Teorema Thales

Dalam geometri, teorema Thales menyatakan bahwa jika $A$ , $B$ , dan $C$ merupakan titik-titik berbeda pada suatu lingkaran dengan garis ${\overline {AC}}$ sebagai diameter, maka sudut $\angle ABC$ merupakan sudut siku-siku. Teorema Thales merupakan kasus khusus dari teorema sudut keliling dan disebut dan dibuktikan sebagai bagian dari proposisi ke-31 pada buku ketiga Euklides, Elements.^[1] Teorema ini umumnya diatributkan untuk Thales, namun terkadang teorema ini diatributkan untuk Phytagoras.

Bukti

Bukti pertama

Pada pembuktian ini, akan digunakan dua informasi berikut:

Besar sudut dari suatu segitiga sama dengan 180°.
Kedua sudut pada alas dari segitiga sama kaki bernilai sama.

Diberikan garis ${\overline {AC}}$ sebagai diameter, maka sudut pada titik $B$ bernilai konstan siku-siku, yaitu 90°.
Ilustrasi pembuktiannya.

Oleh karena ${\overline {OA}}$ , ${\overline {OB}}$ , dan ${\overline {OC}}$ sama-sama merupakan jari-jari lingkaran, maka diperoleh relasi ${\overline {OA}}={\overline {OB}}={\overline {OC}}$ Akibatnya, $\Delta AOB$ dan $\Delta BOC$ merupakan segitiga sama kaki, sehingga diperoleh $\angle OAB=\angle OBA$ dan $\angle OBC=\angle OCB$ .

Misalkan $\angle OAB=\alpha$ dan $\angle OBC=\beta$ , maka ketiga sudut dari $\Delta ABC$ adalah $\alpha$ , $\alpha +\beta$ , dan $\beta$ . Dikarenakan total sudut pada segitiga itu sama dengan $180^{\circ }$ , maka ${\begin{aligned}\alpha +\left(\alpha +\beta \right)+\beta &=180^{\circ }\\2\alpha +2\beta &=180^{\circ }\\2\left(\alpha +\beta \right)&=180^{\circ }\\\alpha +\beta &=90^{\circ }\end{aligned}}$ sehingga terbukti bahwa $\angle ABC$ merupakan sudut siku-siku.

Bukti kedua

Teorema Thales juga dapat dibuktikan menggunakan trigonometri. Misalkan $O=\left(0,\,0\right)$ , $A=\left(-1,\,0\right)$ , dan $C=\left(1,\,0\right)$ , maka $B$ merupakan titik pada lingkaran satuan dengan koordinat $B=\left(\cos \theta ,\,\sin \theta \right)$ . Akan ditunjukkan bahwa $\Delta ABC$ membentuk sudut siku-siku dengan membuktikan bahwa garis ${\overline {AB}}$ dan ${\overline {BC}}$ saling tegak lurus — yaitu, hasil kali dari kemiringannya sama dengan -1. Pertama, akan dicari kemiringan dari garis ${\overline {AB}}$ dan ${\overline {BC}}$ sebagai berikut: ${\begin{aligned}m_{AB}&={\dfrac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}={\dfrac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\\m_{BC}&={\dfrac {y_{C}-y_{B}}{x_{C}-x_{B}}}={\dfrac {-\sin \theta }{-\cos \theta +1}}\end{aligned}}$ Dengan menggunakan identitas Pythagoras (yaitu $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$ ), maka didapatkan ${\begin{aligned}m_{AB}\cdot m_{BC}&={\dfrac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\dfrac {-\sin \theta }{-\cos \theta +1}}\\&={\dfrac {-\sin ^{2}\theta }{-\cos ^{2}\theta +1}}\\&={\dfrac {-\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}\\&=-1\end{aligned}}$ sehingga terbukti $m_{AB}$ membentuk sudut siku-siku dengan $m_{BC}$ .

Bukti ketiga

Misalkan $\Delta ABC$ adalah segitiga dalam lingkaran, dengan ${\overline {AB}}$ sebagai diameter lingkarannya. Konstuksikan $\Delta ABD$ dengan mencerminkan $\Delta ABC$ terhadap garis ${\overline {AB}}$ , kemudian mencerminkan hasilnya lagi terhadap garis yang tegak lurus dengan garis ${\overline {AB}}$ serta melewati titik pusat lingkarannya. Perhatikan bahwa garis ${\overline {AC}}$ sejajar dengan garis ${\overline {BD}}$ , dan garis ${\overline {AD}}$ sejajar dengan garis ${\overline {BC}}$ , sehingga bangun segi empat $ABCD$ ialah jajar genjang. Oleh karena kedua garis diagonal dari jajar genjang $ABCD$ juga merupakan diameter lingkaran, maka garis ${\overline {AB}}$ ${\overline {CD}}$ memiliki panjang yang sama, sehingga jajar genjang $ABCD$ merupakan persegi panjang. Akibatnya, terbukti bahwa sudut $\angle ACB$ merupakan sudut siku-siku.

Konvers

Untuk setiap segitiga (termasuk setiap segitiga siku-siku), terdapat tepat satu lingkaran yang melewati semua titik sudut segitiganya. Lingkaran tersebut dikenal sebagai lingkaran luar segitiga.

Sketsa pembuktian ketunggalan
Diberikan sembarang dua titik yang berbeda. Lokus dari titik-titik yang berjarak sama dari kedua titik tersebut ialah garis lurus yang dikenal sebagai garis sumbu dari garis yang menghubungkan kedua titik tersebut. Garis-garis sumbu dari sembarang dua sisi pada segitiga berpotongan pada tepat satu titik. Titik tersebut haruslah berjarak sama dari ketiga titik sudut segitiganya.

Salah satu cara untuk merumuskan teorema Thales ialah: jika titik pusat dari lingkaran luar segitiganya berada pada keliling segitiganya, maka segitiganya merupakan segitiga siku-siku, dan titik pusat dari lingkaran luarnya berada pada hipotenusa segitiganya.

Berdasarkan paragraf sebelumnya, maka konvers dari teorema Thales ialah: titik pusat dari lingkaran luar segitiga siku-siku terletak pada hipotenusa segitiganya. Secara ekuivalen, hipotenusa segitiga siku-sikunya ialah diameter dari lingkaran luarnya.

Bukti pertama

Bukti ini melibatkan proses melengkapkan segitiga siku-sikunya sehingga membentuk persegi panjang dan memperhatikan bahwa titik tengah dari persegi panjang tersebut berjarak sama dari titik-titik sudutnya, dan begitu juga titik pusat dari lingkaran luar segitiganya. Pembuktian ini menggunakan dua informasi berikut:

Sudut yang bersebelahan pada suatu jajar genjang merupakan sudut suplemen (sudut pelurus, yaitu dua sudut yang hasil jumlahnya sama dengan 180°)
Kedua diagonal dari suatu persegi panjang memiliki panjang yang sama dan saling berpotongan pada titik tengahnya.

Diberikan segitiga $ABC$ , dengan $\angle ABC=90^{\circ }$ . Misalkan $L_{A}$ adalah garis yang melewati titik $A$ dan sejajar dengan ${\overline {BC}}$ , $L_{C}$ adalah garis yang melewati titik $C$ dan sejajar dengan ${\overline {AB}}$ , dan $D$ adalah perpotongan garis $L_{A}$ dan $L_{C}$ . Titik $D$ belum dibuktikan terletak pada lingkaran luar segitiganya.

Perhatikan bahwa segi empat $ABCD$ merupakan jajar genjang, sebab berdasarkan informasi yang diberikan, sisi-sisi yang berhadapan saling sejajar. Oleh karena sudut yang bersebelahan pada jajar genjang merupakan sudut yang saling berpelurus dan $\angle ABC=90^{\circ }$ , maka $\angle BAD=90^{\circ }\qquad \angle BCD=90^{\circ }\qquad \angle ADC=90^{\circ }$ sehingga $ABCD$ merupakan persegi panjang.

Misalkan $O$ menyatakan titik potong antara diagonal ${\overline {AC}}$ dan ${\overline {BD}}$ . Akibatnya, titik $O$ berjarak sama dari titik $A$ , $B$ , dan $C$ , sehingga $O$ merupakan titik pusat dari lingkaran luar segitiganya, dan hipotenusa segitiganya (yaitu ${\overline {AC}}$ merupakan diameter dari lingkaran luar segitiganya.

Bukti kedua

Bukti ini menggunakan dua informasi berikut:

Dua garis membentuk sudut siku-siku jika dan hanya jika darab bintik dari kedua vektor arahnya bernilai nol
Kuadrat dari panjang vektor merupakan darab bintik vektor tersebut dengan dirinya sendiri.

Diberikan segitiga $ABC$ , dengan $\angle ABC=90^{\circ }$ . Misalkan $L$ menyatakan lingkaran dengan sisi ${\overline {AC}}$ sebagai diameternya. Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan titik pusat $L$ berada pada titik asal. Akibatnya,

${\overrightarrow {A}}=-{\overrightarrow {C}}$
$({\overrightarrow {A}}-{\overrightarrow {B}})\cdot ({\overrightarrow {B}}-{\overrightarrow {C}})=0$ , sebab $\angle ABC$ merupakan sudut siku-siku

sehingga ${\begin{aligned}0&=({\overrightarrow {A}}-{\overrightarrow {B}})\cdot ({\overrightarrow {B}}-{\overrightarrow {C}})\\&=({\overrightarrow {A}}-{\overrightarrow {B}})\cdot ({\overrightarrow {B}}+{\overrightarrow {A}})\\&={\overrightarrow {A}}\cdot {\overrightarrow {B}}+{\overrightarrow {A}}\cdot {\overrightarrow {A}}-{\overrightarrow {B}}\cdot {\overrightarrow {A}}-{\overrightarrow {B}}\cdot {\overrightarrow {B}}\\&=\|{\overrightarrow {A}}\|^{2}-\|{\overrightarrow {B}}\|^{2}\\\|{\overrightarrow {A}}\|^{2}&=\|{\overrightarrow {B}}\|^{2}\\\|{\overrightarrow {A}}\|&=\|{\overrightarrow {B}}\|\end{aligned}}$

Hal ini berarti titik $A$ dan $B$ berjarak sama dari titik asal, yaitu titik pusat dari $L$ . Oleh karena titik $A$ terletak pada $L$ , maka titik $B$ juga terletak pada $L$ , sehingga $L$ merupakan lingkaran luar segitiga $ABC$ .

Perhitungan di atas membuktikan bahwa kedua arah dari teorema Thales berlaku untuk sembarang ruang hasil-kali dalam.

Perumuman dan hasil-hasil yang berhubungan

Seperti yang telah disebutkan pada paragraf di awal, teorema Thales merupakan kasus khusus dari teorema sudut keliling :

Diberikan tiga titik

A

,

B

, dan

C

pada lingkaran dengan titik pusat

P

, maka sudut

\angle APC

sama dengan dua kalinya sudut

\angle ABC

Hasil yang berkaitan dengan teorema Thales adalah sebagai berikut:

Diberikan tiga titik

A

,

B

, dan

C

. Dikonstruksikan lingkaran

L

dengan

{\overline {AC}}

sebagai diameternya.

Jika $B$ berada di luar $L$ , maka $\angle ABC<90^{\circ }$
Jika $B$ berada pada $L$ , maka $\angle ABC=90^{\circ }$
Jika $B$ berada di dalam $L$ , maka $\angle ABC<90^{\circ }$

Penerapan

Mengonstruksikan garis singgung lingkaran melalui suatu titik

Teorema Thaless dapat digunakan untuk mengonstruksikan garis singgung lingkaran yang melewati suatu titik yang diberikan. Pada gambar di kanan, diberikan lingkaran $k$ dengan titik pusat $O$ dan titik $P$ berada di luar $k$ . Bagi dua garis ${\overline {OP}}$ di titik $H$ dan konstruksikan lingkaran $l$ dengan jari-jari ${\overline {OH}}$ dan titik pusat $H$ . Misalkan $T$ dan $T'$ menyatakan titik-titik perpotongan lingkaran $k$ dan $l$ . Oleh karena ${\overline {OP}}$ merupakan diameter lingkaran $l$ , maka $\angle OTP$ merupakan sudut siku-siku, sehingga garis ${\overline {TP}}$ merupakan garis singgung lingkaran $k$ yang melewati titik $P$ .

Mencari titik pusat lingkaran

Teorema Thales juga dapat digunakan untuk mencari titik pusat lingkaran menggunakan suatu objek dengan sudut siku-siku, seperti penggaris segitiga siku-siku atau selembar kertas persegi panjang dengan ukuran yang lebih besar dari ukuran lingkarannya.^[2]

Sudut siku-sikunya ditempatkan pada keliling lingkarannya.
Perpotongan kedua sisi objeknya dengan lingkarannya merupakan diameter dari lingkarannya.
Ulangi kedua langkah sebelumnya untuk mendapatkan diameter lainnya. Perpotongan diameter-diameter ini merupakan titik pusat lingkarannya.

Lihat juga

Catatan

^ Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements. Vol. 2 (Books 3–9) (Edisi 2). Dover. hlm. 61. ISBN 0486600890. Semula diterbitkan oleh Cambridge University Press. Edisi pertama tahun 1908, edisi kedua tahun 1926.
^ Foster, Colin. Resources for Teaching Mathematics: 14–16. hlm. 183. ISBN 9780826436030. Diakses tanggal 26 Maret 2025.

Referensi

Agricola, Ilka; Friedrich, Thomas (2008). Elementary Geometry [Geometri Elementer] (dalam bahasa Inggris). AMS. hlm. 50. ISBN 978-0-8218-4347-5.
Heath, T.L. (1921). A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid [Sejarah Matematika Yunani: Dari Thales hingga Euclid] (dalam bahasa Inggris). Vol. I. Oxford. hlm. 131ff.

Pranala luar

(Inggris) (Inggris) Weisstein, Eric W. "Thales' Theorem". MathWorld.
(Inggris) Munching on Inscribed Angles
(Inggris) Thales's theorem explained, dengan animasi interaktif
(Inggris) Demos of Thales's theorem oleh Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.

[1] Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements. Vol. 2 (Books 3–9) (Edisi 2). Dover. hlm. 61. ISBN 0486600890. Semula diterbitkan oleh Cambridge University Press. Edisi pertama tahun 1908, edisi kedua tahun 1926.

[2] Foster, Colin. Resources for Teaching Mathematics: 14–16. hlm. 183. ISBN 9780826436030. Diakses tanggal 26 Maret 2025.

[1]

[2]