Produk karangan bunga

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Dalam teori grup, hasilkali karangan bunga atau darab karangan bunga (bahasa Inggris: Wreath product) adalah hasilkali khusus dari dua grup, berdasarkan hasilkali setengah langsung. hasilkali karangan bunga digunakan dalam klasifikasi grup permutasi dan juga menyediakan cara untuk membangun contoh grup yang menarik.

Diberikan dua grup dan , terdapat dua variasi hasilkali karangan bunga: hasilkali karangan bunga takterbatas (juga ditulis dengan simbol LaTeX \wr) dan hasilkali karangan bunga terbatas . Diberikan himpunan Ω dengan tindakan-, terdapat generalisasi dari hasilkali karangan bunga yang dilambangkan dengan atau .

Gagasan tersebut digeneralisasikan menjadi semigrup dan merupakan konstruksi sentral dalam teori struktur Krohn–Rhodes dari semigrup hingga.

Definisi[sunting | sunting sumber]

Misalkan dan menjadi grup dan satu himpunan dengan bertindak di atasnya (dari kanan). Misalkan menjadi hasilkali grup langsung

dari salinan diindeks oleh himpunan . Elemen dapat dilihat sebagai sembarang urutan dari elemen diindeks oleh dengan perkalian sesekomponen. Kemudian tindakan pada meluas secara alami menjadi tindakan pada grup oleh

.

Kemudian hasilkali karangan bunga takterbatas dari oleh adalah hasilkali setengah langsung . Subgrup dari disebut basis dari hasilkali karangan bunga.

Hasilkali karangan bunga terbatas dibuat dengan cara yang sama seperti hasilkali karangan bunga tidakterbatas, kecuali yang menggunakan jumlah langsung

sebagai dasar hasilkali karangan bunga. Dalam hal ini elemen adalah urutan elemen di diindeks oleh yang semuanya kecuali banyak adalah elemen identitas dari .

Dalam kasus yang paling umum, salah satunya membutuhkan , di mana bekerja secara alami dengan perkalian sebelah kiri. Dalam hal ini, hasilkali karangan bunga yang tidak dibatasi dan dibatasi dapat dilambangkan dengan dan . Ini disebut hasilkali karangan bunga beraturan.

Notasi dan konvensi[sunting | sunting sumber]

Struktur hasilkali karangan bunga dari oleh bergantung pada himpunan dari dan jika takterbatas, itu juga tergantung pada apakah salah satunya menggunakan hasilkali karangan bunga yang dibatasi atau tidak dibatasi. Namun, dalam literatur, notasi yang digunakan mungkin kurang dan perlu diperhatikan keadaannya.

  • Dalam literatur, dapat diartikan sebagai hasilkali karangan bunga takterbatas atau hasilkali karangan bunga terbatas .
  • Demikian, dapat diartikan sebagai hasilkali karangan bunga beraturan takterbatas atau hasilkali karangan bunga beraturan terbatas .
  • Dalam literatur, himpunan-dari dapat dihilangkan dari notasi meskipun .
  • Dalam kasus khusus bahwa adalah grup simetrik derajat adalah hal yang umum dalam literatur untuk mengasumsikannya (dengan tindakan alami ) dan kemudian hilangkan dari notasi. Yaitu, biasanya menunjukkan bukan hasilkali karangan bunga beraturan . Dalam kasus pertama, grup basisnya adalah hasilkali dari salinan dari , dalam kasus terakhirnya adalah hasilkali dari salinan dari (dimana melambangkan faktorial).

Sifat[sunting | sunting sumber]

Perjanjian hasilkali karangan bunga yang tidak terbatas dan terbatas pada terhingga [sunting | sunting sumber]

Karena hasilkali langsung hingga adalah sama dengan jumlah langsung grup hingga, ini mengikuti bahwa hasilkali karangan bunga tak terbatas dan terbatas setuju jika himpunan- dari terbatas. Khususnya, ini benar ketika .

Subgrup[sunting | sunting sumber]

selalu merupakan subgrup dari .

Kekardinalan[sunting | sunting sumber]

Jika , dan adalah terhingga, maka

.[1]

Teorema pembenaman semesta[sunting | sunting sumber]

Jika adalah ekstensi dari oleh , maka terdapat subgrup hasilkali karangan bunga tak terbatas yang isomorfik dengan.[2] Ini juga dikenal sebagai teorema pembenaman Krasner–Kaloujnine. Teorema Krohn–Rhodes melibatkan apa yang pada dasarnya setara dengan semigrup ini.[3]

Tindakan kanonik hasilkali karangan bunga[sunting | sunting sumber]

Jika grup bertindak pada himpunan , maka ada dua cara kanonik untuk membangun himpunan dari dan yang mana (and therefore also A wrΩ H) can act.

  • Tindakan hasilkali karangan bunga takprimitif pada Λ × Ω.
Jika ((aω),h) ∈ A WrΩ H and (λ,ω′) ∈ Λ × Ω, then
  • Tindakan hasilkali karangan bunga primitif di ΛΩ.
Elemen pada Λ Ω adalah urutan (λω) diindeks dari himpunan H Ω. Diberikan sebuah elemen ((aω), h) ∈ A WrΩ H operasinya pada (λω) ∈ ΛΩ is given by

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, p. 172 (1995)
  2. ^ M. Krasner and L. Kaloujnine, "Produit complet des groupes de permutations et le problème d'extension de groupes III", Acta Sci. Math. Szeged 14, pp. 69–82 (1951)
  3. ^ J D P Meldrum (1995). Wreath Products of Groups and Semigroups. Longman [UK] / Wiley [US]. hlm. ix. ISBN 978-0-582-02693-3. 

Pranala luar[sunting | sunting sumber]