Masalah pembenaman Connes

Masalah pembenaman Connes, dirumuskan oleh Alain Connes pada tahun 1970an, merupakan sebuah masalah besar dalam teori aljabar von Neumann. Selama waktu itu, masalahnya dirumuskan dalam beberapa bidang matematika yang berbeda. Dan Vioculescu mengembangkan teori entropi bebasnya menemukan bahwa masalah pembenaman Connes berkaitan dengan keberadaan keadaan mikro. Beberapa hail teori aljabar von Neumann dapat diperoleh mengasumsi penyelesaian positif dengan masalahnya. Masalahnya dihubungkan dengan beberapa pertanyaan dasar dalam teori kuantum, yang mengarah ke realisasi bahwa ini juga memilii implikasi yang penting dalam ilmu komputer.

Masalahnya mengakui jumlah perumusan setara. Terutama, ini setara dengan masalah yang sudah lama terjadi berikut:

• Konjektur QWEP Kirchberg dalam teori aljabar-C*
• Masalah Tsirelson dalam teori informasi kuantum
• Pra-ganda suatu aljabar von Neumann (terpisahkan) jelas terwakilkan dalam kelas teras.

Pada bulan Januari 2020, Ji, Natarajan, Vidick, Wright, dan Yuen mengumumkan sebuah hasil dalam teori kekompleksan kuantum yang menyiratkan sebuah jawaban negatif untuk masalah pembenaman Connes.

Pernyataan

Misalkan $\omega$ menjadi sebuah ultratapis bebas pada bilangan asli dan misalkan $R$ menjadi faktor tipe II₁ hiperhingga dengan teras $\tau$. Salah satunya dapat membangun ultrakuasa $R^{\omega }$ sebagai berikut:

Misalkan

$l^{\infty }(R)=\{(x_{n})_{n}\subseteq R:\sup _{n}||x_{n}||<\infty \}$

menjadi aljabar von Neumann mengenai barisan terbatas bernorma dan misakan

$I_{\omega }=\{(x_{n})\in l^{\infty }(R):\lim _{n\rightarrow \omega }\tau (x_{n}^{*}x_{n})^{\frac {1}{2}}=0\}$.

Hasil bagi $R^{\omega }={\frac {l^{\infty }(R)}{I_{\omega }}}$ ternyata menjadi sebuah faktor II₁ dengan teras

$\tau _{R^{\omega }}(x)=\lim _{n\rightarrow \omega }\tau (x_{n}+I_{\omega })$

dimana $(x_{n})_{n}$ adalah suatu barisan wakilan $x$.

Masalah pembenaman Connes menanyakan apakah setiap faktor tipe II₁ pada sebuah ruang Hilbert terpisahkan dapat dibenamkan menjadi suatu $R^{\omega }$.

Penyelesaian positif untuk masalahnya akan menyiratkan subruang invarian ada untuk sebuah kelas besar mengenai operator-operator dalam faktor II-1 (Uffe Haagerup); semua grup diskret tercacahkan adalah hiperlinear. Sebuah penyelesaian positif untuk masalahnya akan menyiratkan oleh persamaan antara entropi bebas $\chi ^{*}$ dan entropi bebas didefinisikan oleh keadaan mikro (Dan Voiculescu). Pada bulan Januari 2020, sebuah grup penelitian dikatakan telah menyelesaikan masalah dalam negatifnya, yaitu, terdapat faktor von Neumann tipe II₁ yang tidak dapat dibenamkan dalam sebuah ultrakuasa $R^{\omega }$ dari faktor hiperhingga II₁.

Kelas isomorfisme $R^{\omega }$ adalah bebas dari ultratapis jika dan hanya jika hipotesis kontinum adalah benar (Ge-Hadwin dan Farah-Hart-Sherman), tetapi seperti sebuah sifat pembenaman tidak bergantung pada ultratapis karena aljabar von Neumann bertindak pada ruang Hilbert terpisahkan, bahasa kasarnya, sangat kecil.

Masalahnya mengakui jumlah perumusan setara.

Konferensi ditujukan ke masalah pembenaman Connes

• Connes' embedding problem and quantum information theory workshop; Universitas Vanderbilt di Nashville Tennessee; 1–7 Mei, 2020 ((ditunda; Akan diumumkan)
• The many faceted Connes' Embedding Problem; BIRS, Kanada; 14–19 Juli, 2019
• Winter school: Connes' embedding problem and quantum information theory; 7–11 Januari, 2019
• Workshop on Sofic and Hyperlinear Groups and the Connes Embedding Conjecture; UFSC Florianopolis, Brazil; 10–21 Juni 2018
• Approximation Properties in Operator Algebras and Ergodic Theory; UCLA; 30 April–5 Mei, 2018
• Operator Algebras and Quantum Information Theory; Institut Henri Poincare, Paris; Desember 2017
• Workshop on Operator Spaces, Harmonic Analysis and Quantum Probability; ICMAT, Madrid; 20 Mei–14 Juni, 2013
• Fields Workshop around Connes Embedding Problem – University of Ottawa, 16–18 Mei, 2008

Bacaan lebih lanjut

• Capraro, Valerio (2010). "A Survey on Connes' Embedding Conjecture". arΧiv:1003.2076 [math.OA]. 
• Farah, I.; Hart, B.; Sherman, D. (2013). "Model theory of operator algebras I: stability". Bulletin of the London Mathematical Society. 45 (4): 825–838. arXiv:0908.2790 . doi:10.1112/blms/bdt014. 
• Ge; Hadwin (2001). "Ultraproducts of C*-algebras". Oper. Theory Adv. Appl. 127: 305–326. doi:10.1007/978-3-0348-8374-0_17. 
• Collins, Benoıt; Dykema, Ken (2008). "A linearization of Connes' embedding problem" (PDF). New York Journal of Mathematics. 14: 617–641. 
• Sherman, David (2008). "Notes on Automorphisms of Ultrapowers of II₁ Factors". Department of Mathematics, University of Virginia.
• Pisier, Gilles. "Tensor products of C*-algebras and operator spaces: The Connes-Kirchberg problem" (PDF).