Teorema Apollonius

Visualisasi dari teorema Apollonius, total luas persegi berwarna merah sama dengan dua kali lipat dari luas persegi panjang biru ditambah dengan luas persegi panjang hijau.

Dalam geometri, teorema Apollonius adalah suatu teorema yang mengaitkan panjang garis berat pada segitiga dengan panjang sisi-sisinya. Teorema ini menyatakan bahwa "jumlah kuadrat dari dua sisi segitiga sama dengan dua kali dari kuadrat setengah sisi ketiga, digabung dengan dua kali dari kuadrat garis berat yang membagi sisi ketiga". Secara lebih formal, untuk suatu segitiga $ABC$, jika $AD$ merupakan sebuah garis berat, maka

$$|AB|^{2}+|AC|^{2}=2(|AD|^{2}+|BD|^{2})$$

teorema Pythagoras adalah kasus khusus dari teorema Apollonius. Dalam ilustrasi ini, luas berwarna hijau akan sama akan sama dengan luas daerah berwarna merah

Teorema ini adalah sebuah kasus khusus dari teorema Stewart. Untuk segitiga sama kaki dengan $|AB|=|AC|$, garis berat $AD$ akan tegak lurus dengan $BC$, sehingga teorema tereduksi menjadi teorema Pythagoras untuk segitiga $ADB$ (atau segitiga $ADC$). Dari fakta bahwa diagonal-diagonal jajar genjang membagi satu sama lain, teorema Apollonius setara dengan hukum jajar genjang.

Teorema ini dinamai dari nama seorang matematikawan Yunani, Apollonius dari Perga.

Bukti

Bukti teorema Apollonius

Teorema Apollonius dapat dibuktikan sebagai sebuah kasus khusus dari teorema Stewart, atau dapat dibuktikan menggunakan vektor (lihat hukum jajaran genjang). Berikut ini adalah bukti dengan menggunakan hukum kosinus.

Misalkan segitiga memiliki sisi $a,b,c$, dengan sebuah garis berat $d$ digambar ke sisi $a$. Misalkan $m$ menjadi panjang dari segmen $a$ yang dibentuk oleh garis berat, jadi besar $m$ adalah setengah dari $a$. Misalkan pula sudut dibentuk di antara $a$ dan $d$ adalah $\theta$ dan $\theta '$, dengan $\theta$ menghadap ke sisi $b$ dan $\theta '$ menghadap ke sisi $c$. Sudut $\theta '$ adalah sudut penggenap dari $\theta$, (yakni, $\theta +\theta '=180^{\circ }$) sehingga $\cos \theta '=-\cos \theta$. Hukum kosinus untuk $\theta$ dan $\theta '$ menyatakan bahwa

${\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta \,\end{aligned}}$

Menggabungkan persamaan yang ke pertama dan yang ketiga akan menghasilkan

$b^{2}+c^{2}=2(m^{2}+d^{2})$

yakni teorema Apollonius itu sendiri.

Pranala luar

• Apollonius Theorem di PlanetMath.
• David B. Surowski: Advanced High-School Mathematics. hlm. 27