Fungsi-H Fox

Dalam matematika, fungsi-H Fox $H(x)$ adalah sebuah perampatan dari fungsi-G Meijer dan fungsi Fox–Wright yang diperkenalkan oleh Charles Fox (1961). Fungsi tersebut didefinisikan oleh integral Mellin–Barnes

$$H_{p,q}^{\,m,n}\!\left[z\left|{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}}\right.\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}+B_{j}s)\,\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}-A_{j}s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}-B_{j}s)\,\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}+A_{j}s)}}z^{-s}\,ds$$

dimana $L$ adalah kontur tertentu yang memisahkan kutub dari dua faktor dalam penyebut. Bandingkan dengan fungsi-G Meijer,

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)\,=\,{\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-s)\,\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}+s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}+s)\,\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-s)}}\,z^{s}\,ds$

Kasus khusus untuk yang H FOx dikurangi menjadi G Meijer adalah $A_{j}=B_{k}=C$, $C>0$, untuk $j=1\dots p$ dan $k=1\dots q$ ((Srivastava 1984, hlm. 50):

$$H_{p,q}^{\,m,n}\!\left[z\left|{\begin{matrix}(a_{1},C)&(a_{2},C)&\ldots &(a_{p},C)\\(b_{1},C)&(b_{2},C)&\ldots &(b_{q},C)\end{matrix}}\right.\right]={\frac {1}{C}}G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z^{1/C}\right)$$

Sebuah perampatan dari fungsi-H Fox diberikan oleh Innayat Hussain (AA 1987). Untuk sebuah perampatan fungsi ini lebih lanjut, berguna dalam fisika dan statistika, lihat (Rathie 1997).

Referensi

• Fox, Charles (1961), "The G and H functions as symmetrical Fourier kernels", Transactions of the American Mathematical Society, 98: 395–429, doi:10.2307/1993339, ISSN 0002-9947, JSTOR 1993339, MR 0131578 
• Innayat-Hussain, AA (1987), "New properties of hypergeometric series derivable from Feynman integrals. I: Transformation and reduction formulae", J. Phys. A: Math. Gen., 20: 4109–4117, doi:10.1088/0305-4470/20/13/019 
• Innayat-Hussain, AA (1987), "New properties of hypergeometric series derivable from Feynman integrals. II: A generalization of the H-function", J. Phys. A: Math. Gen., 20: 4119–4128, doi:10.1088/0305-4470/20/13/020 
• Kilbas, Anatoly A. (2004), H-Transforms: Theory and Applications, CRC Press, ISBN 978-0415299169 

• Mathai, A. M.; Saxena, Ram Kishore (1978), The H-function with applications in statistics and other disciplines, Halsted Press [John Wiley & Sons], New York-London-Sidney, ISBN 978-0-470-26380-8, MR 0513025 
• Mathai, A. M.; Saxena, Ram Kishore; Haubold, Hans J. (2010), The H-function, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-4419-0915-2, MR 2562766 
• Rathie, Arjun K. (1997), "A new generalization of generalized hypergeometric function", Le Matematiche, LII: 297–310 .
• Srivastava, H. M.; Gupta, K. C.; Goyal, S. P. (1982), The H-functions of one and two variables, New Delhi: South Asian Publishers Pvt. Ltd., MR 0691138 
• Srivastava, H. M.; Manocha, H. L. (1984). A treatise on generating functions. ISBN 0-470-20010-3. 

Tautan eksternal

• hypergeom pada GitLab