Ruang vektor berdimensi hingga

Diagram dengan dimensi 1, 2, 3, dan 4

Pada matematika, dimensi pada ruang vektor V adalah kardinalitas (misalnya jumlah vektor) dari basis V terhadap basis lapangannya. Hal ini biasanya dikenal sebagai dimensi Hamel (berdasarkan Georg Hamel) atau dimensi aljabar untuk membedakannya dengan dimensi tipe lain.

Untuk setiap ruang vektor, terdapat sebuah basis, dan setiap basis dari ruang vektor memiliki kardinalitas yang setara. Maka, dimensi dari ruang vektor didefinisikan secara unik. Ruang vektor V dikatakan berdimensi hingga jika dimensi dari V bernilai hingga, dan dikatakan berdimensi takhingga jika dimensinya takhingga.

Dimensi dari ruang vektor V terhadap lapangan F dapat dituliskan sebagai dim_F(V) atau [V : F]. Ketika F dapat disimpulkan dari konteks, penulisan dimensi tersebut dapat disederhanakan menjadi dim(V).

Contoh

Ruang vektor $\mathbb {R}$³ memiliki

$$\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}$$

sebagai basis standar, maka dim_{$\mathbb {R}$}($\mathbb {R}$³) = 3. Lebih umum, dim_{$\mathbb {R}$}($\mathbb {R}$ⁿ) = n; atau yang lebih umum dim_F(Fⁿ) = n untuk semua lapangan F.

Bilangan kompleks $\mathbb {C}$ bernilai riil dan kompleks pada ruang vektor; dengan dim_{$\mathbb {R}$}($\mathbb {C}$) = 2 dan dim_{$\mathbb {C}$}($\mathbb {C}$) = 1. Maka, dimensinya bergantng pada basis lapangan.

Hanya ruang vektor dengan dimensi 0 bernilai { 0 }, ruang vektor yang hanya berisi elemen nolnya.

Referensi

Daftar pustaka

• Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics (Edisi 3). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0. Pemeliharaan CS1: Ref menduplikasi bawaan (link)