Simetri cermin (teori dawai)

Dalam geometri aljabar dan fisika teoretis, simetri cermin adalah suatu hubungan antara objek-objek geometris yang disebut manifold Calabi–Yau. Istilah ini merujuk pada situasi di mana dua manifold Calabi–Yau tampak sangat berbeda secara geometris tetapi ekuivalen ketika digunakan sebagai dimensi tambahan dari teori dawai.

Kasus-kasus awal simetri cermin ditemukan oleh para fisikawan. Para matematikawan mulai tertarik pada hubungan ini sekitar tahun 1990 ketika Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green, dan Linda Parkes menunjukkan bahwa simetri ini dapat digunakan sebagai alat dalam geometri enumeratif, sebuah cabang matematika yang berkaitan dengan menghitung jumlah solusi untuk pertanyaan-pertanyaan geometris. Candelas dan para kolaboratornya menunjukkan bahwa simetri cermin dapat digunakan untuk menghitung kurva-kurva rasional pada sebuah manifold Calabi–Yau, sehingga memecahkan masalah yang telah lama ada. Meskipun pendekatan awal terhadap simetri cermin didasarkan pada gagasan-gagasan fisika yang tidak dipahami dengan presisi secara matematis, beberapa prediksi matematikanya sejak saat itu telah dibuktikan secara ketat.

Saat ini, simetri cermin adalah topik penelitian utama dalam matematika murni, dan para matematikawan sedang bekerja untuk mengembangkan pemahaman matematis mengenai hubungan ini berdasarkan intuisi para fisikawan. Simetri cermin juga merupakan alat fundamental untuk melakukan perhitungan dalam teori dawai, dan telah digunakan untuk memahami aspek-aspek teori medan kuantum, formalisme yang digunakan fisikawan untuk menjelaskan partikel dasar. Pendekatan-pendekatan utama terhadap simetri cermin mencakup program simetri cermin homologis dari Maxim Kontsevich, dan konjektur SYZ dari Andrew Strominger, Shing-Tung Yau, dan Eric Zaslow serta analog aljabarnya, program Gross-Siebert dari Mark Gross dan Bernd Siebert.

Gambaran umum

Dawai dan kompaktifikasi

Artikel utama untuk kategori ini adalah Teori dawai dan Kompaktifikasi (fisika).

Objek mendasar dari teori dawai adalah dawai terbuka dan tertutup.

Dalam fisika, teori dawai adalah sebuah kerangka kerja teoretis di mana partikel menyerupai titik dari fisika partikel digantikan oleh objek satu dimensi yang disebut dawai. Dawai-dawai ini tampak seperti segmen kecil atau jerat dari tali biasa. Teori dawai menjelaskan bagaimana dawai merambat melalui ruang dan berinteraksi satu sama lain. Pada skala jarak yang lebih besar daripada skala dawai, sebuah dawai akan terlihat persis seperti partikel biasa, dengan massa, muatan, dan sifat lainnya ditentukan oleh keadaan vibrasi dawai tersebut. Pemisahan dan rekombinasi dawai bersesuaian dengan emisi dan absorpsi partikel, yang memunculkan interaksi antarpartikel.

Terdapat perbedaan yang mencolok antara dunia yang dijelaskan oleh teori dawai dan dunia sehari-hari. Dalam kehidupan sehari-hari, terdapat tiga dimensi ruang yang familier (atas/bawah, kiri/kanan, dan depan/belakang), dan terdapat satu dimensi waktu (kemudian/sebelumnya). Dengan demikian, dalam bahasa fisika modern, seseorang mengatakan bahwa ruang waktu berdimensi empat. Salah satu fitur aneh dari teori dawai adalah bahwa teori ini membutuhkan dimensi tambahan ruang waktu demi konsistensi matematisnya. Dalam teori superdawai, versi teori yang menggabungkan gagasan teoretis yang disebut supersimetri, terdapat enam dimensi ruang waktu tambahan selain empat dimensi yang familier dari pengalaman sehari-hari.

Salah satu tujuan penelitian saat ini dalam teori dawai adalah mengembangkan model-model di mana dawai merepresentasikan partikel yang diamati dalam eksperimen fisika energi tinggi. Agar model seperti itu konsisten dengan pengamatan, ruang waktunya harus berdimensi empat pada skala jarak yang relevan, sehingga seseorang harus mencari cara untuk membatasi dimensi tambahan ke skala yang lebih kecil. Dalam kebanyakan model fisika realistis yang didasarkan pada teori dawai, hal ini dicapai melalui proses yang disebut kompaktifikasi, di mana dimensi tambahan diasumsikan "menutup" pada dirinya sendiri untuk membentuk lingkaran. Dalam limit di mana dimensi yang tergulung ini menjadi sangat kecil, seseorang memperoleh teori di mana ruang waktu secara efektif memiliki jumlah dimensi yang lebih rendah. Analogi standar untuk hal ini adalah dengan mempertimbangkan objek multidimensi seperti selang kebun. Jika selang dilihat dari jarak yang cukup jauh, selang tersebut tampak hanya memiliki satu dimensi, yakni panjangnya. Namun, ketika seseorang mendekati selang tersebut, ia menemukan bahwa selang itu mengandung dimensi kedua, yakni kelilingnya. Dengan demikian, seekor semut yang merayap di permukaan selang akan bergerak dalam dua dimensi.

Manifold Calabi–Yau

Artikel utama untuk kategori ini adalah Manifold Calabi–Yau.

Penampang lintang dari manifold Calabi–Yau kuintik

Kompaktifikasi dapat digunakan untuk mengonstruksi model di mana ruang waktu secara efektif berdimensi empat. Namun, tidak setiap cara mengompaktifikasi dimensi tambahan menghasilkan model dengan sifat yang tepat untuk menjelaskan alam. Dalam model fisika partikel yang layak, dimensi tambahan yang kompak harus berbentuk seperti manifold Calabi–Yau. Manifold Calabi–Yau adalah ruang khusus yang biasanya dianggap berdimensi enam dalam aplikasi pada teori dawai. Namanya diambil dari matematikawan Eugenio Calabi dan Shing-Tung Yau.

Setelah manifold Calabi–Yau memasuki fisika sebagai cara untuk mengompaktifikasi dimensi tambahan, banyak fisikawan mulai mempelajari manifold ini. Pada akhir tahun 1980-an, Lance Dixon, Wolfgang Lerche, Cumrun Vafa, dan Nick Warner memperhatikan bahwa dengan adanya kompaktifikasi teori dawai seperti itu, tidak mungkin untuk merekonstruksi secara unik manifold Calabi–Yau yang bersesuaian. Sebaliknya, dua versi teori dawai yang berbeda yang disebut teori dawai tipe IIA dan tipe IIB dapat dikompaktifikasi pada manifold Calabi–Yau yang sepenuhnya berbeda namun memunculkan fisika yang sama. Dalam situasi ini, manifold-manifold tersebut disebut manifold cermin, dan hubungan antara kedua teori fisika tersebut disebut simetri cermin.

Hubungan simetri cermin adalah contoh khusus dari apa yang disebut fisikawan sebagai dualitas fisik. Secara umum, istilah dualitas fisik merujuk pada situasi di mana dua teori fisika yang tampaknya berbeda ternyata ekuivalen dalam cara yang tidak trivial. Jika satu teori dapat ditransformasikan sehingga terlihat persis seperti teori lain, keduanya dikatakan dual di bawah transformasi tersebut. Dengan kata lain, kedua teori tersebut adalah deskripsi matematis yang berbeda dari fenomena yang sama. Dualitas semacam itu memainkan peran penting dalam fisika modern, terutama dalam teori dawai.

Terlepas dari apakah kompaktifikasi Calabi–Yau dari teori dawai memberikan deskripsi alam yang benar, keberadaan dualitas cermin antara teori dawai yang berbeda memiliki konsekuensi matematis yang signifikan. Manifold Calabi–Yau yang digunakan dalam teori dawai menarik minat dalam matematika murni, dan simetri cermin memungkinkan matematikawan menyelesaikan masalah dalam geometri aljabar enumeratif, cabang matematika yang berkaitan dengan menghitung jumlah solusi untuk pertanyaan geometris. Masalah klasik geometri enumeratif adalah mengenumerasi kurva rasional pada manifold Calabi–Yau seperti yang diilustrasikan di atas. Dengan menerapkan simetri cermin, matematikawan telah menerjemahkan masalah ini menjadi masalah yang setara untuk Calabi–Yau cerminnya, yang ternyata lebih mudah diselesaikan.

Dalam fisika, simetri cermin dibenarkan berdasarkan alasan fisik. Namun, matematikawan umumnya memerlukan bukti yang ketat yang tidak memerlukan rujukan pada intuisi fisik. Dari sudut pandang matematika, versi simetri cermin yang dijelaskan di atas masih hanya berupa konjektur, tetapi ada versi lain dari simetri cermin dalam konteks teori dawai topologis, versi sederhana dari teori dawai yang diperkenalkan oleh Edward Witten, yang telah dibuktikan secara ketat oleh matematikawan. Dalam konteks teori dawai topologis, simetri cermin menyatakan bahwa dua teori yang disebut Model-A dan Model-B adalah ekuivalen dalam artian bahwa ada dualitas yang menghubungkan keduanya. Saat ini simetri cermin adalah area penelitian aktif dalam matematika, dan matematikawan sedang bekerja untuk mengembangkan pemahaman matematis yang lebih lengkap tentang simetri cermin berdasarkan intuisi fisikawan.

Referensi

• Aspinwall, Paul; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory; Segal, Graeme; Szendröi, Balázs; Wilson, P.M.H., ed. (2009). Dirichlet Branes and Mirror Symmetry. Clay Mathematics Monographs. Vol. 4. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3848-8.
• Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia; Green, Paul; Parkes, Linda (1991). "A pair of Calabi–Yau manifolds as an exactly soluble superconformal field theory". Nuclear Physics B. 359 (1): 21–74. Bibcode:1991NuPhB.359...21C. doi:10.1016/0550-3213(91)90292-6.
• Candelas, Philip; Horowitz, Gary; Strominger, Andrew; Witten, Edward (1985). "Vacuum configurations for superstrings". Nuclear Physics B. 258: 46–74. Bibcode:1985NuPhB.258...46C. doi:10.1016/0550-3213(85)90602-9.
• Candelas, Philip; Lynker, Monika; Schimmrigk, Rolf (1990). "Calabi–Yau manifolds in weighted $\mathbb {P} _{4}$". Nuclear Physics B. 341 (1): 383–402. Bibcode:1990NuPhB.341..383C. doi:10.1016/0550-3213(90)90185-G.
• Dixon, Lance (1988). "Some world-sheet properties of superstring compactifications, on orbifolds and otherwise". ICTP Ser. Theoret. Phys. 4: 67–126. ISBN 978-9971-5-0452-6.
• Givental, Alexander (1996). "Equivariant Gromov-Witten invariants". International Mathematics Research Notices. 1996 (13): 613–663. doi:10.1155/S1073792896000414. S2CID 554844.
• Givental, Alexander (1998). "A Mirror Theorem for Toric Complete Intersections". Topological Field Theory, Primitive Forms and Related Topics. hlm. 141–175. arXiv:alg-geom/9701016. Bibcode:1998tftp.conf..141G. doi:10.1007/978-1-4612-0705-4_5. ISBN 978-1-4612-6874-1. S2CID 2884104.
• Greene, Brian (2000). The Elegant Universe: Superstrings, Hidden Dimensions, and the Quest for the Ultimate Theory. Random House. ISBN 978-0-9650888-0-0.
• Greene, Brian; Plesser, Ronen (1990). "Duality in Calabi–Yau moduli space". Nuclear Physics B. 338 (1): 15–37. Bibcode:1990NuPhB.338...15G. doi:10.1016/0550-3213(90)90622-K.
• Hori, Kentaro; Katz, Sheldon; Klemm, Albrecht; Pandharipande, Rahul; Thomas, Richard; Vafa, Cumrun; Vakil, Ravi; Zaslow, Eric, ed. (2003). Mirror Symmetry (PDF). Clay Mathematics Monographs. Vol. 1. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2955-6. Diarsipkan dari asli (PDF) tanggal 2006-09-19.
• Hori, Kentaro; Vafa, Cumrun (2000). "Mirror Symmetry". arΧiv:hep-th/0002222. 
• Intriligator, Kenneth; Seiberg, Nathan (1996). "Mirror symmetry in three-dimensional gauge theories". Physics Letters B. 387 (3): 513–519. arXiv:hep-th/9607207. Bibcode:1996PhLB..387..513I. doi:10.1016/0370-2693(96)01088-X. S2CID 13985843.
• Kikkawa, Keiji; Yamasaki, Masami (1984). "Casimir effects in superstring theories". Physics Letters B. 149 (4): 357–360. Bibcode:1984PhLB..149..357K. doi:10.1016/0370-2693(84)90423-4.
• Kontsevich, Maxim (1995a), "Enumeration of Rational Curves Via Torus Actions", The Moduli Space of Curves, Birkhäuser, hlm. 335, arXiv:hep-th/9405035, doi:10.1007/978-1-4612-4264-2_12, ISBN 978-1-4612-8714-8, S2CID 16131978
• Kontsevich, Maxim (1995b). "Homological Algebra of Mirror Symmetry". Proceedings of the International Congress of Mathematicians. hlm. 120–139. arXiv:alg-geom/9411018. Bibcode:1994alg.geom.11018K. doi:10.1007/978-3-0348-9078-6_11. ISBN 978-3-0348-9897-3. S2CID 16733945.
• Lerche, Wolfgang; Vafa, Cumrun; Warner, Nicholas (1989). "Chiral rings in ${\mathcal {N}}=2$ superconformal theories" (PDF). Nuclear Physics B. 324 (2): 427–474. Bibcode:1989NuPhB.324..427L. doi:10.1016/0550-3213(89)90474-4. S2CID 120175708.
• Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung (1997). "Mirror principle, I". Asian Journal of Mathematics. 1 (4): 729–763. arXiv:alg-geom/9712011. Bibcode:1997alg.geom.12011L. doi:10.4310/ajm.1997.v1.n4.a5. S2CID 8035522.
• Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung (1999a). "Mirror principle, II". Asian Journal of Mathematics. 3: 109–146. arXiv:math/9905006. Bibcode:1999math......5006L. doi:10.4310/ajm.1999.v3.n1.a6. S2CID 17837291.
• Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung (1999b). "Mirror principle, III". Asian Journal of Mathematics. 3 (4): 771–800. arXiv:math/9912038. Bibcode:1999math.....12038L. doi:10.4310/ajm.1999.v3.n4.a4.
• Lian, Bong; Liu, Kefeng; Yau, Shing-Tung (2000). "Mirror principle, IV". Surveys in Differential Geometry. 7: 475–496. arXiv:math/0007104. Bibcode:2000math......7104L. doi:10.4310/sdg.2002.v7.n1.a15. S2CID 1099024.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Springer. ISBN 978-0-387-98403-2.
• Moore, Gregory (2005). "What is ... a Brane?" (PDF). Notices of the AMS. 52: 214. Diakses tanggal 6 August 2016.
• Sakai, Norisuke; Senda, Ikuo (1986). "Vacuum energies of string compactified on torus". Progress of Theoretical Physics. 75 (3): 692–705. Bibcode:1986PThPh..75..692S. doi:10.1143/PTP.75.692.
• Strominger, Andrew; Yau, Shing-Tung; Zaslow, Eric (1996). "Mirror symmetry is T-duality". Nuclear Physics B. 479 (1): 243–259. arXiv:hep-th/9606040. Bibcode:1996NuPhB.479..243S. doi:10.1016/0550-3213(96)00434-8. S2CID 14586676.
• Vafa, Cumrun (1992). "Topological mirrors and quantum rings". Essays on Mirror Manifolds: 96–119. arXiv:hep-th/9111017. Bibcode:1991hep.th...11017V. ISBN 978-962-7670-01-8.
• Wald, Robert (1984). General Relativity. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-87033-5.
• Witten, Edward (1990). "On the structure of the topological phase of two-dimensional gravity". Nuclear Physics B. 340 (2–3): 281–332. Bibcode:1990NuPhB.340..281W. doi:10.1016/0550-3213(90)90449-N.
• Witten, Edward (1992). "Mirror manifolds and topological field theory". Essays on Mirror Manifolds: 121–160. ISBN 978-962-7670-01-8.
• Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions. Basic Books. ISBN 978-0-465-02023-2.
• Zaslow, Eric (2008). "Mirror Symmetry". Dalam Gowers, Timothy (ed.). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11880-2.
• Zwiebach, Barton (2009). A First Course in String Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88032-9.

Bacaan lanjutan

Populer

• Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions. Basic Books. ISBN 978-0-465-02023-2.
• Zaslow, Eric (2005). "Physmatics". arΧiv:physics/0506153. 
• Zaslow, Eric (2008). "Mirror Symmetry". Dalam Gowers, Timothy (ed.). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11880-2.

Buku teks

• Aspinwall, Paul; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory; Segal, Graeme; Szendröi, Balázs; Wilson, P.M.H., ed. (2009). Dirichlet Branes and Mirror Symmetry. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3848-8.
• Cox, David; Katz, Sheldon (1999). Mirror symmetry and algebraic geometry. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2127-5.
• Hori, Kentaro; Katz, Sheldon; Klemm, Albrecht; Pandharipande, Rahul; Thomas, Richard; Vafa, Cumrun; Vakil, Ravi; Zaslow, Eric, ed. (2003). Mirror Symmetry (PDF). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2955-6. Diarsipkan dari asli (PDF) tanggal 2006-09-19.