Sudut pusat dan sudut keliling

Dalam geometri, sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya berimpit dengan pusat lingkaran serta kedua kakinya adalah jari-jari lingkaran, dan sudut keliling adalah sudut yang titik sudutnya terletak pada keliling lingkaran serta kedua kakinya merupakan tali busur.

Sudut-sudut tersebut dikatakan menghadap suatu busur lingkaran. Terlihat pada gambar bahwa sudut pusat $\angle AOB$ , sudut keliling $\angle AMB$ , dan sudut $\angle ANB$ semuanya menghadap busur kecil $AB$ .

Teorema sudut pusat dan sudut keliling

Misalkan AB adalah tali busur sebuah lingkaran yang berpusat di O, AB bukan diameter lingkaran tersebut, dan V adalah sebarang titik pada lingkaran yang berbeda dari A dan B. Maka jika sudut pusat dan sudut keliling pada suatu lingkaran menghadap busur yang sama maka besar sudut pusat adalah dua kali besar sudut keliling.

Bukti teorema ini terbagi menjadi tiga kasus, bergantung pada kedudukan titik pusat O terhadap sudut keliling AVB, apakah titik O berada pada salah satu kaki sudut keliling, atau berada di antara dua kaki sudut keliling, atau berada di luar sudut keliling.

Apabila titik pusat berada pada salah satu kaki sudut keliling, maka sudut pusat AOB adalah sudut luar segitiga AOV. Pandang bahwa AOV membentuk segitiga sama kaki, sehingga sudut OAV sama dengan sudut keliling OVA. Oleh karena itu, berdasarkan teorema sudut luar segitiga, ukuran sudut pusat AOB sama dengan dua kali sudut keliling OVA.

Untuk dua kasus lain, tarik diameter VO sehingga memotong lingkaran di titik E. Dengan konstruksi ini terbentuk sudut pusat COE dan DOE yang berturut-turut berada pada salah satu kaki sudut keliling CVE dan DVE. Dengan menerapkan bukti pada kasus pertama kada kedua sudut pusat, terbukti bahwa besar sudut pusat adalah dua kali besar sudut keliling.

1. Titik pusat lingkaran berada pada salah satu kaki sudut keliling.
2. Titik pusat lingkaran berada di antara kedua kaki sudut keliling.
3. Titik pusat lingkaran berada di luar kedua kaki sudut keliling,

Sudut pusat

Setiap sudut pusat menghadap ke tepat satu dan setiap busur memiliki tepat satu sudut pusat.

Rujukan

Faires, J. Douglas; Bivens (2007). Buku Soal Ikatan Matematika Amerika (MAA): Langkah Pertama Menuju Olimpiade Matematika (dalam bahasa Indonesia). Pakar Raya. ISBN 978-979-534-457-5. Pemeliharaan CS1: Bahasa yang tidak diketahui (link) Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
Gellert, Walter; Van Nostrand Reinhold Company (1989). The VNR concise encyclopedia of mathematics. New York : Van Nostrand Reinhold. ISBN 978-0-442-20590-4. Pemeliharaan CS1: Lokasi penerbit (link)
Mashadi; (2015). Geometri (PDF) (dalam bahasa Indonesia). UR Press. ISBN 978-979-792-652-6. Pemeliharaan CS1: Bahasa yang tidak diketahui (link) Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link) Pemeliharaan CS1: Status URL (link) Pemeliharaan CS1: Tanda baca tambahan (link)