Persamaan Diofantin

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Menemukan semua segitiga siku-siku dengan panjang sisi bilangan bulat setara dengan menyelesaikan persamaan Diofantin a2 + b2 = c2.

Dalam matematika, Persamaan Diofantin adalah persamaan polinomial, biasanya dalam dua atau lebih tidak diketahui, sedemikian rupa sehingga hanya bilangan bulat dari nol bilangan solusi yang dapat dicari atau dipelajari (solusi bilangan bulat sedemikian rupa sehingga semua yang tidak diketahui mengambil nilai bilangan bulat). Sebuah Persamaan Diofantin linear menyamakan jumlah dari dua atau lebih monomial, masing-masing derajat 1 di salah satu variabel, dengan sebuah konstanta. Sebuah Persamaan Diofantin eksponensial adalah persamaan yang eksponennya tidak diketahui.

Masalah Diofantin memiliki persamaan yang lebih sedikit daripada variabel yang tidak diketahui dan melibatkan pencarian bilangan bulat yang bekerja dengan benar untuk semua persamaan. Dalam bahasa yang lebih teknis, mereka mendefinisikan kurva aljabar, permukaan aljabar, atau objek yang lebih umum, dan menanyakan tentang titik kisi ​​di atasnya.

Kata Diofantin mengacu pada matematikawan Helenistik dari abad ke-3, Diophantus dari Alexandria, yang mempelajari persamaan tersebut dan merupakan salah satu ahli matematika pertama yang memperkenalkan simbolisme ke dalam aljabar. Studi matematika tentang masalah Diophantine yang dimulai Diophantus sekarang disebut Analisis Diofantin.

Sementara persamaan individu menyajikan semacam teka-teki dan telah dipertimbangkan sepanjang sejarah, perumusan teori umum persamaan Diophantine (di luar teori bentuk kuadrat) adalah pencapaian abad kedua puluh.

Contoh[sunting | sunting sumber]

Dalam Persamaan Diofantin berikut ini, w, x, y, dan z adalah yang tidak diketahui dan huruf lainnya diberi konstanta:

ax + by = 1 Ini adalah persamaan Diofantin linear.
w3 + x3 = y3 + z3 Solusi nontrivial terkecil dalam bilangan bulat positif adalah 123 + 13 = 93 + 103 = 1729. Ini terkenal diberikan sebagai properti bukti tahun 1729, Bilangan taksi atau juga dinamai Bilangan Hardy–Ramanujan) oleh Ramanujan kepada Hardy saat bertemu pada tahun 1917.[1] Ada banyak solusi nontrivial yang tak terhingga banyaknya.[2]
xn + yn = zn Untuk n = 2 ada banyak solusi yang tak hingga (x, y, z): yang tripel Pythagoras. Untuk nilai integer yang lebih besar dari n, Teorema Terakhir Fermat (awalnya diklaim pada tahun 1637 oleh Fermat dan dibuktikan oleh Andrew Wiles pada tahun 1995[3]) menyatakan tidak ada solusi bilangan bulat positif (x, y, z).
x2ny2 = ±1 Ini adalah Persamaan Pell, yang diambil dari nama ahli matematika Inggris John Pell. Ini dipelajari oleh Brahmagupta pada abad ke-7, serta oleh Fermat pada abad ke-17.
4n = 1x + 1y + 1z Dugaan Erdős–Straus menyatakan bahwa, untuk setiap bilangan bulat positif n ≥ 2, ada solusi di x, y, dan z, semua sebagai bilangan bulat positif. Meskipun biasanya tidak dinyatakan dalam bentuk polinomial, contoh ini ekivalen dengan persamaan polinomial 4xyz = yzn + xzn + xyn = n(yz + xz + xy).
x4 + y4 + z4 = w4 Dugaan salah oleh Euler tidak memiliki solusi nontrivial. Dibuktikan oleh Elkies memiliki solusi nontrivial yang tak terhingga banyaknya, dengan pencarian komputer oleh Frye untuk menentukan solusi nontrivial terkecil.[4]

Persamaan Diofantin Linear[sunting | sunting sumber]

Satu persamaan[sunting | sunting sumber]

Persamaan Diofantin linear paling sederhana mengambil bentuk ax + by = c, dimana a, b dan c diberi bilangan bulat. Solusi dijelaskan oleh teorema berikut:

Persamaan Diofantin memiliki solusi (di mana x dan y adalah bilangan bulat) jika dan hanya jika c adalah kelipatan dari pembagi persekutuan terbesar dari a dan b. Apalagi jika (x, y) adalah solusi, maka solusi lain memiliki alasan (x + kv, yku), dimana k adalah bilangan bulat arbitrer, dan u dan v adalah hasil dari a dan b (masing-masing) oleh pembagi persekutuan terbesar dari a dan b.

Bukti: Apalagi, jika d adalah pembagi persekutuan terbesar ini, identitas Bézout menegaskan keberadaan bilangan bulat e dan f termasuk bilangan bulat ae + bf = d. Bila c adalah kelipatan dari d, maka c = dh adalah untuk beberapa solusi bilangan bulat h, dan (eh, fh). Di sisi lain, untuk setiap pasangan bilangan bulat x dan y, pembagi persekutuan terbesar d untuk a dan b dan memisahkan ax + by. Jadi, jika persamaan memiliki solusi, maka c harus kelipatan d. kalau a = ud dan b = vd adalah bilangan bulat yang sudah lama untuk setiap solusi (x, y), kita memiliki

a(x + kv) + b(yku) = ax + by + k(avbu) = ax + by + k(udvvdu) = ax + by,

Bilangan tersebut menunjukkan (x + kv, yku) adalah bagian bilangan solusi lain. Akhirnya diberikan dua solusi yang sedemikian rupa ax1 + by1 = ax2 + by2 = c, maka kita dapat menyimpulkan bilangan bulat u(x2x1) + v(y2y1) = 0. As u dan v adalah koprima, lemma Euklidean menunjukkan itu v membagikan x2x1, dan demikian ada bilangan bulat k seperti bilangan x2x1 = kv dan y2y1 = −ku. Oleh sebab itu x2 = x1 + kv dan y2 = y1ku adalah bilangan yang melengkapi buktinya.

Teorema sisa Cina[sunting | sunting sumber]

Teorema sisa Cina adalah hal menjelaskan kelas penting dari sistem persamaan Diofantin linear: misalkan n1, …, nk yang berada k pairwise koprima merupakan bilangan bulat lebih besar dari satu, a1, …, ak be k sistem bilangan bulat sewenang-wenang, dan N maka bilangan bulat pada nilai produk adalah n1 ··· nk. Teorema sisa Cina menyatakan bahwa sistem Diofantin linear berikut memiliki tepat satu solusi (x, x1, …, xk) maka bilangan bulat nya adalah 0 ≤ x < N, dan bahwa solusi yang peroleh dengan menambahkan ke x dengan kelipatan N:

Sistem persamaan Diofantin linear[sunting | sunting sumber]

Secara lebih umum, setiap sistem persamaan Diofantin linear dapat diselesaikan dengan menghitung bentuk normal Smith dari matriksnya, dengan cara yang mirip dengan penggunaan bentuk eselon baris tereduksi untuk menyelesaikan sistem persamaan linear di atas sebuah medan. Menggunakan notasi matriks setiap sistem persamaan Diofantin linear dapat ditulis

AX = C,

dimana A adalah m × n matriks bilangan bulat, sedangkan X adalah n × 1 pada bilangan matriks kolom yang tidak diketahui dan C adalah m × 1 matriks kolom dari bilangan bulat.

Perhitungan bentuk normal Smith dari A menyediakan dua matriks unimodular (yaitu matriks yang dapat dibalik atas bilangan bulat dan memiliki ±1 sebagai determinan) U dan V dari masing-masing dimensi m × m dan n × n, sedemikian rupa sehingga matriks

B = [bi,j] = UAV

maka hal ini pada bilangan bulat bi,i adalah bilangan bukan nol untuk i tidak lebih besar dari beberapa bilangan bulat k, dan semua entri lainnya adalah nol. Sistem yang akan dipecahkan dengan demikian dapat ditulis ulang sebagai

B (V−1X) = UC. Pengalihan yi dari entri V−1X dan di dari D = UC, maka hal mengarah ke sistem
bi,iyi = di for 1 ≤ ik,
0 yi = di for k < in.

Sistem ini setara dengan yang diberikan dalam pengertian berikut: Matriks kolom bilangan bulat x adalah solusi dari sistem yang diberikan jika dan hanya jika x = Vy untuk beberapa matriks kolom bilangan bulat y such that By = D.

Oleh karena itu, sistem memiliki solusi jika dan hanya jika bi,i membagikan di for ik dan di = 0 untuk i > k. Jika kondisi ini terpenuhi, solusi dari sistem yang diberikan adalah

where hk+1, ..., hn adalah bilangan bulat acak.

Bentuk normal Hermite dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan Diofantin linear. Namun, bentuk normal Hermite tidak langsung memberikan solusi; untuk mendapatkan solusi dari bentuk normal Hermite, seseorang harus menyelesaikan beberapa persamaan linier secara berturut-turut. Namun demikian, Richard Zippel menulis bahwa bentuk normal Smith "lebih dari yang sebenarnya dibutuhkan untuk menyelesaikan persamaan diophantine linear. Daripada mereduksi persamaan menjadi bentuk diagonal, kita hanya perlu membuatnya menjadi segitiga, yang disebut bentuk normal pertapa. Bentuk normal Hermite jauh lebih mudah dihitung daripada bentuk normal Smith."[5]

Pemrograman linear pada bilangan bulat berarti menemukan beberapa solusi bilangan bulat (optimal dalam beberapa hal) dari sistem linier yang juga mencakup pertidaksamaan. Jadi sistem persamaan Diophantine linier adalah dasar dalam konteks ini, dan buku teks tentang pemrograman integer biasanya membahas sistem persamaan Diofantin linear.[6]

Persamaan homogen[sunting | sunting sumber]

Persamaan Diofantin homogen adalah persamaan Diofantin yang didefinisikan oleh sebuah polinomial homogen. Persamaan tipikal tersebut adalah persamaan dari Teorema terakhir Fermat

Sebagai polinomial homogen di n indeterminates mendefinisikan hiperpermukaan dalam ruang proyektif dimensi n – 1, menyelesaikan persamaan Diophantine homogen sama dengan mencari titik rasional dari hiperpermukaan proyektif.

Memecahkan persamaan Diofantin yang homogen umumnya merupakan masalah yang sangat sulit, bahkan dalam kasus non-sepele yang paling sederhana dari tiga faktor tak tentu (dalam kasus dua tak tentu, masalahnya setara dengan pengujian jika bilangan rasional adalah pangkat d dari bilangan rasional lain). Saksi dari kesulitan soal adalah Teorema Terakhir Fermat (untuk d > 2, tidak ada solusi integer dari persamaan di atas), yang membutuhkan lebih dari tiga abad upaya matematikawan untuk memecahkannya.

Untuk derajat yang lebih tinggi dari tiga, hasil yang paling dikenal adalah teorema yang menyatakan bahwa tidak ada solusi (misalnya Teorema terakhir Fermat) atau bahwa jumlah penyelesaiannya terbatas (misalnya Teorema Falting).

Untuk tingkat tiga, ada metode penyelesaian umum, yang bekerja pada hampir semua persamaan yang ditemui dalam praktik, tetapi tidak ada algoritme diketahui yang berfungsi untuk setiap persamaan kubik.[butuh rujukan]

Analisis Diofantin[sunting | sunting sumber]

Pertanyaan khas[sunting | sunting sumber]

Pertanyaan yang diajukan dalam analisis Diofantin meliputi:

  1. Apakah ada solusi?
  2. Apakah ada solusi selain beberapa yang mudah ditemukan dengan inspeksi?
  3. Apakah ada banyak solusi yang pasti atau tidak terbatas?
  4. Dapatkah semua solusi ditemukan dalam teori?
  5. Dapatkah seseorang dalam praktiknya menghitung daftar lengkap solusi?

Masalah tradisional ini sering tidak terpecahkan selama berabad-abad, dan ahli matematika secara bertahap mulai memahami kedalamannya (dalam beberapa kasus), daripada memperlakukannya sebagai teka-teki.

Masalah tipikal[sunting | sunting sumber]

Informasi yang diberikan adalah bahwa usia seorang ayah adalah 1 kurang dari dua kali lipat dari putranya, dan itu digit AB yang menyusun usia ayah dibalik dengan usia anak laki-laki (misalkan BA). Maka hal ini mengarah ke persamaan 10A + B = 2(10B + A) − 1, jadi 19B − 8A = 1. Inspeksi memberikan hasil A = 7, B = 3, dan dengan demikian AB sama dengan 73 tahun dan BA sama dengan 37 tahun. Seseorang dapat dengan mudah menunjukkan bahwa tidak ada solusi lain dengan A dan B bilangan bulat positif kurang dari 10.

Banyak teka-teki terkenal di bidang matematika rekreasional yang mengarah pada persamaan diophantine. Contohnya termasuk Masalah Cannonball, Masalah ternak Archimedes dan Monyet dan kelapa.

Persamaan Diofantin Eksponensial[sunting | sunting sumber]

Jika persamaan Diophantine memiliki variabel tambahan atau variabel yang muncul sebagai eksponen, itu adalah persamaan Diophantine eksponensial. Contohnya termasuk persamaan Ramanujan–Nagell, 2n − 7 = x2, dan persamaan konjektur Fermat-Catalan dan konjektur Beal, am + bn = ck dengan batasan ketidaksetaraan pada eksponen. Teori umum untuk persamaan semacam itu tidak tersedia; kasus-kasus tertentu seperti konjektur Catalan telah ditangani. Namun, mayoritas diselesaikan melalui metode ad hoc seperti Teorema Størmer atau bahkan coba-coba.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

  • Algoritme Kuṭṭaka, Aryabhata untuk menyelesaikan persamaan Diofantin linear dalam dua hal yang tidak diketahui

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ "Quotations by Hardy". Gap.dcs.st-and.ac.uk. Diarsipkan dari versi asli tanggal 16 July 2012. Diakses tanggal 20 November 2012. 
  2. ^ Everest, G.; Ward, Thomas (2006), An Introduction to Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 232, Springer, hlm. 117, ISBN 9781846280443 .
  3. ^ Wiles, Andrew (1995). "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem" (PDF). Annals of Mathematics. Annals of Mathematics. 141 (3): 443–551. doi:10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. 
  4. ^ Noam Elkies (1988). "On A4 + B4 + C4 = D4" (PDF). Mathematics of Computation. 51 (184): 825–835. doi:10.2307/2008781. JSTOR 2008781. MR 0930224. 
  5. ^ Richard Zippel (1993). Effective Polynomial Computation. Springer Science & Business Media. hlm. 50. ISBN 978-0-7923-9375-7. 
  6. ^ Alexander Bockmayr, Volker Weispfenning (2001). "Solving Numerical Constraints". Dalam John Alan Robinson and Andrei Voronkov. Handbook of Automated Reasoning Volume I. Elsevier and MIT Press. hlm. 779. ISBN 0-444-82949-0 (Elsevier) ISBN 0-262-18221-1 (MIT Press). 

Referensi[sunting | sunting sumber]

Bacaan lebih lanjut[sunting | sunting sumber]

  • Bashmakova, Izabella G. "Diophante et Fermat," Revue d'Histoire des Sciences 19 (1966), pp. 289–306
  • Bashmakova, Izabella G. Diophantus and Diophantine Equations. Moscow: Nauka 1972 [in Russian]. German translation: Diophant und diophantische Gleichungen. Birkhauser, Basel/ Stuttgart, 1974. English translation: Diophantus and Diophantine Equations. Translated by Abe Shenitzer with the editorial assistance of Hardy Grant and updated by Joseph Silverman. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997.
  • Bashmakova, Izabella G. “Arithmetic of Algebraic Curves from Diophantus to PoincaréHistoria Mathematica 8 (1981), 393-416.
  • Bashmakova, Izabella G., Slavutin, E.I. History of Diophantine Analysis from Diophantus to Fermat. Moscow: Nauka 1984 [in Russian].
  • Bashmakova, Izabella G. “Diophantine Equations and the Evolution of Algebra,” American Mathematical Society Translations 147 (2), 1990, pp. 85–100. Translated by A. Shenitzer and H. Grant.
  • Dickson, Leonard Eugene (2005) [1920]. History of the Theory of Numbers. Volume II: Diophantine analysis. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-44233-4. MR 0245500. Zbl 1214.11002. 
  • Rashed, Roshdi, Houzel, Christian. Les Arithmétiques de Diophante : Lecture historique et mathématique, Berlin, New York : Walter de Gruyter, 2013.
  • Rashed, Roshdi, Histoire de l’analyse diophantienne classique : D’Abū Kāmil à Fermat, Berlin, New York : Walter de Gruyter.

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

Templat:Matematika Yunani kuno