Penutupan (matematika)

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Loncat ke navigasi Loncat ke pencarian

Himpunan adalah penutupan di bawah operasi jika kinerja operasi itu pada anggota himpunan selalu menghasilkan anggota dari. Misalnya, bilangan bulat positif ditutup dengan penjumlahan, tetapi tidak dalam pengurangan: bukan bilangan bulat positif meskipun 1 dan 2 adalah bilangan bulat positif. Contoh lain adalah himpunan yang hanya berisi nol, yang ditutup dengan penjumlahan, pengurangan dan perkalian (karena , , dan ).

Demikian pula, satu himpunan dikatakan sebagai penutupan di bawah kumpulan operasi jika ditutup di bawah setiap operasi secara individual.

Sifat dasar[sunting | sunting sumber]

Satu set yang ditutup di bawah operasi atau kumpulan operasi dikatakan memenuhi sifat penutupan. Seringkali properti penutupan diperkenalkan sebagai aksioma, yang kemudian biasanya disebut aksioma penutupan. Definisi teori himpunan modern biasanya mendefinisikan operasi sebagai peta antar himpunan, jadi menambahkan penutupan ke struktur sebagai aksioma adalah berlebihan; namun dalam praktiknya, operasi sering kali didefinisikan pada awalnya pada superset dari set tersebut dan bukti penutupan diperlukan untuk menetapkan bahwa operasi tersebut diterapkan pada pasangan dari himpunan tersebut hanya produk. Misalnya, himpunan bilangan bulat genap ditutup dengan penambahan, tetapi himpunan bilangan bulat ganjil tidak.

Ketika sebuah himpunan S tidak ditutup pada beberapa operasi, seseorang biasanya dapat menemukan himpunan terkecil yang berisi S yang ditutup. Himpunan tertutup terkecil ini disebut penutupan dari S (sehubungan dengan operasi ini).[1] Misalnya, penutupan di bawah pengurangan himpunan bilangan asli, dipandang sebagai bagian dari bilangan riil, adalah himpunan bilangan bulat. Contoh penting adalah penutupan topologi. Gagasan tentang closure digeneralisasikan oleh koneksi Galois, dan selanjutnya oleh monad.

Himpunan S harus menjadi bagian dari himpunan tertutup agar operator penutupan dapat ditentukan. Dalam contoh sebelumnya, penting bahwa real ditutup di bawah pengurangan; dalam domain pengurangan bilangan asli tidak selalu ditentukan.

Kedua penggunaan kata "penutupan" tidak perlu disamakan. Penggunaan sebelumnya mengacu pada properti yang ditutup, dan yang terakhir mengacu pada himpunan tertutup terkecil yang berisi salah satu yang mungkin bukan tertutup. Singkatnya, penutupan satu himpunan memenuhi properti penutupan.

Himpunan tertutup[sunting | sunting sumber]

Kumpulan ditutup di bawah operasi jika operasi mengembalikan anggota kumpulan saat dievaluasi pada anggota kumpulan.[2] Kadang-kadang persyaratan bahwa operasi dinilai dalam suatu himpunan dinyatakan secara eksplisit, yang dalam hal ini dikenal sebagai aksioma penutupan. Misalnya, seseorang dapat mendefinisikan grup sebagai himpunan dengan operator produk biner yang mematuhi beberapa aksioma, termasuk aksioma bahwa produk dari dua elemen grup adalah agai. Namun definisi modern dari sebuah operasi membuat aksioma ini menjadi berlebihan; sebuah n-ari operasi pada S hanyalah himpunan bagian dari Sn+1. Menurut definisinya, operator pada himpunan tidak dapat memiliki nilai di luar himpunan.

Namun demikian, properti closure dari operator pada suatu himpunan masih memiliki beberapa kegunaan. Penutupan pada satu himpunan tidak selalu berarti penutupan pada semua himpunan bagian. Jadi subgrup dari grup adalah himpunan bagian di mana produk biner dan operasi unary dari inversi memenuhi aksioma penutupan.

Operasi jenis yang berbeda adalah menemukan titik batas dari himpunan bagian dari ruang topologi. Himpunan yang ditutup di bawah operasi ini biasanya disebut sebagai himpunan tertutup dalam konteks topologi. Tanpa kualifikasi lebih lanjut, frasa tersebut biasanya berarti tertutup dalam pengertian ini. Interval tertutup seperti [1,2] = {x : 1 ≤ x ≤ 2} ditutup dalam pengertian ini.

Himpunan bagian dari himpunan yang diurutkan sebagian adalah 'himpunan tertutup ke bawah' (juga disebut himpunan bawah) jika untuk setiap elemen dari himpunan tersebut, all smaller elements are also in the subset. Ini berlaku misalnya untuk interval nyata (−∞, p) dan (−∞, p], dan untuk nomor urut p direpresentasikan sebagai interval [0, p). Setiap himpunan bilangan ordinal tertutup ke bawah dengan sendirinya merupakan bilangan ordinal. Himpunan tertutup ke atas (juga disebut set atas) didefinisikan dengan cara yang sama.

Contoh[sunting | sunting sumber]

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Set Closure". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-07-25. Penutupan himpunan A adalah himpunan tertutup terkecil yang mengandung A. 
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Set Closure". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-07-25. Himpunan S dan operator biner * dikatakan menunjukkan penutupan jika menerapkan operator biner ke dua elemen S mengembalikan nilai yang merupakan anggota S. 
  3. ^ a b Weisstein, Eric W. "Transitive Closure". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-07-25. 
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Algebraic Closure". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-07-25. 
  5. ^ Bernstein, Dennis S. (2005). Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas with Application to Linear Systems Theory (dalam bahasa Inggris). Princeton University Press. hlm. 25. ISBN 978-0-691-11802-4. ...cembung lambung S, dilambangkan dengan coS, adalah himpunan cembung terkecil yang berisi S.