Morfisma

Dalam matematika, morfisma (atau morfisme) adalah konsep teori kategori yang melakukan generalisasi pada peta dengan struktur terpelihara, seperti homomorfisme antara struktur aljabar, fungsi dari satu himpunan ke himpunan lain, dan fungsi kontinu antara ruang topologi. Meskipun banyak contoh morfisme ada pada peta dengan struktur terpelihara, morfisme tidak harus berupa peta, tetapi dapat disusun dalam cara yang mirip dengan komposisi fungsi .

Morfisme dan objek adalah bagian dari suatu kategori. Morfisme, juga disebut peta atau panah, menghubungkan dua objek yang disebut sumber dan target morfisme. Terdapat suatu operasi parsial yang berlaku pada suatu kategori dengan target objek pertama yang sama dengan sumber objek kedua yang sama yang disebut sebagai komposisi. Komposisi dari beberapa morfisme berperilaku seperti komposisi fungsi (komposisi bersifat asosiatif saat didefinisikan, dan keberadaan morfisme identitas untuk setiap objek).

Morfisme dan kategori sering muncul dalam banyak kajian matematika kontemporer. Awalnya, keduanya diperkenalkan untuk kajian aljabar homologi dan topologi aljabar. Morfisme dan kategori termasuk dalam teknik dasar teori skema Grothendieck, suatu proses generalisasi geometri aljabar yang berlaku juga pada teori bilangan aljabar .

Definisi

Kategori C terdiri atas dua kelas, satu kelas objek dan satu lagi kelas morfisme. Terdapat dua objek yang dihubungkan dengan tiap morfisme, sumber dan target. Suatu Morfisme f dari X ke Y apabila morfisme dengan sumber X memiliki target Y ; pada umumnya dinotasikan sebagai f : X → Y atau X f→ Y, notasi terakhir lebih cocok digunakan dalam diagram komutatif .

Dalam kategori umumnya, objek-objek adalah himpunan (seringkali memiliki beberapa struktur tambahan) dan morfisme adalah fungsi dari satu objek ke objek lainnya. Oleh karena itu, sumber dan target suatu morfisme sering disebut domain dan kodomain.

Morfisme memiliki operasi biner parsial, yang disebut komposisi . Komposisi dari dua morfisme f dan g didefinisikan secara tepat ketika target dari f adalah sumber dari g, dan dilambangkan g ∘ f (atau terkadang hanya gf ). Sumber g ∘ f adalah sumber f, dan target g ∘ f adalah target g . Komposisi tersebut memenuhi dua aksioma:

Sifat Identitas

Untuk setiap object X, terdapat suatu morfisme id_X : X → X yang disebut morfisme identitas pada X, sehingga untuk tiap morfisme f : A → B memiliki id_B ∘ f = f = f ∘ id_A.

Asosiatif

h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f berlaku saat seluruh komposisi didefinisikan, i.e. ketika target f merupakan sumber dari g, dan target dari g merupakan sumber dari h.

Untuk kategori konkret (kategori yang objeknya merupakan himpunan, mungkin dengan struktur tambahan, dan morfismenya merupakan fungsi dengan struktur terpelihara), morfisme identitas hanyalah fungsi identitas, dan komposisi hanyalah komposisi fungsi biasa.

Komposisi morfisme sering kali direpresentasikan dengan diagram komutatif . Misalnya,

Kumpulan semua morfisme dari X sampai Y dilambangkan dengan Hom_C(X, Y) atau cukup Hom(X, Y) dan disebut himpunan hom antara X dan Y . Beberapa penulis menuliskan Mor_C(X, Y), Mor(X, Y) atau C(X, Y) . Istilah hom-set tampaknya merupakan istilah yang keliru, karena kumpulan morfisme tidak harus berupa suatu himpunan; kategori di mana Hom(X, Y) merupakan himpunan untuk semua objek X dan Y disebut kecil lokal . Karena himpunan-hom mungkin bukan himpunan, sebagian orang lebih suka menggunakan istilah "kelas-hom"

Domain dan kodomain sebenarnya merupakan bagian dari informasi yang menentukan suatu morfisme. Misalnya, dalam kategori himpunan, di mana morfisme adalah fungsi, dua fungsi mungkin identik sebagai himpunan pasangan terurut (mungkin memiliki rentang yang sama), sementara memiliki kodomain yang berbeda. Kedua fungsi tersebut berbeda dari sudut pandang teori kategori. Oleh karena itu, banyak penulis yang mensyaratkan agar kelas-hom Hom(X, Y) harus terpisah . Dalam praktiknya, hal ini bukan masalah karena jika ketidakterhubungan ini tidak berlaku, hal itu dapat dipastikan dengan menambahkan domain dan kodomain ke morfisme (misalnya, sebagai komponen kedua dan ketiga dari tripel terurut).

Beberapa morfisme khusus

Monomorfisme dan epimorfisme

Suatu morfisme f : X → Y disebut monomorfisme jika f ∘ g₁ = f ∘ g₂ menyiratkan g₁ = g₂ untuk semua morfisme g ₁, g₂ : Z → X . Monomorfisme dapat disebut mono secara singkat, dan kita dapat menggunakan monik sebagai kata sifat. Morfisme f mempunyai invers kiri atau merupakan monomorfisme split jika ada morfisme g : Y → X sehingga g ∘ f = id_X . Oleh karena itu f ∘ g : Y → Y bersifat idempoten ; artinya, (f ∘ g)² = f ∘ (g ∘ f) ∘ g = f ∘ g . Invers kiri g juga disebut retraksi dari f .

Morfisme dengan invers kiri selalu merupakan monomorfisme, tetapi kebalikannya tidak berlaku secara umum; sebuah monomorfisme mungkin gagal memiliki invers kiri. Dalam kategori konkret, fungsi yang mempunyai invers kiri bersifat injektif . Jadi dalam kategori konkret, monomorfisme sering kali, tetapi tidak selalu, bersifat injektif. Kondisi menjadi sebuah injeksi lebih kuat daripada kondisi menjadi sebuah monomorfisme, tetapi lebih lemah daripada kondisi menjadi sebuah monomorfisme terbagi.

Sesuai dengan monomorfisme, morfisme f : X → Y disebut epimorfisme jika g₁ ∘ f = g₂ ∘ f menyiratkan g₁ = g₂ untuk semua morfisme g ₁, g₂ : Y → Z . Epimorfisme dapat disebut epi secara singkat, dan kita dapat menggunakan epik sebagai kata sifat. Morfisme f mempunyai invers kanan atau merupakan epimorfisme split jika ada morfisme g : Y → X sehingga f ∘ g = id_Y . Invers siku-siku g juga disebut sebagai bagian dari f . Morfisme yang mempunyai invers siku-siku selalu merupakan epimorfisme, namun kebalikannya tidak berlaku secara umum, karena epimorfisme bisa saja tidak mempunyai invers siku-siku.

Jika suatu monomorfisme f terbagi dengan invers kiri g, maka g adalah epimorfisme terbagi dengan invers kanan f . Dalam kategori konkret, suatu fungsi yang memiliki invers kanan adalah surjektif . Jadi dalam kategori konkret, epimorfisme sering kali, tetapi tidak selalu, bersifat surjektif. Kondisi menjadi surjeksi lebih kuat daripada kondisi menjadi epimorfisme, tetapi lebih lemah daripada kondisi menjadi epimorfisme terbagi. Dalam kategori himpunan, pernyataan bahwa setiap surjeksi mempunyai bagian setara dengan aksioma pilihan .

Morfisme yang merupakan epimorfisme dan monomorfisme disebut bimorfisme .

Isomorfisme

Sebuah morfisme f : X → Y disebut isomorfisme jika terdapat morfisme g : Y → X sehingga f ∘ g = id_Y dan g ∘ f = id_X . Jika suatu morfisme memiliki invers kiri dan invers kanan, maka kedua invers tersebut sama, sehingga f merupakan isomorfisme, dan g disebut sebagai invers dari f . Morfisme invers, jika ada, bersifat unik. Invers g juga merupakan isomorfisme, dengan invers f . Dua objek yang memiliki isomorfisme di antara keduanya disebut isomorfik atau ekuivalen.

Walaupun setiap isomorfisme merupakan bimorfisme, namun bimorfisme belum tentu merupakan isomorfisme. Misalnya, dalam kategori ring komutatif inklusi Z → Q merupakan suatu bimorfisme yang bukan merupakan suatu isomorfisme. Akan tetapi, morfisme apa pun yang merupakan epimorfisme dan monomorfisme terbagi, atau keduanya monomorfisme dan epimorfisme terbagi, pastilah suatu isomorfisme. Suatu kategori, seperti suatu Himpunan, di mana setiap bimorfisme merupakan suatu isomorfisme dikenal sebagai kategori seimbang .

Endomorfisme dan automorfisme

Sebuah morfisme f : X → X (yaitu, morfisme dengan sumber dan target yang identik) adalah endomorfisme dari X. Endomorfisme split adalah endomorfisme idempoten f jika f menerima dekomposisi f = h ∘ g dengan g ∘ h = id . Secara khusus, amplop Karoubi dari suatu kategori membagi setiap morfisme idempoten.

Automorfisme adalah morfisme yang merupakan endomorfisme dan isomorfisme. Dalam setiap kategori, automorfisme suatu objek selalu membentuk suatu grup, yang disebut grup automorfisme objek tersebut.

Contoh

• Untuk struktur aljabar yang umum dibahas dalam aljabar, seperti grup, gelanggang, modul, dan sebagainya, morfisme yang digunakan biasanya adalah homomorfisme, sedangkan pengertian isomorfisme, automorfisme, endomorfisme, epimorfisme, dan monomorfisme adalah sama dengan yang telah didefinisikan di atas. Namun, dalam kasus ring, "epimorfisme" sering dianggap sebagai sinonim dari " surjeksi ", walaupun ada epimorfisme ring yang tidak surjektif (misalnya, ketika menanamkan bilangan bulat dalam bilangan rasional ).
• Dalam kategori ruang topologi, morfisme adalah fungsi kontinu dan isomorfisme disebut homeomorfisme . Ada bijeksi (yaitu isomorfisme himpunan) yang bukan homeomorfisme.
• Dalam kategori lipatan terdiferensialkan, morfismenya adalah fungsi halus dan isomorfismenya disebut difeomorfisme .
• Dalam kategori kategori kecil, morfismenya adalah funktor .
• Dalam kategori funktor, morfisme merupakan transformasi alami .

Untuk contoh lebih lanjut, lihat Teori kategori .

Bibliografi

• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, vol. 2 (Edisi 2nd), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7.
• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. Now available as free on-line edition (4.2MB PDF).