Penutupan (matematika)

Untuk kegunaan lain, lihat Penutupan (disambiguasi).

Himpunan adalah penutupan di bawah operasi jika kinerja operasi itu pada anggota himpunan selalu menghasilkan anggota dari. Misalnya, bilangan bulat positif ditutup dengan penjumlahan, tetapi tidak dalam pengurangan: $1-2$ bukan bilangan bulat positif meskipun 1 dan 2 adalah bilangan bulat positif. Contoh lain adalah himpunan yang hanya berisi nol, yang ditutup dengan penjumlahan, pengurangan dan perkalian (karena $0+0=0$, $0-0=0$, dan $0\times {0}=0$).

Demikian pula, satu himpunan dikatakan sebagai penutupan di bawah kumpulan operasi jika ditutup di bawah setiap operasi secara individual.

Sifat dasar

Satu set yang ditutup di bawah operasi atau kumpulan operasi dikatakan memenuhi sifat penutupan. Seringkali properti penutupan diperkenalkan sebagai aksioma, yang kemudian biasanya disebut aksioma penutupan. Definisi teori himpunan modern biasanya mendefinisikan operasi sebagai peta antar himpunan, jadi menambahkan penutupan ke struktur sebagai aksioma adalah berlebihan; namun dalam praktiknya, operasi sering kali didefinisikan pada awalnya pada superset dari set tersebut dan bukti penutupan diperlukan untuk menetapkan bahwa operasi tersebut diterapkan pada pasangan dari himpunan tersebut hanya produk. Misalnya, himpunan bilangan bulat genap ditutup dengan penambahan, tetapi himpunan bilangan bulat ganjil tidak.

Ketika sebuah himpunan S tidak ditutup pada beberapa operasi, seseorang biasanya dapat menemukan himpunan terkecil yang berisi S yang ditutup. Himpunan tertutup terkecil ini disebut penutupan dari S (sehubungan dengan operasi ini). Misalnya, penutupan di bawah pengurangan himpunan bilangan asli, dipandang sebagai bagian dari bilangan riil, adalah himpunan bilangan bulat. Contoh penting adalah penutupan topologi. Gagasan tentang closure digeneralisasikan oleh koneksi Galois, dan selanjutnya oleh monad.

Himpunan S harus menjadi bagian dari himpunan tertutup agar operator penutupan dapat ditentukan. Dalam contoh sebelumnya, penting bahwa real ditutup di bawah pengurangan; dalam domain pengurangan bilangan asli tidak selalu ditentukan.

Kedua penggunaan kata "penutupan" tidak perlu disamakan. Penggunaan sebelumnya mengacu pada properti yang ditutup, dan yang terakhir mengacu pada himpunan tertutup terkecil yang berisi salah satu yang mungkin bukan tertutup. Singkatnya, penutupan satu himpunan memenuhi properti penutupan.

Himpunan tertutup

Kumpulan ditutup di bawah operasi jika operasi mengembalikan anggota kumpulan saat dievaluasi pada anggota kumpulan. Kadang-kadang persyaratan bahwa operasi dinilai dalam suatu himpunan dinyatakan secara eksplisit, yang dalam hal ini dikenal sebagai aksioma penutupan. Misalnya, seseorang dapat mendefinisikan grup sebagai himpunan dengan operator produk biner yang mematuhi beberapa aksioma, termasuk aksioma bahwa produk dari dua elemen grup adalah agai. Namun definisi modern dari sebuah operasi membuat aksioma ini menjadi berlebihan; sebuah n-ari operasi pada S hanyalah himpunan bagian dari Sⁿ⁺¹. Menurut definisinya, operator pada himpunan tidak dapat memiliki nilai di luar himpunan.

Namun demikian, properti closure dari operator pada suatu himpunan masih memiliki beberapa kegunaan. Penutupan pada satu himpunan tidak selalu berarti penutupan pada semua himpunan bagian. Jadi subgrup dari grup adalah himpunan bagian di mana produk biner dan operasi unary dari inversi memenuhi aksioma penutupan.

Operasi jenis yang berbeda adalah menemukan titik batas dari himpunan bagian dari ruang topologi. Himpunan yang ditutup di bawah operasi ini biasanya disebut sebagai himpunan tertutup dalam konteks topologi. Tanpa kualifikasi lebih lanjut, frasa tersebut biasanya berarti tertutup dalam pengertian ini. Interval tertutup seperti [1,2] = {x : 1 ≤ x ≤ 2} ditutup dalam pengertian ini.

Himpunan bagian dari himpunan yang diurutkan sebagian adalah 'himpunan tertutup ke bawah' (juga disebut himpunan bawah) jika untuk setiap elemen dari himpunan tersebut, all smaller elements are also in the subset. Ini berlaku misalnya untuk interval nyata (−∞, p) dan (−∞, p], dan untuk nomor urut p direpresentasikan sebagai interval [0, p). Setiap himpunan bilangan ordinal tertutup ke bawah dengan sendirinya merupakan bilangan ordinal. Himpunan tertutup ke atas (juga disebut set atas) didefinisikan dengan cara yang sama.

Contoh

• Di topologi dan cabang terkait, operasi yang relevan mengambil batasan. Penutupan topologi dari himpunan adalah operator penutupan yang sesuai. Aksioma penutupan Kuratowski mencirikan operator ini.
• Dalam aljabar linear, rentang linear dari himpunan X vektor adalah penutupan dari himpunan; itu adalah bagian terkecil dari ruang vektor yang menyertakan X dan ditutup saat pengoperasian kombinasi linear. Bagian ini adalah subruang.
• Dalam teori matroid, penutupan X merupakan superset terbesar dari X yang memiliki rank sama dengan X.
• Dalam teori himpunan, penutupan transitif dari himpunan.
• Dalam teori himpunan, penutupan transitif dari relasi biner.
• Dalam aljabar, penutupan aljabar dari bidang.
• Dalam aljabar komutatif, operasi penutupan untuk ideal, seperti penutupan integral dan penutupan ketat.
• Dalam geometri, convex hull dari himpunan titik S adalah himpunan konveks terkecil di mana S adalah himpunan bagian.
• Dalam bahasa formal, Penutupan Kleene dari suatu bahasa dapat dijelaskan sebagai kumpulan string yang dapat dibuat dengan menggabungkan nol atau lebih pita dari bahasa tersebut.
• Dalam teori grup, penutupan konjugasi atau penutupan normal dari himpunan elemen grup adalah subgrup normal terkecil yang berisi himpunan tersebut.
• Dalam analisis matematika dan dalam teori probabilitas, penutupan kumpulan himpunan bagian X di bawah terhitung banyak operasi himpunan disebut aljabar sigma

Lihat pula

• Himpunan terbuka
• Himpunan Clopen

Referensi

• (Inggris) Eric W. Weisstein, Algebraic Closure di MathWorld.