Gelanggang Borromean: Perbedaan antara revisi

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnyaRevisi selanjutnya →
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Adeninasn (bicara | kontrib)
4.882 suntingan
k {{inuse}}
Tag: Suntingan visualeditor-wikitext
Adeninasn (bicara | kontrib)
4.882 suntingan
Infoboks
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler
Baris 1: Baris 1:
{{inuse}}
{{inuse}}
{{Infobox knot theory
⚫
Dalam [[matematika]], '''cincin Borromean'''{{Efn|Named after the [[:File:Coat of arms of the House of Borromeo.svg|coat of arms of the Borromeo family]] in 15th-century [[Lombardy]].}} terdiri dari tiga [[lingkaran]] [[topologi]] yang terhubung dan membentuk [[Brunnian link|tautan Brunnian]] (di mana apabila satu cincin keluar, maka akan menghasilkan dua cincin yang tidak terhubung). Dengan kata lain, tidak ada dua dari tiga cincin yang saling berkait satu sama lain sebagai [[Hopf link|tautan Hopf]], walaupun demikian ketiga cincin tersebut saling terkait.
| name= Cincin Borromean
| practical name=
| image= Borromean Rings Illusion.png
| caption= L6a4
| arf invariant=
| braid number= 3
| braid length= 6
| bridge number=
| crossing number= 6
| hyperbolic volume= 7.327724753
| linking number=
| stick number= 9<!--10<ref>Borwein, Jonathan (2002). ''Multimedia Tools for Communicating Mathematics'', p. 287. ISBN 9783540424505.</ref>-->
| unknotting number= 2
| conway_notation=[.1]
| ab_notation= 6{{sup sub|3|2}}
| dowker notation=
| thistlethwaite= L6a4
| other=
| alternating= saling bergantian
| amphichiral=
| class= hiperbolis
| fibered=
| slice=
| tricolorable=
| last link= L6a3
| next link= L6a5
}}


⚫
Dalam [[matematika]], '''cincin Borromean'''{{Efn|Named after the [[:File:Coat of arms of the House of Borromeo.svg|coat of arms of the Borromeo family]] in 15th-century [[Lombardy]].}} terdiri dari tiga [[lingkaran]] [[topologi]] yang terhubung dan membentuk [[Brunnian link|tautan Brunnian]] (di mana apabila satu cincin keluar, maka akan menghasilkan dua cincin yang tidak terhubung). Dengan kata lain, tidak ada dua dari tiga cincin yang saling berkait satu sama lain sebagai [[Hopf link|tautan Hopf]], walaupun demikian ketiga cincin tersebut saling terkait.


== Sifat matematika ==
== Sifat matematika ==

Revisi per 5 Februari 2018 15.46

Cincin Borromean
L6a4
Panjang kepangan6[[Kategori:Buhul dan jalinan panjang kepangan {{{panjang kepangan}}}]]
Bil. kepangan3[[Kategori:Buhul dan jalinan bilangan kepangan {{{bilangan kepangan}}}]]
Bil. penyilangan6[[Kategori: Buhul dan jalinan bilangan penyilangan {{{bilangan penyilangan}}}]]
Volume hiperbolik7.327724753
Bil. lekat9[[Kategori:buhul dan jalinan bilangan lekat {{{bilangan lekat}}}]]
Bil. takbuhulan2
Notasi Conway[.1]
Notasi A–B632
ThistlethwaiteL6a4
Last /NextL6a3 / L6a5
Other
saling bergantian, hiperbolis


Dalam matematika, cincin Borromean[a] terdiri dari tiga lingkaran topologi yang terhubung dan membentuk tautan Brunnian (di mana apabila satu cincin keluar, maka akan menghasilkan dua cincin yang tidak terhubung). Dengan kata lain, tidak ada dua dari tiga cincin yang saling berkait satu sama lain sebagai tautan Hopf, walaupun demikian ketiga cincin tersebut saling terkait.

Sifat matematika

Ketidakmungkinan cincin melingkar sempurna

Meskipun gambar khas cincin-cincin Borromean (pada gambar sebelah kanan di atas) menyebabkan seseorang berpikir bahwa tautan tersebut dapat terbentuk dari cincin lingkaran geometris yang ideal, tetapi hal ini tidak mungkin. Freedman dan Skora (1987) membuktikan bahwa suatu kelas tautan tertentu, termasuk tautan Borromean, tidak dapat melingkar dengan persis. Sebagai alternatif, hal ini dapat dilihat dengan mempertimbangkan diagram tautan: jika seseorang mengasumsikan bahwa lingkaran 1 dan 2 menyentuh kedua titik persimpangan mereka, maka keduanya akan terbentang pada suatu bidang datar atau bola. Dalam kedua kasus tersebut, lingkaran ketiga harus melewati bidang datar atau bola ini selama empat kali, tanpa terbentang di dalamnya, di mana tidak memungkinkan; Lihat ([[#CITEREF|]]).

Realisasi dari cincin Borromean sebagai elips
Gambar Cincin Borromean 3D

Namun, bagaimana pun, hal ini mungkin, apabila seseorang dapat menggunakan elips  (lihat gambar kanan). Hal ini dapat dianggap eksentrisitas arbitrer kecil; di mana tidak peduli seberapa presisi bentuk lingkarannya, selama bentuknya tidak melingkar sempurna, lingkaran-lingkaran ini dapat membentuk tautan Borromean jika sesuai; Sebagai contoh, lingkaran tipis dari kawat elastis yang dapat ditekuk dapat digunakan sebagai cincin Borromean.

Hubungan dengan grafik oktahedral

Selain menunjukkan untai mana yang menyilang di atas satu sama lain, diagram tautan menggunakan notasi yang sama dalam menunjukkan dua alur persimpangan, seperti diagram grafik yang digunakan dalam menunjukkan empat sisi yang saling bertemu pada simpul umum. Dengan demikian, grafik oktahedron reguler dapat diubah menjadi diagram tautan dengan menetapkan bahwa, sebagai untaian yang mengikuti tepi yang berturutan, yang bergantian antara melewati simpul dan melewati bagian bawah berikutnya. Hasilnya memiliki tiga loop terpisah, yang dihubungkan bersamaan dengan cincin Borromean.[1]

Pertautan

Dalam teori simpul, cincin Borromean merupakan contoh sederhana dari hubungan Brunnian: walaupun masing-masing pasang cincin tidak terhubung, keseluruhan tautan tersebut tidak dapat dilepaskan tautannya. Terdapat beberapa cara untuk melihat hal ini.

Tautan yang paling sederhana adalah kelompok fundamental dari dua lingkaran yang komplementer, yang tak terkait, yang merupakan kelompok bebas pada dua generator, a dan b, oleh teorema Seifert-van Kampen, dan kemudian loop ketiga memiliki kelas komutator, [a, b] = aba−1b−1, seperti yang dapat dilihat dari diagram tautan: lebih dari satu, lebih dari yang berikutnya, kembali lagi di bawah yang pertama, kembali di bawah yang kedua. Hal ini merupakan hal yang tidak penting dalam kelompok fundamental, dan karenanya cincin Borromean saling bertautan.

Cara lain adalah bahwa kohomologi dari komplementasi yang mendukung produk Massey non-trivia, yang tidak menjadi masalah bagi penghilangan tautan. Hal ini merupakan contoh sederhana dari produk Massey dan selanjutnya, di mana aljabar sesuai dengan geometri: produk Massey 3 kali lipat merupakan produk 3 kali lipat yang hanya ditentukan jika semua produk 2 kali lipat lenyap, yang sesuai dengan cincin Borromean yang dipasangkan secara berpasangan (2 kali lipat produk lenyap), tetapi terkait secara keseluruhan (di mana produk 3 kali lipat tidak hilang).

Dalam topologi aritmatika, terdapat analogi antara simpul dan bilangan prima, di mana terdapat hubungan-hubungan antara bilangan prima. Tiga bilangan prima (13, 61, 937) dihubungkan modulo 2 (simbol Rédei adalah -1), tetapi dipasangkan dengan pasangan modulo 2 (simbol Legendre yang semuanya 1). Oleh karena itu, bilangan prima ini disebut "triple Borromean modulo 2"[2] atau "bilangan prima mod 2 Borromean".[3]

Geometri hiperbolik

Cincin Borromean merupakan tautan hiperbolik: komplementasi cincin Borromean dalam bola-3 yang memuat metrik hiperbolik lengkap dengan volume terbatas. Dekomposisi polihedral kanonikal (Epstein-Penner) dari komplementasi yang terdiri dari dua oktahedra ideal biasa. Volumenya adalah 16Л (π / 4) = 7.32772 ... di mana Л adalah fungsi Lobachevsky.[4]

Hubungan dengan kepang

Tali pengikat standar 3 sesuai dengan cincin Borromean.

Jika seseorang memotong cincin Borromean, maka seseorang dapat memperoleh satu iterasi dari jalinan standar; sebaliknya, jika seseorang menghubungkan ujung-ujung (dari satu iterasi) kepang standar, maka seseorang dapat memperoleh cincin Borromean. Sama halnya seperti menghilangkan satu cincin Borromean yang dapat memutuskan dua untaian yang tersisa, mengeluarkan satu untaian kepang standar yang tidak bertaut dengan dua kepang lainnya: keduanya merupakan tautan Brunnian dasar dan kepang Brunnian.

Dalam diagram link standar, cincin Borromean disusun secara non-transit, dalam urutan siklis. Dengan menggunakan warna di atas, warna merah di atas hijau, hijau di atas biru, biru di atas merah – dan karena itu setelah mengeluarkan satu cincin, maka dua cincin yang tersisa, di mana yang satu berada di atas yang lain, serta keduanya dapat dipisahkan. Demikian pula, dalam kepang standar, masing-masing untai berada di atas yang lainnya dan pada waktu yang sama berada di bawah yang lainnya.

Sejarah

Cincin Borromean sebagai simbol Tritunggal Kristen, dari manuskrip abad ke-13.
Valknut di batu Stora Hammars I 

Nama "cincin Borromean" berasal dari penggunaannya sebagai  lambang keluarga aristrokrat Borromeo di Italia Utara. Tautan itu sendiri sudah jauh lebih tua dan telah muncul dalam bentuk valknut pada gambar batu suku Norse yang berasal pada abad ke-7.

Cincin Borromean telah digunakan dalam konteks yang berbeda untuk menunjukkan kekuatan dalam kesatuan, misalnya, dalam agama atau seni. Secara khusus, beberapa menggunakan desain ini untuk melambangkan Tritunggal. Psikoanalis terkenal, Jacques Lacan menemukan inspirasi dalam cincin Borromean sebagai model topologi subjektivitas manusia, dengan masing-masing cincin mewakili komponen realitas mendasar Lacanian (yaitu tatanan "riil", "imajiner", dan "simbolik").

Cincin ini juga digunakan sebagai logo bir Ballantine, dan masih digunakan sebagai merek bir Ballantine, yang kini didistribusikan oleh pemilik merek saat ini, yaitu Pabst Brewing Company.

Sebuah simpul tinju monyet

Cincin Borromean, karena sifat matematisnya, ditampilkan oleh Martin Gardner pada kolom "Permainan Matematika" dalam Scientific American pada September 1961.

Di tahun 2006, Serikat Matematika Internasional memutuskan pada Kongres Internasional Matematikawan ke-25 di Madrid, Spanyol supaya menggunakan logo baru yang berdasarkan cincin Borromean.[5]

Sebuah pilar batu di Kuil Marundeeswarar di Thiruvanmiyur, Chennai, Tamil Nadu, India, memiliki sosok seperti ini sebelum abad ke-6.[6][7]

"Mandala" diskordian, yang berisi lima konfigurasi cincin Borromean

Cincin parsial

Di Eropa abad pertengahan dan renaisans, sejumlah tanda visual ditemukan yang terdiri dari tiga elemen yang saling terkait sedemikian rupa sehingga cincin Borromean ditunjukkan saling terkait (dalam penggambaran dua dimensi konvensional mereka), tetapi elemen-elemen individualnya tidak tertutup. Contoh simbol semacam itu adalah tanduk batu Snoldelev dan bulan sabit Diana dari Poitiers. Contoh tiga elemen berbeda misalnya logo Sport Club Internacional. Tanda visual yang kurang terkait mencakup diagram Gankyil dan Venn pada tiga pasangan.

Demikian pula, simpul tinju monyet pada dasarnya adalah representasi cincin Borromean tiga dimensi, meskipun memiliki tiga lapisan, dalam banyak kasus.

Dengan menggunakan pola cincin Borromean yang tidak lengkap, seseorang dapat menyeimbangkan tiga pisau pada tiga penopang, seperti tiga botol atau gelas, yang dapat menopang pada bagian tengah pada botol atau gelas keempat.[8]

Cincin dengan kelipatan

Beberapa simpul-teoretis memiliki kelipatan konfigurasi cincin Borromean; di mana satu tautan memiliki lima lingkaran (loop) dari jenis ini yang digunakan sebagai simbol dalam Diskordianisme, yang didasarkan pada sebuah penggambaran dalam Principia Discordia.

Realisasi

Struktur kristal dari cincin Borromean molekul yang dilaporkan oleh Stoddart dkk. (Sains 2004)[9]

Cincin Borromean Molekuler merupakan lingkaran molekul cincin Borromean, yang memiliki struktur molekul mekanis yang saling terkait. Pada tahun 1997, ahli biologi Chengde Mao dan rekan kerjanya dari Universitas New York berhasil membangun seperangkat cincin dari DNA.[10] Pada tahun 2003, ahli kimia Fraser Stoddart dan rekan kerjanya di UCLA menggunakan koordinasi kimia dalam membangun satu set cincin dalam satu langkah dari 18 komponen. Sebuah perpustakaan jaringan Borromean telah disintesis dengan sengaja oleh Giuseppe Resnati dan rekan kerjanya melalui ikatan halogen mandiri.[11]

Sebuah analog kuantum mekanis dari cincin Borromean disebut dengan keadaan halo atau keadaan Efimov (di mana keberadaan suatu keadaan seperti itu telah diprediksi oleh ahli fisika Vitaly Efimov, di tahun 1970). Untuk pertama kalinya kelompok riset Rudolf Grimm dan Hanns-Christoph Nägerl dari Institut Fisika Eksperimental (Universitas Innsbruck, Austria) mengkonfirmasi melalui sebuah percobaan dengan keadaan semacam itu dalam gas ultracold dari atom sesium di tahun 2006, serta menerbitkan temuan mereka dalam jurnal ilmiah Nature.[12] Sebuah tim fisikawan yang dipimpin oleh Randall Hulet dari Universitas Rice di Houston, mencapai hal ini dengan satu set dari tiga atom litium terikat dan menerbitkan temuan mereka pada jurnal daring Science Express.[13] Pada tahun 2010, sebuah tim yang dipimpin oleh K. Tanaka menciptakan sebuah keadaan Efimov di dalam sebuah sel inti.[14]

Lihat pula

Catatan

  1. ^ Named after the coat of arms of the Borromeo family in 15th-century Lombardy.

Referensi

  1. ^ N. L. Biggs (1 March 1981). "T. P. Kirkman Mathematician". Bull. London Math. Soc. 13 (2): 116. doi:10.1112/blms/13.2.97. Diakses tanggal 24 January 2017. 
  2. ^ Denis Vogel (13 February 2004), Massey products in the Galois cohomology of number fields, urn:nbn:de:bsz:16-opus-44188 
  3. ^ Masanori Morishita (22 April 2009), Analogies between Knots and Primes, 3-Manifolds and Number Rings, arXiv:0904.3399 alt=Dapat diakses gratis 
  4. ^ William Thurston (March 2002), "7. Computation of volume" (PDF), The Geometry and Topology of Three-Manifolds, hlm. 165 
  5. ^ ICM 2006
  6. ^ Arul Lakshminarayan (May 2007). "Borromean Triangles and Prime Knots in an Ancient Temple" (PDF). Indian Academy of Sciences. Diakses tanggal 18 September 2014. 
  7. ^ Blog entry by Arul Lakshminarayan
  8. ^ Comments on Knives And Beer Bar Trick: Amazing Balance
  9. ^ Kelly S. Chichak; Stuart J. Cantrill; Anthony R. Pease; Sheng-Hsien Chiu; Gareth W. V. Cave; Jerry L. Atwood; J. Fraser Stoddart (28 May 2004). "Molecular Borromean Rings". Science. 304 (5675): 1308–1312. 
  10. ^ C. Mao; W. Sun; N. C. Seeman (1997). "Assembly of Borromean rings from DNA". Nature. 386 (6621): 137–138. doi:10.1038/386137b0. PMID 9062186. 
  11. ^ Giuseppe Resnati; et al. (2017). "Halogen bonded Borromean networks by design: topology invariance and metric tuning in a library of multi-component systems". Chemical Science. doi:10.1039/C6SC04478F. CS1 maint: Explicit use of et al. (link)
  12. ^ T. Kraemer; M. Mark; P. Waldburger; J. G. Danzl; C. Chin; B. Engeser; A. D. Lange; K. Pilch; A. Jaakkola; H.-C. Nägerl; R. Grimm (2006). "Evidence for Efimov quantum states in an ultracold gas of caesium atoms". Nature. 440 (7082): 315–318. arXiv:cond-mat/0512394 alt=Dapat diakses gratis. Bibcode:2006Natur.440..315K. doi:10.1038/nature04626. PMID 16541068. 
  13. ^ Clara Moskowitz (December 16, 2009), Strange Physical Theory Proved After Nearly 40 Years, Live Science 
  14. ^ K. Tanaka (2010), "Observation of a Large Reaction Cross Section in the Drip-Line Nucleus 22C", Physical Review Letters, 104 (6): 062701, doi:10.1103/PhysRevLett.104.062701 

Bacaan lanjut

  • P. R. Cromwell, E. Beltrami and M. Rampichini, "The Borromean Rings", Mathematical Intelligencer Vol. 20 no. 1 (1998) 53–62.
  • Freedman, Michael H.; Skora, Richard (1987), "Actions of Groups", Journal of Differential Geometry, 25: 75–98 
  • Lindström, Bernt; Zetterström, Hans-Olov (1991), "Borromean Circles are Impossible", American Mathematical Monthly, 98 (4): 340–341, doi:10.2307/2323803, JSTOR 2323803 (subscription required). This article explains why Borromean links cannot be exactly circular.  More than one of |JSTOR= dan |jstor= specified (bantuan); More than one of |DOI= dan |doi= specified (bantuan)
  • Brown, R. and Robinson, J., "Borromean circles", Letter, American Math. Monthly, April, (1992) 376–377. This article shows how Borromean squares exist, and have been made by John Robinson (sculptor), who has also given other forms of this structure.
  • Chernoff, W. W., "Interwoven polygonal frames". (English summary) 15th British Combinatorial Conference (Stirling, 1995). Discrete Math. 167/168 (1997), 197–204. This article gives more general interwoven polygons.

Pranala luar

Diperoleh dari "https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Gelanggang_Borromean&oldid=13680738"