Produk karangan bunga

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam teori grup, produk karangan bunga adalah produk khusus dari dua grup, berdasarkan produk setengah langsung. Produk karangan bunga digunakan dalam klasifikasi grup permutasi dan juga menyediakan cara untuk membangun contoh grup yang menarik.

Diberikan dua kelompok A dan H , terdapat dua variasi produk karangan bunga: produk karangan bunga tak terbatas (juga ditulis dengan \wr simbol lateks) dan produk karangan bunga terbatas A wr H . Diberikan himpunan Ω dengan H - aksi, terdapat generalisasi dari produk karangan bunga yang dilambangkan dengan A WrΩ H atau A wrΩ H.

Gagasan tersebut digeneralisasikan menjadi semigrup dan merupakan konstruksi sentral dalam teori struktur Krohn–Rhodes dari semigrup hingga.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Misalkan A dan H menjadi grup dan Ω satu set dengan H akting di atasnya (dari kanan). Misalkan K menjadi produk langsung

dari salinan Aω := A diindeks oleh himpunan Ω. Elemen K dapat dilihat sebagai sembarang urutan (aω) elemen A diindeks oleh Ω dengan perkalian komponen-bijaksana. Kemudian aksi H pada Ω meluas secara alami menjadi aksi H pada grup K oleh

Kemudian produk karangan bunga tidak hingga A WrΩ H dari A oleh H adalah produk setengah langsung K ⋊ H. Subgrup K dari A WrΩ H disebut dasar dari produk karangan bunga.

Produk karangan bunga terbatas A wrΩ H dibuat dengan cara yang sama seperti produk karangan bunga tidak dibatasi kecuali yang menggunakan jumlah langsung

sebagai dasar produk karangan bunga. Dalam hal ini elemen K adalah urutan (aω) elemen dalam A diindeks oleh Ω yang semuanya kecuali banyak aω adalah elemen identitas dari A .

Dalam kasus yang paling umum, seseorang membutuhkan Ω: = H , di mana H bekerja secara alami dengan perkalian kiri. Dalam hal ini, produk karangan bunga yang tidak dibatasi dan dibatasi dapat dilambangkan dengan A Wr H dan A wr H. Ini disebut produk karangan bunga biasa.

Notasi dan konvensi[sunting | sunting sumber]

Struktur produk karangan bunga dari A oleh H tergantung pada himpunan H Ω dan jika Ω tidak terbatas, itu juga tergantung pada apakah seseorang menggunakan produk karangan bunga yang dibatasi atau tidak dibatasi. Namun, dalam literatur, notasi yang digunakan mungkin kurang dan perlu diperhatikan keadaannya.

  • Dalam sastra AΩH mungkin berdiri untuk produk karangan bunga yang tidak dibatasi A WrΩ H atau produk karangan bunga terbatas A wrΩ H.
  • Demikian, AH mungkin berdiri untuk produk karangan bunga biasa yang tidak dibatasi A Wr H atau produk karangan bunga biasa yang dibatasi A wr H.
  • Dalam literatur, himpunan H Ω dapat dihilangkan dari notasi meskipun Ω ≠ H.
  • Dalam kasus khusus itu H = Sn adalah kelompok simetris derajat n adalah hal yang umum dalam literatur untuk mengasumsikannya Ω = {1,...,n} (dengan aksi alami Sn) dan kemudian hilangkan Ω dari notasi. Itu adalah, ASn biasanya menunjukkan A{1,...,n}Sn bukan produk karangan bunga biasa ASnSn. Dalam kasus pertama, grup dasar adalah produk dari n salinan dari A , dalam kasus terakhir itu adalah produk dari n ! Salinan A .

Sifat[sunting | sunting sumber]

Perjanjian produk karangan bunga yang tidak dibatasi dan dibatasi pada Ω terbatas[sunting | sunting sumber]

Karena produk langsung hingga adalah sama dengan jumlah langsung grup hingga, maka tak terbatas A WrΩ H dan produk karangan bunga terbatas A wrΩ H setuju jika himpunan H Ω terbatas. Secara khusus ini benar ketika Ω = H .

Subgrup[sunting | sunting sumber]

A wrΩ H selalu merupakan subgrup dari A WrΩ H.

Sifat Kardinalitas[sunting | sunting sumber]

Jika A , H dan Ω terbatas, maka

|AΩH| = |A||Ω||H|.[1]

Teorema embedding universal[sunting | sunting sumber]

Teorema embedding universal: Jika G adalah ekstensi dari A oleh H , kemudian ada subkelompok produk karangan bunga tak terbatas A'H yang isomorfik hingga G .[2] Ini juga dikenal sebagai Teorema penyematan Krasner – Kaloujnine . Teorema Krohn–Rhodes melibatkan apa yang pada dasarnya setara dengan semigrup ini.[3]

Aksi kanonik produk karangan bunga[sunting | sunting sumber]

Jika grup A bekerja pada himpunan Λ maka ada dua cara kanonik untuk membangun himpunan dari Ω dan Λ yang mana A WrΩ H (and therefore also A wrΩ H) can act.

  • Tindakan produk karangan bunga imprimitiv pada Λ × Ω.
Jika ((aω),h) ∈ A WrΩ H and (λ,ω′) ∈ Λ × Ω, then
  • Tindakan produk karangan bunga primitif di ΛΩ.
Elemen pada Λ Ω adalah urutan (λω) diindeks dari himpunan H Ω. Diberikan sebuah elemen ((aω), h) ∈ A WrΩ H operasinya pada (λω) ∈ ΛΩ is given by

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, p. 172 (1995)
  2. ^ M. Krasner and L. Kaloujnine, "Produit complet des groupes de permutations et le problème d'extension de groupes III", Acta Sci. Math. Szeged 14, pp. 69–82 (1951)
  3. ^ J D P Meldrum (1995). Wreath Products of Groups and Semigroups. Longman [UK] / Wiley [US]. hlm. ix. ISBN 978-0-582-02693-3. 

Pranala luar[sunting | sunting sumber]