Persegi Weda

Dalam matematika India, persegi Weda adalah variasi dari tabel perkalian 9 × 9 khas, di mana entri pada setiap sel merupakan akar digital dari hasil kali antara judul kolom dan baris — dengan kata lain, setiap sel berisi sisa ketika hasil kali antara judul baris dan kolom dibagi dengan 9 (dengan sisa 0 direpresentasikan oleh angka 9). Berbagai pola dan simetri geometris dapat diamati dalam persegi Weda, beberapa di antaranya dapat ditemukan dalam seni Islam tradisional.

Menyoroti angka-angka tertentu dalam persegi Weda menampilkan bentuk-bentuk khas yang masing-masing memiliki semacam simetri refleksi.

$\circ$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	1	3	5	7	9
3	3	6	9	3	6	9	3	6	9
4	4	8	3	7	2	6	1	5	9
5	5	1	6	2	7	3	8	4	9
6	6	3	9	6	3	9	6	3	9
7	7	5	3	1	8	6	4	2	9
8	8	7	6	5	4	3	2	1	9
9	9	9	9	9	9	9	9	9	9

Properti aljabar

Persegi Weda dapat dipandang sebagai tabel perkalian dari monoid $((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})$ di mana $\mathbb {Z} /9\mathbb {Z}$ adalah himpunan bilangan bulat positif yang dipartisi oleh kelas sisa modulo sembilan. (operator $\circ$ mengacu pada "perkalian" abstrak antara elemen-elemen monoid ini).

Jika $a,b$ adalah elemen dari $((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})$, maka $a\circ b$ dapat didefinisikan sebagai $(a\times b){\bmod {9}}$, di mana elemen 9 merupakan representasi dari kelas sisa 0, bukan 0 sebagaimana biasanya.

Struktur ini tidak membentuk suatu grup karena tidak setiap elemen bukan nol memiliki elemen invers; misalnya $6\circ 3=9$ tetapi tidak ada $a\in \{1,\cdots ,9\}$ sedemikian hingga $9\circ a=6.$

Properti subset

Subset $\{1,2,4,5,7,8\}$ membentuk sebuah grup siklik dengan 2 sebagai salah satu pilihan pembangkit — ini merupakan grup unit multiplikatif dalam gelanggang $\mathbb {Z} /9\mathbb {Z}$. Setiap kolom dan baris mencakup keenam angka tersebut — sehingga subset ini membentuk sebuah persegi Latin.

$\circ$	1	2	4	5	7	8
1	1	2	4	5	7	8
2	2	4	8	1	5	7
4	4	8	7	2	1	5
5	5	1	2	7	8	4
7	7	5	1	8	4	2
8	8	7	5	4	2	1

Dari dua dimensi ke tiga dimensi

Irisan dari persegi Weda (gambar atas), dan proyeksi trimetrik dari sel dengan akar digital tertentu d (gambar bawah).

Sebuah persegi Weda didefinisikan sebagai susunan setiap akar digital dalam tabel perkalian tiga dimensi.

Persegi Weda dengan basis lebih tinggi

Persegi Weda dalam basis 100 (kiri) dan 1000 (kanan)

Persegi Weda dengan basis bilangan (atau basis radix) yang lebih tinggi dapat dihitung untuk menganalisis pola simetri yang muncul. Menggunakan perhitungan di atas, $(a\times b){\bmod {({\textrm {basis}}-1)}}$. Gambar dalam bagian ini diberi kode warna sehingga akar digital 1 ditampilkan gelap dan akar digital (basis − 1) ditampilkan terang.

Lihat pula

• Persegi Latin
• Aritmetika modular
• Monoid

Bacaan lanjutan

• Deskins, W.E. (1996), Abstract Algebra, New York: Dover, hlm. 162–167, ISBN 0-486-68888-7
• Pritchard, Chris (2003), The Changing Shape of Geometry: Celebrating a Century of Geometry and Geometry Teaching, Great Britain: Cambridge University Press, hlm. 119–122, ISBN 0-521-53162-4
• Ghannam, Talal (2012), The Mystery of Numbers: Revealed Through Their Digital Root, CreateSpace Publications, hlm. 68–73, ISBN 978-1-4776-7841-1
• Teknomo, Kadi (2005), Digital Root: Vedic Square
• Chia-Yu, Lin (2016), Digital Root Patterns of Three-Dimensional Space, Recreational Mathematics Magazine, hlm. 9–31, ISSN 2182-1976