sistem pembalikan tertentu tidak ada. Namun, jika ya, itu unik dalam arti yang kuat: diberi dua batas terbalik $X$ dan $X 2$ dari sistem terbalik, terdapat unik isomorfisme $X 2 \to X$ commuting with the projection maps.

Kami mencatat bahwa sistem invers dalam kategori C menerima deskripsi alternatif dalam istilah funktor. Setiap rangkaian I order sebagian dapat dianggap sebagai kategori kecil di mana morfisme terdiri dari panah i → j jika dan hanya jika i ≤ j. Sistem invers kemudian hanya sebuah fungsi kontravarian I → C , dan fungsi limit invers $\varprojlim :C^{I^{op}}\rightarrow C$ adalah funktor kovarian.

Fungsi turunan dari limit invers

Untuk kategori abelian C , fungsi limit invers

\varprojlim :C^{I}\rightarrow C

adalah tepat kiri. Jika I dipesan (tidak hanya dipesan sebagian) dan terhitung, dan C adalah kategori Ab dari golongan abelian, syarat Mittag-Leffler adalah kondisi pada morfisme transisi f_ij yang menjamin ketepatan $\varprojlim$ . Secara khusus, Eilenberg membuat sebuah fungsi

\varprojlim {}^{1}:\operatorname {Ab} ^{I}\rightarrow \operatorname {Ab}

(diucapkan "lim one") sehingga if (A_i, f_ij), (B_i, g_ij), and (C_i, h_ij) adalah tiga sistem kebalikan dari kelompok abelian, dan

0\rightarrow A_{i}\rightarrow B_{i}\rightarrow C_{i}\rightarrow 0

adalah urutan persis pendek dari sistem inversi

0\rightarrow \varprojlim A_{i}\rightarrow \varprojlim B_{i}\rightarrow \varprojlim C_{i}\rightarrow \varprojlim {}^{1}A_{i}

adalah urutan yang tepat dalam Ab.

Lihat pula

Catatan

^ Beberapa penulis (misalnya Dugundji) tidak mewajibkan $f_{ii}$ menjadi peta identitas. Definisi batas terbalik dari sistem yang digeneralisasi tersebut identik dengan definisi yang diberikan di bawah ini.
^ Ini adalah penyalahgunaan notasi dan terminologi karena memanggil $A_{\bullet }$ sistem invers secara teknis tidak benar.

Referensi

^ ^a ^b ^c John Rhodes & Benjamin Steinberg. The q-theory of Finite Semigroups. p. 133. ISBN 978-0-387-09780-0.
^ ^a ^b Mac Lane 1998, hlm. 68-69.
^ Dugundji 1966, hlm. 427-435.

Bibliografi

Templat:Bierstedt An Introduction to Locally Convex Inductive Limits
Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Springer, ISBN 978-3-540-64243-5, OCLC 40551484
Templat:Bourbaki General Topology Part I Chapters 1-4
Templat:Dugundji Topology
Templat:Grothendieck Topological Vector Spaces
Mac Lane, Saunders (September 1998), Categories for the Working Mathematician (edisi ke-2nd), Springer, ISBN 0-387-98403-8
Mitchell, Barry (1972), "Rings with several objects", Advances in Mathematics, 8: 1–161, doi:10.1016/0001-8708(72)90002-3, MR 0294454
Neeman, Amnon (2002), "A counterexample to a 1961 "theorem" in homological algebra (with appendix by Pierre Deligne)", Inventiones Mathematicae, 148 (2): 397–420, doi:10.1007/s002220100197, MR 1906154
Roos, Jan-Erik (1961), "Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications", C. R. Acad. Sci. Paris, 252: 3702–3704, MR 0132091
Roos, Jan-Erik (2006), "Derived functors of inverse limits revisited", J. London Math. Soc., Series 2, 73 (1): 65–83, doi:10.1112/S0024610705022416, MR 2197371
Section 3.5 of Templat:Weibel IHA

Templat:Teori kategori

[1] Beberapa penulis (misalnya Dugundji) tidak mewajibkan $f_{ii}$ menjadi peta identitas. Definisi batas terbalik dari sistem yang digeneralisasi tersebut identik dengan definisi yang diberikan di bawah ini.

[2] Ini adalah penyalahgunaan notasi dan terminologi karena memanggil $A_{\bullet }$ sistem invers secara teknis tidak benar.

[same-construction-3] John Rhodes & Benjamin Steinberg. The q-theory of Finite Semigroups. p. 133. ISBN 978-0-387-09780-0.

[FOOTNOTEMac_Lane199868-69-4] Mac Lane 1998, hlm. 68-69.

[FOOTNOTEDugundji1966427-435-5] Dugundji 1966, hlm. 427-435.

[note 1]

[note 2]

[1]

[2]

[3]