Teorema faktor

Dalam aljabar, teorema faktor adalah teorema yang menghubungkan faktor-faktor dari suatu polinomial dengan nilai dari akar-akarnya. Lebih tepatnya, jika $f(x)$ merupakan polinomial univariat, maka $(x-a)$ merupakan faktor dari $f(x)$ jika dan hanya jika nilai $f(a)=0$ (atau dengan kata lain, $a$ merupakan akar dari polinomial $f$). Teorema ini adalah kasus khusus dari teorema sisa polinomial.

Teorema ini berasal dari sifat dasar operasi penjumlahan dan perkalian. Dengan demikian, teorema faktor juga berlaku ketika elemen $a$ dan setiap koefisien dari $f(x)$ merupakan anggota dari sembarang gelanggang komutatif, tidak hanya lapangan.

Faktorisasi polinomial

Artikel utama: Faktorisasi polinomial

Dua masalah yang sering melibatkan teorema faktor ialah pemfaktoran polinomial dan pencarian nilai akar dari suatu persamaan polinomial; teorema faktor mengakibatkan bahwa kedua masalah ini pada dasarnya setara.

Teorema faktor juga digunakan untuk menyingkirkan nilai-nilai akar yang telah diketahui dari polinomial yang diberikan, sembari membiarkan nilai-nilai akar yang belum diketahui, sehingga menghasilkan polinomial berderajat lebih rendah yang nilai-nilai akarnya mungkin saja lebih mudah untuk dicari. Secara umum, metodenya ialah sebagai berikut:

1. Dengan menggunakan teorema akar rasional, tentukan kandidat nilai akar $a$ dari polinomial $f(x)$ berdasarkan koefisien utamanya (yaitu $a_{n}$) serta suku konstantanya (yaitu $a_{0}$).
2. Gunakan teorema faktor untuk menyimpulkan bahwa $(x-a)$ merupakan faktor dari $f(x)$.
3. Carilah polinomial $g(x)={\dfrac {f(x)}{x-a}}$ dengan menggunakan pembagian bersusun atau pembagian sintetik.
4. Simpulkan bahwa setiap nilai akar $x\neq a$ dari $f(x)$ juga merupakan akar dari $g(x)$. Oleh karena derajat polinomial $g$ ialah satu kurangnya dari derajat polinomial $f$, maka lebih "sederhana" untuk mencari nilai-nilai akar yang tersisa dengan meninjau polinomial $g(x)$.

Proses ini dilanjutkan hingga polinomial $f$ terfaktorkan sepenuhnya, dimana semua faktornya taktereduksi pada $\mathbb {R} [x]$ atau $\mathbb {C} [x]$.

Contoh

Untuk mencari faktor-faktor dari $p(x)=x^{3}+7x^{2}+8x+2$, perhatikan bahwa konstanta pada $p(x)$ ialah 2 sedangkan koefisien utamanya ialah 1, sehingga berdasarkan teorema akar rasional, terdapat 4 kandidat akar rasional dari $p(x)$, yaitu $\pm 1$ dan $\pm 2$. Setelah melalui proses coba-coba, maka diperoleh $-1$ sebagai akar dari polinomial $p(x)$: $$p(-1)=(-1)^{3}+7(-1)^{2}+8(-1)+2=-1+7-8+2=0$$ Akibatnya, $(x-(-1))$ (atau $(x+1)$) merupakan faktor dari $p(x)$. Dengan membagi $p(x)$ oleh $(x-1)$, maka diperoleh polinomial $x^{2}+6x+2$, sehingga dapat disimpulkan bahwa $p(x)=(x^{2}+6x+2)(x+1)$

Faktor kuadrat dari $p(x)$ dapat difaktorkan lebih lanjut dengan menggunakan rumus kuadrat, yang menghasilkan akar-akar kuadrat $-3\pm {\sqrt {7}}$. Dengan demikian, tiga faktor linier dari $p(x)$ ialah $x+1$, $x-(-3+{\sqrt {7}})$, dan $x-(-3-{\sqrt {7}})$.

Bukti

Terdapat beberapa cara untuk membuktikan teorema faktor.

Jika $x-a$ merupakan faktor dari $f(x)$, maka jelas bahwa $f(a)=0$, sehingga semua pembuktian berikut akan membahas bagian kedua dari teorema faktor.

Bukti 1

Pertama, akan ditunjukkan bahwa teorema faktor berlaku untuk kasus $a=0$. Dengan kata lain, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap polinomial $f(x)$ dengan $f(0)=0$, maka terdapat suatu polinomial $g(x)$ sedemikian sehingga $f(x)=x\cdot g(x)$. Diketahui bahwa $f(x)$ adalah suatu polinomial, maka $f$ memiliki bentuk umum $$f(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\ldots +c_{n}x^{n}$$ Berdasarkan bentuk umum tersebut, perhatikan bahwa $f(0)=c_{0}$. Oleh karena $f(0)=0$, maka diperoleh $c_{0}=0$. Akibatnya, diperoleh $${\begin{aligned}f(x)&=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\ldots +c_{n}x^{n}\\&=c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\ldots +c_{n}x^{n}\\&=x\left(c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}+\ldots +c_{n}x^{n-1}\right)\end{aligned}}$$ sehingga dengan memilih $g(x)$ sebagai polinomial $c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}+\ldots +c_{n}x^{n-1}$, maka teorema faktor untuk kasus $a=0$ terbukti benar.

Selanjutnya, akan dibuktikan teorema faktor untuk sembarang nilai $a$ dengan memanfaatkan kebenaran kasus $a=0$. Diketahui bahwa $f(x)$ adalah suatu polinomial dengan $f(a)=0$. Perhatikan bahwa polinomial $f(x+a)$ memiliki akar di $x=0$. Berdasarkan kasus sebelumnya, maka terdapat suatu polinomial $h(x)$ sedemikian sehingga $f(x+a)=x\cdot h(x)$. Akibatnya, $$f(x)=f((x-a)+a)=(x-a)\cdot h(x-a)$$ Dengan kata lain, terbukti bahwa $(x-a)$ merupakan faktor dari $f(x)$.

Bukti 2

Jika $R$ adalah gelanggang komutatif, maka untuk sembarang $k\in \mathbb {N}$ dan untuk setiap $x$, $y\in R$, berlaku identitas $$x^{k}-y^{k}=(x-y)\left(x^{k-1}+x^{k-2}y+x^{k-3}y^{2}+\ldots +x^{2}y^{k-3}+xy^{k-2}+y^{k-1}\right)$$ Hal ini dapat dibuktikan dengan menjabarkan ruas kanan dari persamaan tersebut.

Diambil sembarang gelanggang komutatif $R$ dan sembarang polinomial $f(x)\in R[x]$. Oleh karena $f(x)$ adalah polinomial, maka $f(x)$ dapat dinyatakan sebagai $$f(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\ldots +c_{n}x^{n}$$ Diketahui bahwa $f(a)=0$. Akibatnya, didapatkan

$${\begin{array}{rccccccccccclcr}f(x)&=&c_{0}&+&c_{1}x&+&c_{2}x^{2}&+&c_{3}x^{3}&+&\ldots &+&c_{n}x^{n}&&\\f(a)&=&c_{0}&+&c_{1}a&+&c_{2}a^{2}&+&c_{3}a^{3}&+&\ldots &+&c_{n}a^{n}&&-\\\hline f(x)-f(a)&=&0&+&c_{1}(x-a)&+&c_{2}(x^{2}-a^{2})&+&c_{3}(x^{3}-a^{3})&+&\ldots &+&c_{n}(x^{n}-a^{n})\end{array}}$$

Dengan menggunakan notasi Sigma serta identitas $x^{k}-y^{k}$ yang telah dibahas sebelumnya, maka

$${\begin{aligned}f(x)-f(a)&=\sum _{k\,=\,1}^{n}c_{n}(x^{k}-a^{k})\\f(x)&=\sum _{k\,=\,1}^{n}c_{n}(x-a)\left(x^{k-1}+x^{k-2}a+x^{k-3}a^{2}+\ldots +x^{2}a^{k-3}+xa^{k-2}+a^{k-1}\right)\\&=(x-a)\cdot \sum _{k\,=\,1}^{n}c_{n}(x^{k-1}+x^{k-2}a+x^{k-3}a^{2}+\ldots +x^{2}a^{k-3}+xa^{k-2}+a^{k-1})\end{aligned}}$$

sehingga terbukti bahwa $(x-a)$ merupakan faktor dari $f(x)$.

Bukti 3

Diberikan suatu polinomial $F(x)$ sedemikian sehingga $F(a)=0$. Berdasarkan teorema pembagian polinomial, maka terdapat suatu polinomial $H(x)$ dan $S(x)$ sedemikian sehingga $$F(x)=(x-a)\cdot H(x)+S(x)$$ dengan $\deg(S)<\deg(x-a)$. Oleh karena $\deg(x-a)=1$, maka $S$ merupakan suatu fungsi konstan. Dengan menyubstitusikan $x=a$ ke persamaan di atas, perhatikan bahwa $F(a)=S(a)$. Diketahui bahwa $F(a)=0$ dan $S$ merupakan suatu fungsi konstan, maka didapatkan $S(x)=0$ untuk setiap nilai $x$. Akibatnya, $$F(x)=(x-a)\cdot H(x)$$

Pembagian bersisa di atas dapat dilakukan pada setiap gelanggang komutatif, sebab $(x-a)$ merupakan polinomial monik, sehingga proses pembagian bersusun polinomialnya tidak melibatkan operasi pembagian pada koefisien-koefisien polinomialnya.