Teori roda

Sebuah roda merupakan tipe aljabar, dalam arti aljabar universal, dimana pembagian selalu terdefinisi. Khususnya, pembagian oleh nol menjadi berarti. Bilangan real dapat dijabarkan menjadi sebuah roda, seperti halnya gelanggang komutatif.

Istilah roda terinspirasi oleh gambar topologis $\odot$ dari garis proyektif bersama dengan titik tambahan $\bot ={\frac {0}{0}}$.

Definisi

Sebuah roda merupakan sebuah strukur aljabar $(W,0,1,+,\cdot ,/)$, di mana

• $W$ merupakan sebuah himpunan,
• $0$ dan $1$ merupakan elemen dari himpunan tersebut,
• $+$ dan $\cdot$ merupakan operator biner,
• $/$ merupakan sebuah operator uner,

dan memenuhi sebagai berikut:

• Penjumlahan dan perkalian adalah komutatif dan asosiatif, dengan $0$ dan $1$ sebagai masing-masing identitasnya.
• $//x=x$ ($/$ adalah involusi)
• $/(xy)=/y/x$ ($/$ adalah perkalian)
• $xz+yz=(x+y)z+0z$
• $(x+yz)/y=x/y+z+0y$
• $0\cdot 0=0$
• $(x+0y)z=xz+0y$
• $/(x+0y)=/x+0y$
• $0/0+x=0/0$

Aljabar roda

Roda menggantikan pembagian biasa sebagai operator biner dengan perkalian, dengan sebuah operator uner diterapkan ke satu argumen $/x$ mirip (tapi tak identis) dengan perkalian invers $x^{-1}$, sehingga $a/b$ menjadi tulisan cepat untuk $a\cdot /b=/b\cdot a$, tetapi bukan baik $a\cdot b^{-1}$ maupun $b^{-1}\cdot a$ umumnya, dan memodifikasi aturan aljabar sehingga

• $0x\neq 0$ dalam kasus umum
• $x-x\neq 0$ dalam kasus umum
• $x/x\neq 1$ dalam kasus umum, karena $/x$ tidak sama dengan perkalian invers dari $x$.

Jika terdapat sebuah elemen $a$ sehingga $1+a=0$, maka kita dapat mendefinisikan negasi dengan $-x=ax$ dan $x-y=x+(-y)$.

Identitas lainnya yang dapat diturunkan ialah

• $0x+0y=0xy$
• $x-x=0x^{2}$
• $x/x=1+0x/x$

Dan, untuk $x$ dengan $0x=0$ dan $0/x=0$ kita mendapatkan yang biasa

• $x-x=0$

Jika negasi dapat didefinisikan seperti di atas, maka subhimpunan $\{x\,|\,0x=0\}$ merupakan sebuah gelanggang komutatif, dan setiap gelanggang komutatif seperti sebuah subhimpunan dari sebuah roda. Jika $x$ adalah sebuah elemen terbalikkan dari teori gelanggang, maka $x^{-1}=x$. Dengan demikian, setiap kali $x^{-1}$ masuk akal, ini sama dengan $/x$, tetapi yang terakhir selalu didefinisikan, bahkan ketika $x=0$.

Contoh

Roda pecahan

Misalkan $A$ menjadi sebuah gelanggang komutatif, dan misalkan $S$ menjadi sebuah submonoid perkalian dari $A$. Mendefinisikan relasi kekongruenan $\sim _{S}$ pada $A\times A$ melalui

$(x_{1},x_{2})\sim _{S}(y_{1},y_{2})$ berarti bahwa terdapat suatu $s_{x},s_{y}\in S$ sehingga $(s_{x}x_{1},s_{x}x_{2})=(s_{y}y_{1},s_{y}y_{2})$.

Mendefinisikan roda pecahan dari $A$ yang terhadap $S$ sebagai kuosien $A\times A~/\sim _{S}$ (dan melambangkan kelas kesetaraan berisi $(x_{1},x_{2})$ sebagai $[x_{1},x_{2}]$ dengan operasi

$0=[0_{A},1_{A}]$           (identitas tambahan)

$1=[1_{A},1_{A}]$            (identitas perkalian)

$/[x_{1},x_{2}]=[x_{2},x_{1}]$           (operasi timbal-balik)

$[x_{1},x_{2}]+[y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}]$            (operasi penambahan)

$[x_{1},x_{2}]\cdot [y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}]$           (operasi perkalian)

Garis proyektif dan bola Riemann

Kasus khusus di atas dimulai dengan sebuah medan menghasilkan sebuah garis proyektif diperpanjang menjadi sebuah roda dengan berdampingan sebuah elemen $\bot$, dimana $0/0=\bot$. Garis proyektif merupakan sendirinya sebagai ekstensi dari medan asli oleh sebuah unsur $\infty$, dimana $z/0=\infty$ untuk setiap elemen $z\neq 0$ dalam medan. Namun, $0/0$ masih takterdefinisi pada garis proyektif, tetapi terdefinisi dalam ekstensinya menjadi sebuah roda.

Dimulai dengan bilangan real, "garis" proyektif padanan secara geometris sebuah lingkaran, dan kemudian titik tambahan $0/0$ memberikan bentuk yang merupakan sumber dari istilah "roda". Atau dimulai dengan bilangan kompleks sebagai gantinya, "garis" proyektif padanan merupakan sebuah bola (bola Riemann), dan kemudian titik tambahan memberikan sebuah versi 3 dimensi dari sebuah roda.

Referensi

• Setzer, Anton (1997), Wheels (PDF)  (a draft)
• Carlström, Jesper (2004), "Wheels – On Division by Zero", Mathematical Structures in Computer Science, Cambridge University Press, 14 (1): 143–184, doi:10.1017/S0960129503004110  (also available online here).
• A, BergstraJ; V, TuckerJ (1 April 2007). "The rational numbers as an abstract data type". Journal of the ACM (dalam bahasa Inggris). 54 (2): 7. doi:10.1145/1219092.1219095. 
• Bergstra, Jan A.; Ponse, Alban (2015). "Division by Zero in Common Meadows". Software, Services, and Systems: Essays Dedicated to Martin Wirsing on the Occasion of His Retirement from the Chair of Programming and Software Engineering. Lecture Notes in Computer Science (dalam bahasa Inggris). Springer International Publishing. 8950: 46–61. doi:10.1007/978-3-319-15545-6_6. ISBN 978-3-319-15544-9.