Penyelesaian persamaan

{\overset {}{\underset {}{x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}

Rumus kuadrat, solusi simbolik dari persamaan kuadrat

ax 2 + bx + c = 0

Dalam matematika, penyelesaian persamaan atau menyelesaikan persamaan berarti menemukan solusinya, yang merupakan nilai (angka, fungsi, himpunan, dsb.) yang memenuhi syarat yang dinyatakan oleh persamaan, yang umumnya terdiri dari dua ekspresi yang dihubungkan dengan tanda sama dengan. Ketika mencari solusi, satu atau lebih variabel ditetapkan sebagai variabel yang tidak diketahui. Penyelesaian atau solusi adalah pemberian nilai kepada variabel yang tidak diketahui yang menjadikan persamaan dalam persamaan tersebut benar. Dengan kata lain, solusi adalah nilai atau kumpulan nilai (satu untuk setiap variabel yang tidak diketahui) sehingga, ketika disubstitusikan untuk variabel yang tidak diketahui, persamaan tersebut menjadi persamaan. Solusi persamaan sering disebut akar persamaan, khususnya, tetapi tidak hanya untuk, persamaan polinomial. Himpunan semua solusi persamaan adalah himpunan penyelesaiannya.

Persamaan dapat diselesaikan secara numerik atau simbolik. Penyelesaian persamaan secara numerik berarti bahwa hanya angka yang diterima sebagai solusi. Penyelesaian persamaan secara simbolik berarti bahwa ekspresi dapat digunakan untuk merepresentasikan solusi.

Misalnya, persamaan $x + y = 2 x - 1$ dipecahkan untuk $x$ yang tidak diketahui dengan ekspresi $x = y + 1$ , karena mensubstitusikan $y + 1$ untuk $x$ dalam persamaan menghasilkan $(y + 1) + y = 2(y + 1) - 1$ , pernyataan tersebut benar. Dimungkinkan juga untuk menganggap variabel $y$ sebagai yang tidak diketahui, dan kemudian persamaan dipecahkan dengan $y = x - 1$ . Atau $x$ dan $y$ keduanya dapat diperlakukan sebagai yang tidak diketahui, dan kemudian ada banyak solusi untuk persamaan tersebut; solusi simboliknya adalah $(x, y) = (a + 1, a)$ , di mana variabel $a$ dapat mengambil nilai apa pun. Membuat solusi simbolik dengan angka-angka tertentu menghasilkan solusi numerik; misalnya, $a = 0$ menghasilkan $(x, y) = (1, 0)$ (yaitu, $x = 1, y = 0$ ), dan $a = 1$ menghasilkan $(x, y) = (2, 1)$ .

Perbedaan antara variabel yang diketahui dan variabel yang tidak diketahui umumnya dibuat dalam pernyataan masalah, dengan frasa seperti "persamaan dalam $x$ dan $y$ ", atau "selesaikan untuk $x$ dan $y$ ", yang menunjukkan variabel yang tidak diketahui, di sini $x$ dan $y$ . Namun, umumnya $x$ , $y$ , $z$ , ... dicadangkan untuk menunjukkan variabel yang tidak diketahui, dan menggunakan $a$ , $b$ , $c$ , ... untuk menunjukkan variabel yang diketahui, yang sering disebut parameter. Ini biasanya terjadi ketika mempertimbangkan persamaan polinomial, seperti persamaan kuadrat. Namun, untuk beberapa masalah, semua variabel dapat berperan sebagai salah satu dari keduanya.

Tergantung pada konteksnya, penyelesaian persamaan dapat berupa pencarian solusi apa pun (cukup dengan menemukan satu solusi), semua solusi, atau solusi yang memenuhi sifat-sifat lebih lanjut, seperti termasuk dalam interval tertentu. Ketika tugasnya adalah menemukan solusi yang terbaik berdasarkan beberapa kriteria, ini adalah masalah optimasi. Memecahkan masalah optimasi pada umumnya tidak disebut sebagai "penyelesaian persamaan", karena, pada umumnya, metode penyelesaian dimulai dari solusi tertentu untuk menemukan solusi yang lebih baik, dan mengulangi proses tersebut hingga akhirnya menemukan solusi terbaik.

Selayang pandang

Satu bentuk umum dari persamaan adalah sebagai berikut.

f\left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)=c

dengan $f$ adalah fungsi, $x 1, ..., x n$ adalah variabel yang tidak diketahui, dan $c$ adalah konstanta. Solusinya adalah elemen prabayangan fungsi (fiber) dari:

f^{-1}(c)={\bigl \{}(a_{1},\dots ,a_{n})\in D\mid f\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)=c{\bigr \}},

dengan $D$ adalah ranah dari fungsi $f$ . Himpunan penyelesaian dapat berupa himpunan kosong (tidak ada penyelesaian), sebuah himpunan tunggal [en] (hanya terdapat satu penyelesaian), hingga, atau takhingga (terdapat penyelesaian dengan jumlah takhingga).

Misalnya, sebuah persamaan seperti

3x+2y=21z,

dengan $x, y, dan z$ adalah variabel yang tidak diketahui. Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan mengurangi kedua ruas persamaan dengan $21 z$ untuk mendapatkan:

3x+2y-21z=0

Pada kasus ini, persamaan tersebut tidak hanya memiliki satu penyelesaian, tetapi himpunan penyelesaian yang berjumlah takhingga, yang dapat dituliskan dengan notasi ungkapan himpunan sebagai:

{\bigl \{}(x,y,z)\mid 3x+2y-21z=0{\bigr \}}.

Salah satu penyelesaiannya adalah $x = 0, y = 0, z = 0$ . Dua lainnya adalah $x = 3, y = 6, z = 1$ dan $x = 8, y = 9, z = 2$ . Terdapat bidang unik pada ruang tiga dimensi yang menyentuh tiga titik tersebut pada sistem koordinat tersebut. Setiap titik pada bidang tersebut adalah penyelesaian dari persamaan di atas.

Lihat pula

Solusi yang tidak relevan dan hilang
Persamaan simultan
Persamaan koefisien
Pemecahan persamaan geodesik
Penyatuan (ilmu komputer) — memecahkan persamaan yang melibatkan ekspresi simbolik