Pecahan satuan

Pizza yang dipotong-dipotong. Setiap potongannya kira-kira 1/8 dari pizza itu

Pecahan satuan adalah suatu pecahan bernilai positif dengan sebuah bilangan merupakan penyebutnya, ${\textstyle {\frac {1}{n}}}$. Pecahan satuan merupakan invers perkalian dari pembilang pecahan, yang pastinya bilangan asli positif. Contohnya seperti 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, dan seterusnya. Sebagai ilustrasi, ketika suatu objek dibagi menjadi bagian yang sama, setiap bagian tersebut dapat digambarkan sebagai pecahan satu dari keseluruhan objek tersebut.

Mengalikan dua pecahan satuan menghasilkan pecahan satuan lain, tetapi hal ini tidak berlaku untuk operasi aritmetika. Dalam aritmetika modular, pecahan satuan dapat diubah menjadi bilangan cacah, yang memungkinkan pembagian modular berubah menjadi perkalian. Setiap bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai jumlah dari pecahan satuan yang berbeda, yang dikenal dengan sebutan pecahan Mesir berdasarkan pemakaiannya dalam matematika Mesir kuno. Banyak jumlah tak terhingga mengenai pecahan satuan menjadi sangat berguna dalam bidang matematika yang lain.

Dalam geometri, pecahan satuan digunakan untuk mengkarakteristik kelengkungan grup segitiga dan singgungan lingkaran Ford. Pecahan satuan umumnya digunakan dalam fair division, dan penerapan yang terkenal ini digunakan didunia pendidikan sebagai awal mula memahami pecahan-pecahan yang lain. Selain itu, pecahan satuan juga umum ditemukan dalam teori probabilitas karena principle of indifference. Penerapan lainnya juga ditemukan di dalam optimisasi kombinatorik serta analisis pola frekuensi di dalam rangkaian spektral hidrogen.

Arimetika

Pecahan satuan adalah bilangan rasional yang dapat dituliskan dalam bentuk$${\frac {1}{n}},$$yang disini $n$ adalah penyebut pecahan yang berupa bilangan asli positif. Pecahan satuan merupakan invers perkalian dari bilangan bulat positif. Ketika suatu objek dibagi menjadi $n$ bagian yang sama, setiap bagian itu menyatakan $1/n$ dari keseluruhan objek.

Aritmetika elementer

Ketika mengalikan sebarang dua pecahan satuan, menghasilkan pecahan satuan yang lain:$${\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.$$Akan tetapi, ini tidak berlaku untuk operasi penambahan, pengurangan, atau pembagian antara dua pecahan satuan. Sebab, hasilnya malah menjadi bukan pecahan satuan:$${\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}}$$

$${\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {y-x}{xy}}$$

$${\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.$$

Pada rumus terakhir, setiap pecahan dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua pecahan satuan.

Aritmetika modular

Dalam aritmetika modular, sebarang pecahan satuan dapat diubah menjadi bilangan cacah dengan menggunakan algoritma Euklides diperluas. Konversi ini digunakan untuk mengerjakan pembagian modular, yaitu ketika dibagi oleh $x$, modulo $y$, dapat diperlakukan dengan mengubah pecahan satuan $1/x$ menjadi bilangan cacah modulo $y$, lalu mengalikan bilangan itu.

Agar memahami lebih lanjut, misalkan $x$ relatif prima dengan $y$ (kalau tidak, pembagian oleh $x$ tidak dapat didefinisikan modulo $y$). Algoritma Euklides diperluas untuk faktor persekutuan terbesar dapat digunakan untuk mencari bilangan bulat $a$ dan $b$, sehingga identitas Bézout terpenuhi:$$\displaystyle ax+by=\gcd(x,y)=1.$$Dalam aritmetika modulo-$y$, suku $by$ dapat dieliminasi, yang merupakan nol modulo $y$.$$\displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y}}.$$Artinya, $a$ adalah invers modular $x$, bilangan yang ketika dikalikan oleh $x$ menghasilkan bilangan itu. Akibatnya, $$a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.$$Dengan demikian, pembagian oleh $x$ (modulo $y$) alih-alih dapat dikerjakan dengan mengalikan oleh bilangan bulat $a$.

Kombinasi

Penjumlahan terhingga

Setiap bilangan rasional positif dapat ditulis sebagai penjumlahan dari pecahan satuan yang berbeda, yang dilakukan dengan banyak cara. Sebagai contoh,

${\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.$

Penjumlahan-penjumlahan di atas dinamakan pecahan Mesir, sebab orang-orang Mesir kuno menggunakannya sebagai gagasan bilangan rasional lebih umum. Hingga sekarang, masih ada yang menganalisis metode yang digunakan oleh Mesir kuno untuk memilih representasi untuk bilangan rasional, dan kemudian menghitungnya dengan representasi yang dipilih. Topik mengenai pecahan Mesir juga masih menarik perhatian di dalam teori bilangan modern, seperti masalah Erdős–Graham dan konjektur Erdős–Straus yang melibatkan penjumlahan pecahan satuan, sama halnya dengan definisi dari bilangan harmonik Ore.

Pola segitiga sferis dengan simetri cerminan di sepanjang sisi segitiga. Pola cerminan sferis seperti pada gambar yang terdiri dari $2x$, $2y$, dan $2z$ segitiga di masing-masing titik sudut. Disini $x,y,z=2,3,5$ hanya ada ketika berlaku pertidaksamaan ${\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{z}}>1$.

Dalam teori grup geometri, grup segitiga diklasifikasi menjadi kasus Euklides, kasus sferis, dan kasus hiperbolik. Klasifikasi menjadi tiga kasus itu ditentukan oleh penjumlahan pecahan satuan yang masing-masing sama dengan satu, lebih besar daripada satu, atau lebih kecil daripada satu.

Deret tak terhingga

Banyak deret tak terhingga yang masih terkenal melibatkan pecahan satuan:

• Deret harmonik, deret yang melibatkan penjumlahan dari semua pecahan satuan positif. Hasil deret ini divergen, dan jumlah parsialnya$${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}$$hampir mendekati logaritma alami dari $n$ ditambah konstanta Euler–Mascheroni. Mengubah setiap operasi tanda penambahan dengan pengurangan secara bergantian menghasialkan deret harmonik selang-seling, yang hasilnya adalahlogaritma alami dari 2: $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.$$
• Rumus Leibniz untuk π adalah: $$1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}.$$
• Masalah Basel melibatkan concerns jumlah dari pecahan satuan yang dikuadratkan: $$1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$$Hal yang serupa untuk konstanta Apéry yang merupakan bilangan irasional didapatkan melalui penjumlahan pecahan satuan yang dipangkatkan dengan tiga.
• Deret geometrik biner ialah: $$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =2.$$

Matriks

Matriks Hilbert adalah matriks persegi yang elemen-elemennya pada antidiagonal ke-$i$ yang sama-sama bernilai pecahan satuan $1/i$. Artinya, matriks memiliki elemen$$B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1}}.$$Sebagai contoh, matriks$${\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\end{bmatrix}}$$adalah matriks Hilbert. Matriks ini memiliki sifat yang tidak biasa, bahwa semua elemen di dalam invers matriksnya adalah bilangan bulat. Sama halnya, Richardson (2001) mendefinisikan matriks yang elemen-elemennya adalah pecahan satuan yang penyebutnya merupakan bilangan Fibonacci: $$C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1}}},$$yang disini $F_{i}$ melambangkan bilangan Fibonacci ke-$i$ . Richardson menyebut matriks itu matriks Filbert, dan menyebutnya lagi bahwa matrik itu memiliki sifat yang sama karena memiliki inversnya yang berupa bilangan bulat.

Adjacency dan lingkaran Ford

Pecahan dengan lingkaran Ford bersinggungan yang berbeda berdasarkan pecahan satuan

Dua pecahan $a/b$ dan $c/d$ (dalam bentuk pecahan sederhananya) dikatakan adjacent apabila $$ad-bc=\pm 1,$$yang menyiratkan bahwa dua pecahan tersebut berbeda satu sama yang lain oleh suatu pecahan satuan: $$\left|{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}\right|={\frac {|ad-bc|}{bd}}={\frac {1}{bd}}.$$Sebagai contoh, ${\tfrac {1}{2}}$ dan ${\tfrac {3}{5}}$ saling adjacent, sebab $1\cdot 5-2\cdot 3=-1$ dan ${\tfrac {3}{5}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{10}}$. Akan tetapi, ada beberapa pasangan pecahan yang selisihnya pecahan satuan, tetapi tidak adjacent; sebagai contoh, ${\tfrac {1}{3}}$ dan ${\tfrac {2}{3}}$ berbeda, tetapi tidak adjacent, karena $ad-bc=3$.

Istilah ini diambil dari kajian lingkaran Ford, yang merupakan sistem lingkaran yang menyinggung garis bilangan pada titik yang dilabeli pecahan sekaligus memiliki pecahan dengan penyebut dikuadratkan sebagai diameter lingkaran. Pecahan $a/b$ dan $c/d$ dikatakan adjacent jika dan hanya jika lingkaran Ford adalah lingkaran yang saling bersinggungan.

Aplikasi

Pembagian yang adil dan pendidikan

Pecahan satuan sering kali diperkenalkan terlebih daulu di dalam dunia pendidikan, karena pecahan satuan dapat dijelaskan secara visual, yang menggambarkannya sebagai bagian yang sama dari secara keseluruhan. Contoh yang sering umum dipakai adalah ketika membagi makanan yang sama besar bagiannya kepada orang-orang lain, sekaligus sebagai latihan dalam mengerjakan konsep fair division. Contoh dari kedua hal tersebut merupakan cara mengajar murid-murid untuk memahami pecahan satuan

Peluang dan statistika

Dadu bermuka enam memiliki peluang 1/6 untuk setiap mata dadu yang muncul.

Dalam distribusi seragam mengenai ruang diskret, semua peluangnya adalah pecahan satuan yang sama. Menurut principle of indifference, peluang dari bentuk tersebut sering kali muncul dalam perhitungan statistik.

Peluang tak sama yang berkaitan dengan pecahan satuan juga ada di hukum Zipf. Hukum ini berbunyi, bahwa untuk setiap fenomena teramati yang melibatkan pemilihan item dari suatu barisan terurut, peluang bahwa item ke-$n$ yang terpilih sebanding dengan pecahan satuan $1/n$.

Optimisasi kombinatorik

Dalam kajian masalah optimisasi kombinatorik, masalah bin packing melibatkan barisan input dari item dengan ukuran yang berupa pecahan, yang mestinya diletakkan di dalam bin yang memiliki kapasitas (ukuran total dari item saat diletakkan ke dalam tiap bin) bernilai satu. Penelitian mengenai permasalahan ini meliputi kajian masalah bin packing yang restriktif, yang disini ukuran itemnya juga merupakan pecahan satuan.

Motivasi dari permasalahan ini adalah menjadikan uji kasus untuk metode bin packing yang lebih umum. Adapula yang melibatkan pinwheel scheduling, kumpulan pesan-pesan yang sama panjangnya mestinya tiap-tiap pesan disiarkan secara berulang pada jumlah kanal komunikasi yang terbatas, dengan tiap pesan memiliki delay maksimum di antara awal mulanya siaran yang berulang. Item yang delay-nya $k$ lebih besar panjang suatu pesan mestinya memenuhi pecahan setidaknya $1/k$ dari slot waktu pada kanal saat ditugaskan, supaya solusi masalah scheduling hanya berasal dari solusi untuk masalah bin packing yang kanalnya dinyatakan sebagai bin dan pecahan $1/k$ dinyatakan sebagai ukuran item.

Selain untuk masalah bin packing dengan sebarang ukuran item, permasalahan tersebut juga berguna untuk membulatkan tiap ukuran item hingga pecahan satuan besar selanjutnya, yang kemudian mengaplikasikan algoritma bin packing yang khusus untuk ukuran pecahan satuan. Terlebih lagi, metode harmonic bin packing berlaku untuk hal ini, yang kemudian mengepakkan setiap bin menggunakan item yang ukurannya berupa pecahan satuan yang hanya sekali dibulatkan.

Fisika

Rangkaian spektrum hidrogen pada skala logaritmik. Frekuensi dari sinar emisi sebanding dengan selisih pasangan pecahan satuan.

Menurut rumus Rydberg, aras energi foton dapat diserap atau dihasilkan atom hidrogen dihydrogen atom sebanding dengan selisih dari dua pecahan satuan. Penjelasan fenomena ini dapat dilihat pada model Bohr, yang menggambarkan aras energi dari orbit elektron di dalam atom hidrogen sebanding invers dengan pecahan satuan yang dikuadratkan, dan energi foton dikuantisasi menjadi selisih dua aras.

Arthur Eddington berpendapat bahwa konstanta struktur halus berupa pecahan satuan. Eddington awalnya mengira bahwa konstanta tersebut bernilai 1/136, yang kemudian mengubah teorinya menjadi 1/137. Akan tetapi, teorinya disangkal karena estimasi dari konstanta struktur hasil saat ini (hingga ke 6 digit di belakang) kira-kira bernilai 1/137,036.