Teori buhul

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian
Contoh-contoh mengenai buhul yang berbeda termasuk buhul trivial (bagian kiri atas) dan berbentuk semanggi (di bawahnya)
Sebuah diagram buhul dari buhul semanggi, buhul taktrivial paling sederhana.


Dalam topologi, teori buhul mempelajari buhul matematis. Selagi terinspirasi oleh buhul yang muncul dalam kehidupan sehari-hari, seperti tali sepatu dan tali itu, sebuah buhul matematis berbeda pada akhirnya disambung bersama-sama sehingga tidak dapat diselesaikan, buhul paling sederhana menjadi sebuah gelanggang (atau "takbuhul"). Dalam bahasa matematis, sebuah buhul merupakan sebuah pembenaman lingkaran dalam ruang Euclides 3 dimensi, (dalam topologi, sebuah lingkaran tidak terikat ke konsep geometrik klasik, tapi untuk semua homeomorfisme). Dua buhul matematis setara jika salah satunya dapat berubah mnejadi lainnya melalui sebuah deformasi atas dirinya sendiri (dikenal sebagai sebuah isotopi sekitar); transformasi ini berpadanan ke manipulasi untai terbuhul yang tidak melibatkan pemotongan untai atau melewati untai melalui dirinya sendiri.

Buhul dapat digambarkan dalam beragam cara. Diberikan sebuah metode deskripsi, namun, terdapat lebih banyak daripada satu deskripsi yang mewakili buhul yang sama. Sebagai contoh, sebuah metode umum mengenai penggambaran sebuah buhul merupakan sebuah diagram planar disebut sebuah diagram buhul. Sutu buhul yang diberikan dapat digambar dalam banyak cara yang berbeda menggunakan sebuah diagram buhul. Oleh karena itu, sebuah masalah fundamental dalam teori buhul adalah menentukan ketika dua deskripsi mewakili buhul yang sama.

Sebuah penyelesaian algoritmik lengkap untuk masalah ini ada, yang memiliki kekompleksan yang takdiketahui. Dalam praktiknya, buhul seringkali membedakan dengan menggunakan sebuah invarian buhul, sebuah "ukur" yang sama ketika dihitung dari deskripsi yang berbeda mengenai sebuah buhul. Invarian yang penting termasuk polinomial buhul, grup buhul, dan invarian hiperbolik.

Motivasi asalnya untuk pendirinya mengenai teori buhul adalah untuk menciptakan sebuah tabel mengenai buhul dan jalinan, yang buhul dari beberapa komponen terlibat dengna yang lain. Lebih dari enam miliar buhul dan tautan telah ditabulasi karena awal mengenai teori buhul pada abad ke-19.

Untuk memperoleh pemahaman lebih lanjut, para matematikawan telah merampat konsep buhul dalam beberapa hal. Buhul dapat dianggap dalam ruang tiga dimensi dam objek selain lingkaran dapat digunakan, lihat buhul (matematika). Buhul dimensi yang lebih tinggi merupakan bola n-dimensi dalam ruang Euclides m-dimensi.

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Hasil kerja buhul Keltik Rumit dalam Kitab Kells berumur 1200 tahun

Arkeologis telah menemukan bahwa buhul mengikat tanggal kembali ke waktu prasejarah. Selain dari penggunaannya sebagai informasi perekaman dan mengikat objek bersama-sama, buhul memiliki umat manusia yang menarik untuk ilmu keindahan serta simbolisme rohani. Buhul muncul dalam beragam bentuk mengenai karya seni Tiongkok yang berasal dari sekian abad SM (lihat buhulan Tiongkok). Buhul takerujung muncul di Agama Buddha di Tibet, sementara gelanggang Borromean telah dibuat berulang menampilkan dalam budaya yang berbeda, seringkali mewakili kekuatan dalam persatuan. Biarawan Keltik yang menciptakan Kitab Kells mencurahkan seluruh halaman dengan hasil kerja Keltik rumit

Tabulator buhul pertama, Peter Guthrie Tait

Sebuah teori matematis mengenai buhul pertama kali dikembangkan pada tahun 1771 oleh Alexandre-Théophile Vandermonde yang secara eksplisit mencatat pentingnya fitur-fitur topologis ketika membahas sifat-sifat buhul berkaitan dengan geometri posisi. Studi matematis mengenai buhul dimulai pada abad ke-19 dengan Carl Freidrich Gauss, yang mendefinisikan integral pengait (Silver 2006). Pada tahun 1860an, teori Lord Kelvin bahwa atom merupakan buhul ether mengarah ke ciptaan Peter Guthrie Tait dari tabel buhul pertama untuk klasifikasi lengkap. Tait, pada tahun 1885, menerbitkan sebuah tabel buhul dengan samapi sampai sepuluh penyilangan, dan apa yang dikenal sebagai konjektur Tait. Rekaman ini memotivasi ahli teori buhul sebelumnya, tetapi teori buhul pada dasarnya menjadi bagian dari kemunculan subjek mengenai topologi.

Ahli topologi ini pada awal bagian dari abad ke-20—Max Dehn, J. W. Alexander, dan lainnya—mempelajari buhul dari sudut pandang dari grup buhul dan invarian dari teori homologi seperti polinomial Alexander. Ini menjadi pendekatan utama untuk teori buhul hingga sebuah rangkaian mengenai penemuan yang mengubah subjek.

Pada akhir 1970an, William Thurston memperkenalkan geometri hiperbolik menjadi studi mengenai buhul denfan teorema hiperbolisasi. Banyak buhul ditunjukkan menjadi buhul hiperbolik, memungkinkan penggunaan geometri dalam mendefinisikan yang baru, invarian buhul yang kuat. Penemuan dari polinomial Jones oleh Vaughan Jones pada tahun 1984 (Sossinsky 2002, hlm. 71–89), dan kontribusi berikutnya dari Edward Witten, Maxim Kontsevich, dan yang lain, mengungkapkan hubungan yang dalam di antara teori buhul dan metode matematis dalam mekanika statistika dan teori medan kuantum. Kebanyakan mengenai invarian buhul telah ditemukan sejak itu, memanfaatkan alat yang canggih seperti grup kuantum dan homologi Floer.

Dalam akhir beberapa dekade dari abad ke-20, ilmuwan menjadi tertarik dalam mempelajari buhul fisis dalam rangka untuk memahamai fenomena buhulan dalam asam deoksiribonukleat dan polimer lainnya. Teori buhul dapat digunakan untuk menentukan jika sebuah molekul adalah kiral (memilki sebuah "ulinan") atau tidak (Simon 1986). Kekusut, untai dengan keduanya berakhir tetap di tempat, telah secara efektif digunakan dalam studi tindakan topoisomerase pada asam deoksiribonukleat (Flapan 2000). Teori buhul dapat menjadi penting dalam konstruksi komputer kuantum, melalui model komputasi kuantum topologis (Collins 2006).

Kesetaraan buhul[sunting | sunting sumber]

Pada bagian sebelah kiri, takbuhul, dan sebuah buhul setara dengannya. Ini dapat menjadi lebih sulit untuk menentukan apakah buhul kompleks, seperti salah satunya di sebelah kanan, setara dengan takbuhul.

Sebuah buhul diciptakan pada awalnya dengan sebuah segmen garis satu dimensi, membungkusnya di sekitarnya sendiri secara sembarang, dan kemudian menyatukan kedua ujung bebasnya untuk membentuk sebuah gelung tertutup (Adams 2004) (Sossinsky 2002). Hanya saja, kita dapat katakan sebuah buhul merupakan sebuah "lengkung tertutup sederhana" atau "lengkung Jordan (tertutup)" (lihat Kurva) — yaitu sebuah injektif "dekat" dan fungsi kontinu , dengan hanya "ketakinjektifan" menjadi . Ahli topologi menganggap buhul dan keterkaitan lainnya seperti jalinan dan kepangan menjadi setara jika buhul dapat didorong mengenai dengan mulus, tanpa memotong dirinya sendiri, bertepatan dengan buhul lainnya.

Ide mengenai kesetaraan buhul adalah untuk memberikan sebuah definisi yang tepat mengenai ketika dua buhul seharusnya dianggap sama bahkan ketika posisi cukup berbeda dalam ruang. Sebuah definisi matematis formal adalah bahwa dua buhul setara jika terdapat sebuah homemorfisme kekal-orientasi dengan .

Cara lain untuk mendefinisikan kesetaraan buhul adalah bahwa kedua buhul setara ketika terdapat keluarga kontinu homeomorfisme dari ruang pada dirinya sendiri, seperti yang terakhir darinya membawa buhul pertama pada buhul kedua (Lebih umumnya: Dua buhul dan adalah setara jika terdapat sebuah pemetaan kontinu seperti

  1. Untuk setiap , pemetaannya mengambil ke merupakan sebuah homemorfisme dari pada dirinya sendiri;
  2. untuk semua ; dan
  3. .

Seperti sebuah fungsi dikenal sebagai sebuah isotopi sekitar.)

Kedua gagasan mengenai kesetaraan buhul ini disetujui dengan pasti mengenai yang mana buhul-buhul setara: Dua buhul yang setara di bawah definisi homeomorfisme kekal orietnasi juga setara di bawah definisi isotopi sekitar, karena suatu homeomorfisme kekal orientasi mengenai ke dirinya sendiri merupakan tahap terakhir dari isotopi sekitar dimulai dari identitas. Sebaliknya, dua buhul yang setara di bawah definisi isotopi setara juga setara di bawah definisi homeomorfisme kekal orientasi, karena tahap (terakhir) dari isotopi sekitar harus sebuah homeomorfisme kekal orientasi membawa satu buhul ke lainnya.

Masalah dasar mengenai teori buhul, masalah pengenalan, menentukan kesetaraan dua buhul. Algoritme-algoritme ada untuk menyelesaikan masalah ini, dengan pertam diberikan oleh Wolfgang Haken pada akhir 1960an (Hass 1998). Walau demikian, alogoritme-algoritme ini dapat menghabiskan waktu yang luar biasa, dan sebuah masalah besar adlam teori adalah untuk memahami betapa susahnya masalah ini sebenarnya (Hass 1998). Kasus khusus mengenai pengenalan takbuhul, disebut masalah takbuhulan, adalah kepentingan tertentu (Hoste 2005). Pada bulan Februari 2021, Marc Lackenby mengumumkan sebuah algoritme ketakbuhul baru yang berjalan di waktu kuasipolinomial.[1]

Diagram buhul[sunting | sunting sumber]

Sebuah cara yang berguna untuk membayangkan dan memanipluasi buhul adalah untuk memproyeksikan buhul pada sebuah bidang―berpikir tentang buhul membuat sebuah bayangan pada tembok. Sebuah perubahan kecil dalam arah proyeksi akan memastikan bahwa ini satu-ke-satu kecuali pada titik ganda, disebut penyilangan, dimana "bayangan" dari buhul menyilangkan dirinya sekali melintang (Rolfsen 1976). Pada setiap penyilangan, untuk mampu menciptakan buhul asalnya, untai di atas harus dibedakan dari untai di bawah. Ini seringkali diselesaikan dengan menciptakan sebuah pemutusan dalam untai pergi di bawahnya. Hasil diagram merupakan sebuah lengkung bidang tercelup dengan data tambahan yang mana untianya di atas dan yang mana di bawah pada setiap simpangan. (Diagram ini disebut diagram buhul ketika mereka mewakili sebuah buhul dan diagram jalinan ketika mereka mewakili sebuah jalinan.) Secara analog, permukaan terbuhul dalam ruang-4 dapat berkaitan dengan permukaan tercelup dalam ruang-3.

Sebuah diagram tereduksi merupakan sebuah diagram buhul yang mana tidak ada penyilangan tereduksikan (dan juga sia-sia atau penyilangan terhapuskan), atau di mana semua dari persimpangan tereduksikan telah dihilangkan. (Weisstein, ReducedKnotDiagram) (Weisstein, ReducibleCrossing)

Pindahan Reidemeister[sunting | sunting sumber]

Pada tahun 1927, bekerja dengan bentuk diagram ini mengenai buhul, J. W. Alexander dan Garland Baird Briggs, dan secara indenpenden Kurt Reidermeister, menunjukkan bahwa dua diagram buhul milik buhul yang sama dapat dikaitkan oleh sebuah barisan tiga jenis mengenai pindahan pada diagram, ditunjukkan di bawah. Operasi-operasi ini, sekarang disebut pindahan Reidemeister, adalah:

  1. Pilin dan tidak pilin dengan diagram yang baik.
  2. Pindahkan satu untai dengan sempurna ke atas lainnya.
  3. Pindahkan sebuah untai dengan sempurna di atas atau di bawah sebuah penyilangan.
Pindahan Reidemeister
Reidemeister move 1.png Frame left.png Reidemeister move 2.png
Tipe I Tipe II
Reidemeister move 3.png
Tipe III

Buktinya bahwa diagram buhul setara terhubung oleh pindahan Redemeister bergantung pada sebuah analisis mengenai apa yang terjadi di bawah proyeksi planar dari pergerakan mengambil satu buhul dengan yang lain. Pergerakannya dapat disusun sehingga hampir semua dari waktu, proyeksinya akan menjadi sebuah diagram buhul, kecuali pasti sering ketika sebuah "kejadian" atau "bencana" terjadi, seperti ketika lebih dari dua penyilangan untai pada sebuah titik atau beberapa untai menjadi garis singgung pada sebuah titik. Sebuah pemeriksaan tutup akan menunjukkan bahwa kejadian yang rumit dapat dieliminasi, meninggalkan hanya kejadian yang sederhana:

  1. Sebuah "kekakuan" membentuk atau menjadi diluruskan;
  2. Dua untai menjadi garis singgung pada sebuah titik lewat; dan
  3. Tiga untai yang menyilang pada sebuah titik.

Ini akurat mengenai pemindahan Reidemeister (Sossinsky 2002, ch. 3) (Lickorish 1997, ch. 1).

Invarian buhul[sunting | sunting sumber]

Sebuah invarian buhul merupakan sebuah "kuantitas" yang sama untuk buhul-buhul setara (Adams 2004) (Lickorish 1997) (Lickorish 1997). Contohnya, jika invarian dihitung dari sebuah diagram buhul, ini seharusnya memberikan nilai yang sama untuk dua diagram buhul yang mewakili buhul-buhul setara. Sebuah invariannya dapat mengambil nilai yang sama pada dua buhul yang berbeda, jadi oleh dirinya sendiri dapat menjadi tidak mampu membedakan semua buhul. Sebuah invarian elementer adalah triwarna.

Invarian buhul "klasik" termasuk grup buhul, yang mana grup fundamental dari komplemen buhul, dan polinomial Alexander, yang mana dapat dihitung dari invarian Alexander, sebuah modul dikonstruksikan dari liput siklik takhingga dari komplemen buhul (Lickorish 1997) (Rolfsen 1976). Pada akhir abad ke-20, invarian seperti polinomil buhul "kuantum". Invarian Vassiliev dan invarian hiperbolik ditemukan. Invarian tersebut di atas hanya bagian kecil dari sesuatu yang jauh lebih besar mengenai teori buhul modern.

Polinomial buhul[sunting | sunting sumber]

Sebuah polinomial buhul merupakan sebuah invarian buhul yang merupakan sebuah polinomial. Contoh yang terkenal mencakup polinomial Jones dan polinomial Alexander. Sebuah varian dari polinomial Alexander, polinomial Alexander–Conway, merupakan sebuah polinomial dalam peubah dengan koefisien bilangan bulat (Lickorish 1997).

Polinomial Alexander–Conway sebenarnya didefinisikan dalam istilah jalinan, yang terdiri dari satu buhul atau lebih melibatkan dengan satu sama lain. Konsep yang dijelaskan di atas untuk buhul, misalnya diagram dan pindahan Reidemeister, juga berlaku untuk jalinan.

Angap sebuah diagram jalinan berorientasi, yaitu, salah satunya di mana setiap komponen dari jalinan memiliki sebuah arah istimewa mengindikasi oleh sebuah panah. Untuk sebuah persilangan yang diberikan dalam diagram, misalkan menjadi diagram jalinan berorientasi menghasilkan dalam pengubahan diagram seperti indikasi yang dalam gambar:

Skein (HOMFLY).svg

Diagram asalnya dapat menjadi baik atau bergantung pada konfiguirasi penyilangan yang terpilih. Maka polinomial Alexander–Conway, , didefinisikan secara rekursif menurut kaidah-kaidah:

  • (dimana merupakan suatu diagram dari takbuhul)
  • .

Kaidah kedua adalah apa seringkali dirujuk sebagai sebuah relasi unting. Untuk memeriksa bahwa kaidah-kaidah ini memberikan sebuah invarian sebuah jalinan berorientasi, salah satunya harus menentukan bahwa polinomial tidak mengubah di bawah pindahan Reidemeister. Banyak polinomial buhul yang penting dapat didefinisikan dalam hal ini.

Berikut ini merupakan sebuah contoh perhitungan khas menggunakan sebuah relasi unting. Ini menghitung polinomial Alexander–Conway dari buhul semanggi. Tambalan berwarna kuning mengindikasikan dimana relasinya berlaku.

Skein-relation-trefoil-plus-sm.pngSkein-relation-trefoil-minus-sm.pngSkein-relation-trefoil-zero-sm.png

memberikan takbuhul dan jalinan Hopf. Menerapkan relasi ke jalinan Hopf dimana mengindikasi,

Skein-relation-link22-plus-sm.pngSkein-relation-link22-minus-sm.pngSkein-relation-link22-zero-sm.png

memberikan sebuah jalinan terdeformasikan ke satu dengan 0 persilangan (ini sebenarnya takjalinan dua komponen) dan sebuah takbuhul. Takjalinan mengambil sebuah bit dengan sifat yang licik:

Skein-relation-link20-plus-sm.pngSkein-relation-link20-minus-sm.pngSkein-relation-link20-zero-sm.png

yang menyiratkan bahwa , karena dua polinomial pertama dari takbuhul dan demikian sama.

Menempatkan semua ini bersama akan menunjukkan:

Karena polinomial Alexander–Conway merupakan sebuah invarian buhul, ini menunjukkan bahwa semanggi tidak setara dengan takbuhul. Jadi semanggi benar-benar "terbuhul".

Buhul semanggi sebelah kiri.
Buhul semanggi sebelah kanan.

Sebenarnya, terdapat dua buhul semanggi, disebut semanggi sebelah kanan dan sebelah kiri, yang merupakan gambaran cermin dari satu sama lain (ambil sebuah diagram dari semanggi yang diberikan di atas dan ubah setiap penyilangan ke jalan lain untuk mendapatkan gambaran cermin). Ini tidak setara dengan yang lainnya, yang berarti bahwa mereka tidak amfikiral. Ini ditunjukkan oleh Max Dehn, sebelum penemuan mengenai polinomial buhul, menggunakan metode teoretis grup (Dehn 1914). Tetapi polinomial Alexander–Conway mengenai setiap jenis semanggi akan menjadi sama, seperti yang dapat dilihat dengan berjalan melalui penghitungan di atas dengan gambaran cermin. Polinomial Jones pada faktanya dapat membedakan antara buhul semanggi sebelah kiri dan sebelah kanan (Lickorish 1997).

Invarian hiperbolik[sunting | sunting sumber]

William Thruston membuktikan banyak buhul merupakan buhul hiperbolik, berarti bahwa komplemen buhul (yaitu, himpunan titik ruang-3 tidak pada buhul) mengakui sebuah struktur geometri, khususnya yang geometri hiperbolik. Struktur hiperbolikm bergantung hanya pada buhul jadi suatu kuantitas yang dihitung dari struktur hiperbolik kemudian menjadi sebuah invarian buhul (Adams 2004).

Gelanggang Borromean merupakan sebuah jalinan dengan sifat bahwa menghapus satu gelanggang yang tidak jalin dengan lainnya.
Tampilan titik taring SnapPea: komplemen gelanggang Borromean dari sudut pandang penghuni tinggal dekat komponen berwarna merah.

Geometri membiarkan kita menampilkan di dalam sebuah komplemen buhul atau jalinan seperti apa dengan membayangkan sinar terang ketika menempuh di sekitar geodesik dari geometri. Sebuah contohnya disediakan oleh gambar dari komplemen dari gelanggang Borromean. Penghuni dari komplemen jalinan memandangi ruang dari dekat komponen berwarna merah. Bola-bola di dalam gambar merupakan pandangan lingkungan horobola dari jalinan. Dengan menebalkan jalinan dalam sebuah cara yang standar, lingkungan horobola dari komponen jalinan diperoleh. Meskipun batas lingkungannya adalah torus, ketika dipandang dari dalam komplemen jalinan, hal tersebut seperti sebuah bola. Setiap komponen jalinan muncul karena banyaknya bola (dari satu warna) ketika terdapat banyaknya sinar terang dari pengamat ke komponen jalinan. Jajaran genjang dasar (yang diindikasi dalam gambar), ubin keduanya secara vertikal dan secara horizontal dan menunjukkan bagaimana memperpanjang pola mengenai bola dengan takterhingga.

Pola ini, pola horobola, dengan sendirinya sebuah invarian yang berguna. Invarian hiperbolik lainnya mencakup bentuk dari jajaran genjang dasar, panjang geodesik terpendek, dan volume. Buhul modern dan usaha tabulasi jalinan telah dimanfaatkan invarian-invarian ini dengan efektif. Komputer cepat dan metode pintar tentang memperoleh invarian-invarian ini membuat perhitungan invarian-invarian ini, dalam praktik, sebuah tugas yang sederhana (Adams, Hildebrand & Weeks 1991).

Dimensi lebih tinggi[sunting | sunting sumber]

Sebuah buhul dalam tiga dimensi dapat dilonggarkan ketika diletakkan dalam ruang empat dimensi. Ini diselesaikan dengan mengubah persilangan. Andaikan satu untai di belakang lainnya ketika dilihat dari sebuah titik yang dipilih. Angkat ke dalam empat dimensi, jadi tidak ada hambatan (untai bagian depan tidak memiliki komponen); maka luncurkannay ke depan, dan jatuhkan kembali, sekarang di bagian depan. Analogi untuk bidang akan mengangkat sebuah untai dari permukaan, atau menghapuskan sebuah titik dari dalam sebuah lingkaran.

Faktanya, dalam empat dimensi, suatu gelung tertutup takberpotongan mengenai untai satu dimensi setara dengan sebuah takbuhul. Pertama "dorong" gelung ke dalam sebuah subruang berdimensi tiga, yang mana selalu mungkin, meskipun teknis untuk menjelaskan.

Bola pembuhulan mengenai dimensi tertinggi[sunting | sunting sumber]

Karena sebuah buhul dapat dianggap sebuah bola berdimensi-1 secara topologi, rampat selanjutnya adalah mengganggap sebuah bola berdimensi-2 () dibenamkan dalam ruang Euclides berdimensi-4 (). Seperti sebuah pembenaman dibuhul jika tidak ada homeomorfisme pada sendirinya mengambil bola-2 yang dibenamkan ke pembenaman "pembulatan" standar dari bola-2. Buhul tertunda dan buhul pintal merupakan dua keluarga khas seperti buhul bola-2.

nTeknik matematika disebut "posisi umum" menyiratkan bahwa untuk sebuah bola- yang diberikan dalam ruang Euklides berdimensi-, jika cukup besar (bergantung pada ), bola seharusnya menjadi takterbuhul. Umumnya, bola-n linear-sesepenggal membentuk buhul hanya dalam ruang berdimensi-() (Zeeman 1963), meskipun ini bukan lagi sebuah persyaratan untuk bola terbuhul dengan mulus. Faktanya, terdapat bola-() terbuhul dengan mulus dalam ruang berdimensi-; misalnya, terdapat sebuah bola-3 terbuhul dengan mulus dalam (Haefliger 1962) (Levine 1965). Demikian kodimensi buhul mulus dapat menjadi besar dengan sembarang ketika tidak menetapkan dimensi dari bola terbuhul; namun, suatu bola- mulus terbenam dalam dengan takterbuhul. Gagasan buhul memiliki perampatan lebih lanjut dalam matematika, lihat: Buhul (matematika), klasifikasi isotopi pembenaman.

Setiap buhul dalam bola-n merupakan jalinan himpunan aljabar real dengan kesingularan terpencil dalam (Akbulut & King 1981).

Sebuah buhul- merupakan tunggal terbenam di . Sebuah jalinan- terdiri dari salinan- terbenam di , dimana adalah sebuah bilangan asli. Kedua kasusnya dan dipelajari dengan baik, dan jadi merupakan kasus .[2][3]

Menambahkan buhul[sunting | sunting sumber]

Menambahkan dua buhul.

Dua buhul dapat ditambahkan dengan memotong kedua buhul dan menyambungkan pasangan ujungnya. Operasi ini disebut jumlah buhul, atau terkadang jumlah terhubung atau komposisi dua buhul. Ini dapat didefinisikan secara formal sebagai berikut (Adams 2004):

Anggap sebuah projeksi planar setiap buhul dan anggap projeksi ini lepas. Carilah sebuah persegi panjang dalam bidang dimana satu pasangan sisi yang berlawanan adalah panjang busur di sekitar setiap buhul meskin sisa dari persegi panjang lepas dari buhul. Membentuk sebuah buhul baru dengan menghapuskan pasangan pertama sisi yang berlawanan dan mendampingkan pasangan sisi berlawanan lainnya. Hasil buhulnya adalah sebuah jumlah dari buhul asalnya. Bergantung pada bagaimana ini diselesaikan, dua buhul yang berbeda (tapi bukan lagi) mungkin terjadi. Ambiguitas ini dalam jumlah dapat dihilangkan mengenai buhul-buhulnya sebagai berorientasi, yaitu memiliki sebuah arah yang istimewa menempuh di sepanjang buhul, dan memerlukan panjang busur dari buhul dalam jumlah adalah terorientasi secara konsisten dengan batas terorientasi dari segi panjang.

Jumlah buhul mengenai buhul terorientasi adalah komutatif dan asosiatif. Sebuah buhul adalah prima jika ini taktrivial dan tidak dapat ditulis sebagai jumlah buhul mengenai dua buhul taktrivial. Sebuah buhul yang dapat ditulis sebagai seperti sebuah penjumlahan adalah komposit. Terdapat sebuah penguraian prima untuk buhul, analog dengan bilangan prima dan komposit (Schubert 1949). Untuk buhul terorientasi, penguraian ini juga unik. Buhul berdimensi lebih tinggi dapat juga ditambahkan tetapi terdapat suatu perbedaan. Meskipun kamu tidak dapat membentuk sebuah takbuhul dalam tiga dimensi dengan menambahkan dua buhul taktrivial, kamu dapat di dimensi lebih tinggi, setidaknya ketika salah satunya menganggap buhul mulus dalam kodimensi setidaknya 3.

Mentabulasi buhul[sunting | sunting sumber]

Sebuah tabel buhul prima hingga tujuh penyilangan. Buhulnya dilabeli dengan notasi Alexander–Briggs

Secara tradisional, buhul telah dicatat dalam istilah penyilangan bilangan. Tabel buhul secara umum termasuk hanya buhul prima, dan hanya satu entri untuk sebuah buhul dan gambaran cerminnya (bahkan jika mereka berbeda) (Hoste, Thistlethwaite & Weeks 1998). Bilangan buhul taktrivial dari sebuah penyilangan bilangan yang diberikan menaik dengan pesat, membuat kesulitan perhitungan tabulasi (Hoste 2005, hlm. 20). Usaha tabulasinya telah berhasil dalam menghitung lebih dari 6 miliar buhul dan jalinan (Hoste 2005, hlm. 28). Barisan dalam bilangan buhul prima dari sebuah bilangan penyilangan yang diberikan, hingga bilangan penyilangan 16, adalah 0, 0, 1, 1, 2, 3, 7, 21, 49, 165, 552, 2176, 9988, 46 972, 253 293, 1 388 705... (barisan A002863 pada OEIS). Sementara batas atas dan bawah eksponensial untuk barisan ini diketahui, ini belum dibuktikan bahwa barisan ini menaik sempurna (Adams 2004).

Tabel buhul pertama oleh Tait, Little, dan Kirkman menggunakan diagram buhul, meskipun Tait juga menggunakan sebuah pendahulu ke notasi Dowker. Notasi yang berbeda telah diciptakan untuk buhul yang memungkinkan tabulasi yang lebih efisien (Hoste 2005).

Tabel sebelumnya diupayakan untuk mendaftarkan semua buhul setidaknya 10 penyilangan, dan semua buhul selang-seling mengenai 11 penyilangan (Hoste, Thistlethwaite & Weeks 1998). Pengembangan mengenai teori buhul dikarenakan Alexander, Reidemeister, Seifert, dan lainnya memudahkan tugas verifikasi dan tabel buhul hingga dan termasuk 9 penyilangan diterbtikan oleh Alexander–Briggs dan Reidemeister pada akhir tahun 1920an.

Verifikasi utama pertama mengenai pekerjaan ini diselesaikan pada tahun 1960an oleh John Horton Conway, yang tidak hanya mengembangkan sebuah notasi baru tetapi juga polinomial Alexander–Conway (Conway 1970) (Doll & Hoste 1991). Ini memverifikasi daftar mengenai buhul setidaknya 11 penyilangan dan sebuah daftar baru mengenai jalinan hingga 10 penyilangan. Conway menemukan sebuah bilangan mengenai penghilangan tetapi hanya satu duplikasi dalam tabel Tait–Little; namun dia meninggalkan duplikat yang disebut pasangan Perko, yang hanya akan diperhatikan pada tahun 1974 oleh Kenneth Perko (Perko 1974). Galat yang terkenal ini akan menyebarkan ketika Dale Rolfsen menambahkan sebuah tabel buhul dalam catatannya yang berpengaruh, berdasarkan hasil kerjanya Conway. Makalah Conway tahun 1970 pada teori buhul juga mengandung sebuah duplikasi yang berkenaan dengan pencetakan pada halaman 11-penyilangan buhul takselang-selingnya dan menghilangkan 4 contoh — 2 daftar sebelumnya di tesis senior Princeton tahun 1968 oleh D. Lombardero dan 2 lainnya ditemukan lebih lanjut oleh Alain Caudron. [lihat Perko (1982), Primarily of certain knots, Topology Proceedings]. Kurang terkenalnya adalah duplikat dalam tabel jalinan 10 penyilangannya: 2.-2.-20.20 merupakan cerminan dari 8*-20:-20. [Lihat Perko (2016), Historical highlights of non-cyclic knot theory, J. Knot Theory Ramfications].

Pada akhir 1990an, Hoste, Thistlethwaite, dan Weeks mentabulasi semua buhul melalui 16 penyilangan (Hoste, Thistlethwaite & Weeks 1998). Pada tahun 2003, Rankin, Flint, dan Schermann, mentabulasi buhul selang-seling melalui 22 penyilangan (Hoste 2005).

Notasi Alexander–Briggs[sunting | sunting sumber]

Ini merupakan notasi yang paling tradisional, dikarenakan makalah tahun 1927 oleh James W. Alexander dan Garland B. Briggs dan diperpanjang kemudian oleh Dale Rolfsen dalam tabel buhulnya (lihat gambar di atas dan Daftar buhul prima). Notasi sederhananya mengorganisir buhul oleh bilangan penyilangannya. Salah satunya menulis bilangan penyilangna dengan sebuah subskrip untuk melambangkan urutannya di sekitar semua buhul dengan bilangan penyilangan itu. Urutan ini adalah sembarang dan demikian tidak memiliki arti yang khusus (meskipun dalam setiap bilangan penyilangan, buhul pilin datang setelah buhul torus). Jalinannya ditulis dengan oleh bilangan penyilangan dengan sebuah superskrip untuk melambangkan bilangan komponen dan sebuah subskrip untuk melambangkan urutannya dalam jalinan dengan bilangan yang sama mengenai komponen dan penyilangan. Demikian buhul semanggi dinotasikan dan jalinan Hopfnya adalah . Notasi Alexander–Briggs menamakannya dalam kisaran menjadi menjadi ambigu, dikarenakan penemuan dari pasangan Perko dalam orisinil Charles Newton Little dan tabel buhul berikutnya, dan perbedaan dalam pendekatan untuk mengoreksi galat ini dalam tabel buhul dan terbitan lainnya diciptakan setelah poin ini.[4]

Notasi Dowker–Thistlethwaite[sunting | sunting sumber]

Sebuah diagram buhul dengan penyilangan yang dilabeli untuk sebuah barisan Dowker

Notasi Dowker–Thistlethwaite, juga disebut notasi atau kode Dowker, untuk sebuah buhul adalah sebuah barisan hingga mengenai bilangan bulat genap. Bilangannya dihasilkan dengan mengikuti buhul dan menandai penyilangannya dengan bilangan bulat berturutan. Karena setiap penyilangan didatangi dua kali, ini menciptakan sebuah pasangan bilangan bulat genap dengan bilangan bulat ganjil. Sebuah tanda yang sesuai diberikan untuk mengindikasi di atas dan di bawah penyilangan. Contohnya, dalam gambar ini, diagram buhul memiliki persilangan dilabeli dengan pasangan dan . Notasi Dowker–Thistlethwaite untuk pelabelan ini merupakan barisan: , , , , , . Sebuah diagram buhul memiliki notasi Dowker lebih dari satu kemungkinan, dan terdapat sebuah ambiguitas yang dipahamai dengan baik ketika mengkonstruksi ulang sebuah buhul dari sebuah notasi Dowker–Thistlethwaite.

Notasi Conway[sunting | sunting sumber]

Notasi Conway untuk buhul dan jalinan, dinamakan oleh John Horton Conway, berdasarkan pada teori kekusut (Conway 1970). Keunggulan notasi ini adalah bahwa ini mencerminkan suatu sifat-sifat dari buhul atau jalinan.

Notasinya menjelaskan bagaimana cara membangun sebuah diagram jalinan khusus dari jainan, Dimulai dengan sebuah bidang banyak (polihedron) dasar, sebuah graf planar terhubung 4-valen tanpa daerah digon. Seperti sebuah polihderon dilambangkan pertama oleh bilangan verteks kemudian bilangan dari tanda bintang yang menentukan posisi polihedron pada sebuah daftar bidang banyak dasar. Misalnya, 10** melambangkan bidang banyak 10-verteks kedua pada daftar Conway

Kemudian setiap verteks memiliki sebuah kekusut aljabar disubstitusikan ke dalamnya (setiap verteks berorientasi jadi tidak ada pemilihan sembarang dalam substitusi). Setiap seperti kekusutan memiliki sebuah notasi terdiri dari bilangan dan tanda + atau –.

Contohnya adalah 1*2 –3 2. 1* melambangkan hanya bidang banyak dasar 1-verteks. 2 –3 2 merupakan sebuah barisan yang menjelaskan pecahan kontinu yang berkaitan dengan sebuah kekusut rasional. Salah satunya memasukkan kekusut ini pada verteks dari bidang banyak dasar 1*.

Sebuah contoh yang lebih rumit adalah 8*3. 1.2 0.1 1.1 1.1 Disini lagi 8* merujuk ke sebuah bidang banyak dasar dengan 8 verteks. Kalanya memisahkan notasi untuk setiap kekusut.

Setiap jalinan dapat dipakai seperti sebuah deskripsi, dan ini jelas adalah sebuah notasi yang sangat kompak bahkan untuk bilangan penyilangan yang sangat besar. Terdapat beberapa singkatan lebih lanjut yang biasanya digunakan. Contoh terakhirnya biasanya ditulis 8*3:2 0, dimana satunya dihilangkan dan menetapkan bilangan titik kecuali titiknya pada bagian akhir. Untuk sebuah buhul aljabar seperti dalam contoh pertama, 1* seringkali dihilangkan.

Makalah peloporan Conway pada daftar subjek hingga polihedra dasar 10-verteks di mana Conway menggunakannya untuk mentabulasi jalinan, yang mana telah menjadi standar untuk jalinan-jalinan itu. Untuk sebuah daftaran lebih lanjut mengenai polidera verteks lebih tinggi, terdapat pemilihan takstandar yang tersedia.

Kode Gauss[sunting | sunting sumber]

Kode Gauss, mirip dengan notasi Dowker–Thistlethwaite, mewakili sebuah buhul dengan sebuah barisan bilangan bulat. Namun, daripada setiap penyilangan diwakili oleh dua bilangan yang berbeda, penyilangannya dilabeli dengan hanya satu bilangan. Ketika penyilangannya adalah penyeberangan di atas, sebuah bilangan positif didaftarkan. Di sebuah penyeberangan di bawah, sebuah bilangan negatif. Contohnya, buhul semanggi dalam kode Gauss dapat diberikan sebagai: .

Kode Gauss dibatasi dalam kemampuannya untuk mengidentifikasi buhul. Masalah ini sebagian yang disebut dengan oleh kode Gauss diperluas.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Marc Lackenby announces a new unknot recognition algorithm that runs in quasi-polynomial time, Mathematical Institute, University of Oxford, 2021-02-03, diakses tanggal 2021-02-03 
  2. ^ Levine, J.; Orr, K (2000), "A survey of applications of surgery to knot and link theory", Surveys on Surgery Theory: Papers Dedicated to C.T.C. Wall, Annals of mathematics studies, 1, Princeton University Press, CiteSeerX 10.1.1.64.4359alt=Dapat diakses gratis, ISBN 978-0691049380  — An introductory article to high dimensional knots and links for the advanced readers
  3. ^ Ogasa, Eiji (2013), Introduction to high dimensional knots, arXiv:1304.6053alt=Dapat diakses gratis, Bibcode:2013arXiv1304.6053O  — An introductory article to high dimensional knots and links for beginners
  4. ^ "The Revenge of the Perko Pair", RichardElwes.co.uk. Accessed February 2016. Richard Elwes points out a common mistake in describing the Perko pair.

Bacaan lebih lanjut[sunting | sunting sumber]

Buku ajar pengantar[sunting | sunting sumber]

Terdapat sejumlah pengenalan untuk teori buhul. Sebuah pengenalan klasik untuk mahasiswa pascasarjana atau sarjana lanjutan adalah (Rolfsen 1976). Buku ajar bagus lainnya dari referensi adalah (Adams 2001) dan (Lickorish 1997). Adam merupakan informal dan dapat diakses untuk sebagian besar sekolah menengah atas. Lickrosih merupakan sebuah pengenalan yang teliti untuk mahasiswa pascasarjana, meliputi sebuah campuran yang baik mengenai topik klasik dan modern.

Survei[sunting | sunting sumber]

  • Menasco, William W.; Thistlethwaite, Morwen, ed. (2005), Handbook of Knot Theory, Elsevier, ISBN 978-0-444-51452-3 
    • Buku pegangan Menasco dan Thistlethwaite memeriksa sebuah campuran topik yang bersangkut paut untuk penelitian terkini cenderung dalam sebuah tata cara yang dapat diakses untuk sarjana lanjutan tetapi kepentingan untuk penelitian berprofesi.
  • Livio, Mario (2009), "Ch. 8: Unreasonable Effectiveness?", Is God a Mathematician?, Simon & Schuster, hlm. 203–218, ISBN 978-0-7432-9405-8 

Tautan eksternal[sunting | sunting sumber]

  • "Mathematics and Knots" Ini adalah sebuah versi daring mengenai seteleng dikembangkan untuk Royal Society "PopMath RoadShow" tahun 1989. Tujuannya untuk menggunakan buhul untuk menyajikan metode mengenai matematika untuk publik umum.

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Tabel buhul dan perangkat lunak[sunting | sunting sumber]