Subgrup karakteristik

Dalam matematika, khususnya di bidang aljabar abstrak yang dikenal sebagai teori grup, subgrup karakteristik adalah subgrup yang dipetakan ke dirinya sendiri oleh setiap automorphism dari induk grup.^[1]^[2] Karena setiap peta konjugasi adalah automorfisme dalam, setiap subgrup karakteristik adalah normal; meskipun kebalikannya tidak dijamin. Contoh subgrup karakteristik termasuk subgrup komutator dan pusat grup.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Subgrup $H$ dari grup $G$ disebut subgrup karakteristik jika untuk setiap automorfisme $φ$ dari $G$ , menaruh rumus $φ(H) \leq H$ ; setelah itu rumusnya adalah $H char G$ .

Itu sama saja dengan membutuhkan kondisi yang lebih kuat $φ(H)$ = $H$ untuk automorfisme $φ$ of $G$ , karena $φ -1 (H) \leq H$ menyiratkan inklusi terbalik $H \leq φ(H)$ .

Sifat dasar[sunting | sunting sumber]

Jika $H char G$ , setiap automorfisme $G$ menginduksi automorfisme grup hasil bagi $G/H$ , yang menghasilkan homomorfisme $Aut(G) \to Aut(G / H)$ .

Jika $G$ memiliki subgrup unik $H$ dari indeks tertentu, maka $H$ adalah karakteristik dalam $G$ .

Konsep terkait[sunting | sunting sumber]

Subgrup normal[sunting | sunting sumber]

Sebuah subgrup dari $H$ yang invarian di bawah semua automorphisms dalam disebut normal; juga, subkelompok invarian.

\forallφ \in Inn(G)： φ[H] \leq H

Maka $Inn(G) \subseteq Aut(G)$ dan subkelompok karakteristik tidak berubah di bawah semua automorfisme, setiap subkelompok karakteristik adalah normal. Namun, tidak setiap subkelompok normal memiliki karakteristik. Berikut beberapa contohnya:

Misalkan $H$ menjadi grup nontrivial, dan biarkan $G$ menjadi produk langsung, $H \times H$ . Kemudian subgrup, ${1} \times H$ dan $H \times {1}$ , keduanya normal, tetapi tidak ada karakteristiknya. Secara khusus, tak satu pun dari subgrup ini yang invarian di bawah automorfisme, $(x, y) \to (y, x)$ , yang mengubah dua faktor.
Untuk contoh konkretnya, misalkan $V$ menjadi Klein empat grup (yaitu isomorfis ke hasil kali langsung, $ℤ 2 \times ℤ 2$ ). Karena grup ini adalah abelian, setiap sub grup adalah normal; tapi setiap permutasi dari 3 elemen non-identitas merupakan automorfisme dari $V$ , jadi 3 subgrup dari orde 2 bukan karakteristik. Jadi $V = {e, a, b, ab}$ . Consider $H = {e, a}$ dan pertimbangkan automorfisme, $T(e) = e, T(a) = b, T(b) = a, T(ab) = ab$ ; maka $T(H)$ tidak terkandung dalam $H$ .
Dalam grup hasil bagi dari orde 8, masing-masing subgrup siklik dari orde 4 adalah normal, tetapi tidak satupun dari ini adalah karakteristik. Namun, subgrup, ${1, -1}$ , merupakan karakteristik, karena merupakan satu-satunya subgrup dari orde 2.
Jika $n$ genap, grup dihedral berurutan $2 n$ memiliki 3 subgrup index 2, yang semuanya normal. Salah satunya adalah subkelompok siklik, yang merupakan karakteristik. Dua subkelompok lainnya adalah dihedral; ini diizinkan oleh automorfisme luar dari grup induk, dan oleh karena itu bukan karakteristik.

Subgrup dengan karakteristik yang ketat [sunting | sunting sumber]

Subgrup yang sangat khas, atau subgrup dibedakan, yang invarian di bawah surjektif endomorfisme. Untuk grup hingga, dugaan endomorfisme menyiratkan injektifitas, jadi endomorfisme dugaan adalah automorfisme; sehingga menjadi karakteristik ketat setara dengan karakteristik . Ini tidak berlaku lagi untuk grup yang tidak terbatas.

Subgrup dengan karakteristik penuh[sunting | sunting sumber]

Untuk kendala yang lebih kuat, sebuah subgrup karakteristik penuh (juga, subgrup invarian penuh ; cf. subkelompok invarian), $H$ , dari grup $G$ , adalah grup yang tersisa invariant di bawah setiap endomorphism dari $G$ ; itu adalah,

\forallφ \in End(G)： φ[H] \leq H

.

Setiap kelompok memiliki dirinya sendiri (subkelompok yang tidak tepat) dan subkelompok sepele sebagai dua dari subgrup karakteristik penuh. Subgrup komutator dari sebuah grup selalu merupakan subgrup yang memiliki karakteristik penuh.^[3]^[4]

Setiap endomorfisme $G$ menginduksi endomorfisme $G/H$ , yang menghasilkan peta $End(G) \to End(G / H)$ .

Subkelompok verbal[sunting | sunting sumber]

Kendala yang lebih kuat adalah subgrup verbal, yang merupakan citra subgrup invarian penuh dari grup bebas di bawah homomorfisme. Secara lebih umum, subgrup verbal apa pun selalu merupakan karakteristik penuh. Untuk setiap grup bebas yang dikurangi, dan, khususnya, untuk grup bebas mana pun, kebalikannya juga berlaku: setiap karakteristik.

Transitivitas[sunting | sunting sumber]

Properti menjadi karakteristik atau karakteristik penuh adalah transitif; jika $H$ adalah subgrup berkarakteristik (lengkap) dari $K$ , dan $K$ adalah karakteristik (lengkap) subgrup dari $G$ , maka $H$ adalah subgrup berkarakteristik (lengkap) dari $G$ .

H char K char G \Rightarrow H char G

.

Selain itu, walaupun normalitas tidak transitif, memang benar bahwa setiap subkelompok karakteristik dari subgrup normal adalah normal.

H char K ⊲ G \Rightarrow H ⊲ G

Demikian pula, meskipun karakteristik ketat (dibedakan) tidak transitif, memang benar bahwa setiap subgrup yang memiliki karakteristik penuh dari subkelompok yang sangat berkarakteristik bersifat ketat.

Namun, berbeda dengan normalitas, jika $H char G$ dan $K$ adalah subgrup dari $G$ memuat $H$ , lalu secara umum $H$ belum tentu karakteristik dalam $K$ .

H char G, H < K < G ⇏ H char K

Containments[sunting | sunting sumber]

Setiap subgrup yang sepenuhnya berkarakteristik pasti memiliki karakteristik dan karakteristik yang ketat; tetapi subkelompok yang berkarakteristik atau bahkan berkarakteristik ketat tidak perlu menjadi karakteristik yang sepenuhnya.

Pusat grup selalu merupakan subgrup yang sangat berkarakteristik, tetapi tidak selalu berkarakteristik penuh. Misalnya, grup order yang terbatas 12, $Sym(3) \times ℤ/2ℤ$ , memiliki pengambilan homomorfisme $(π, y)$ ke $((1, 2) y, 0)$ , yang mengambil pusat, $1 \times ℤ/2ℤ$ , menjadi subgrup $Sym(3) \times 1$ , yang memenuhi pusat hanya dalam identitas.

Hubungan di antara properti subgrup ini dapat dinyatakan sebagai:

Subgrup ⇐ Subgrup normal ⇐ Subgrup karakteristik ⇐ Subgrup dengan karakteristik yang ketat ⇐ Subgrup karakter ⇐ Subgrup verbal

Contoh[sunting | sunting sumber]

Contoh hingga[sunting | sunting sumber]

Pertimbangkan grup $G = S 3 \times ℤ 2$ (grup orde 12 yang merupakan produk langsung dari grup simetris orde 6 dan grup siklik orde 2). Pusat dari $G$ adalah faktor keduanya $ℤ 2$ . Perhatikan bahwa faktor pertama, $S 3$ , berisi subkelompok isomorfik ke $ℤ 2$ , contohnya ${e, (12)}$ ; misalkan $f : ℤ 2 \to S 3$ jadilah pemetaan morfisme $ℤ 2$ ke subkelompok yang ditunjukkan. Kemudian komposisi proyeksi $G$ menjadi faktor keduanya $ℤ 2$ , diikuti dengan $f$ , diikuti dengan penyertaan $S 3$ ke dalam $G$ sebagai faktor pertamanya, memberikan endomorfisme dari $G$ di mana gambar pusat, $ℤ 2$ , tidak terdapat di tengah, jadi di sini pusat bukanlah subkelompok yang sepenuhnya berkarakteristik dari $G$ .

Grup siklik[sunting | sunting sumber]

Setiap subgrup dari grup siklik adalah karakteristik.

Functor subkelompok[sunting | sunting sumber]

Subgrup turunan (atau subgrup komutator) dari suatu kelompok adalah subgrup verbal. Subgrup torsi dari grup abelian adalah subgrup yang sepenuhnya tidak berubah.