Topologi produk

Dalam topologi dan bidang terkait matematika, ruang produk adalah produk Cartesius dari keluarga ruang topologi yang dilengkapi dengan topologi alami yang disebut topologi produk. Topologi ini berbeda dari topologi lain, yang mungkin lebih jelas, yang disebut topologi kotak, yang juga dapat diberikan pada ruang produk dan yang sesuai dengan topologi produk ketika produk hanya memiliki banyak ruang yang terbatas. Namun, topologi produk "benar" karena membuat ruang produk menjadi produk kategoris dari faktor-faktornya, sedangkan topologi kotak terlalu baik; dalam arti topologi produk adalah topologi alami pada produk Cartesius.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Diberikan X, juga dikenal sebagai ruang produk, sedemikian rupa

$X:=\prod _{i\in I}X_{i}=X_{0}\times X_{1}\dots \times X_{i}$

adalah produk Cartesius dari ruang topologi X_i, indeks oleh $i\in I$ dan proyeksi kanonik p_i : X → X_i topologi produk pada X didefinisikan sebagai topologi paling kasar (mis. topologi dengan set terbuka paling sedikit) yang semua proyeksi pi kontinu. Topologi produk kadang-kadang disebut topologi Tychonoff.

Set terbuka dalam topologi produk adalah serikat (terbatas atau tak terbatas) dari set formulir $\prod _{i\in I}U_{i}$ , dimana masing-masing U_i adalah terbuka di X_i and U_i ≠ X_i hanya untuk banyak i. Khususnya, untuk produk yang terbatas (khususnya, untuk produk dari dua ruang topologis), himpunan semua produk Cartesius antara satu elemen dasar dari masing-masing X_i memberikan dasar untuk topologi produk $\prod _{i\in I}X_{i}$ . Yaitu, untuk produk yang terbatas, himpunan semua $\prod _{i\in I}U_{i}$ , di mana $U_{i}$ adalah elemen dasar (dipilih) dari $X_{i}$ , adalah dasar untuk topologi produk $\prod _{i\in I}X_{i}$ .

Topologi produk pada X adalah topologi yang dihasilkan oleh set formulir p_i⁻¹(U_i), di mana i ada di I dan U_i adalah subset terbuka dari X _i. Dengan kata lain, set {p_i⁻¹ (U_i)} membentuk subbasis untuk topologi pada X. Subset X terbuka jika dan hanya jika itu adalah (mungkin tak terbatas) persilangan persimpangan dari banyak kumpulan bentuk p_i⁻¹(U_i). p_i⁻¹(U_i) kadang-kadang disebut silinder terbuka, dan persimpangan mereka adalah set silinder.

Secara umum, produk dari topologi masing-masing X_i membentuk dasar untuk apa yang disebut topologi kotak pada X. Secara umum, topologi kotak lebih baik daripada topologi produk, tetapi untuk produk terbatas mereka bertepatan.