Garis berat (geometri)

Garis berat dan titik berat segitiga.

Dalam geometri, garis berat segitiga merupakan sebuah ruas garis yang menghubungkan sebuah titik sudut ke titik tengah dari sisi yang berhadapan, sehingga membagi sisi tersebut menjadi dua bagian yang sama panjang. Setiap segitiga mempunyai tiga garis berat yang dihubungkan dari titik sudut, dan ketiga garis tersebut berpotongan satu sama lain di titik berat. Dalam segtiga sama kaki dan sama sisi, sebuah garis berat membagi sebarang sudut di titik sudut dengan kedua sisi depan mempunyai panjang yang sama.

Konsep garis berat ini memperluas ke bidang empat.

Kaitannya dengan pusat massa

Setiap garis berat segitiga akan berpotongan di titik berat segitiga, sebuah titik pusat massa dari objek tipis kerapatan seragam tak berhingga yang berimpitan dengan segitiga. Dengan demikian, sebuah objek akan seimbang di perpotongan garis berat. Titik berat segitiga dua kali lebih dekat di sepanjang sebarang garis berat ke sisi dengan garis berat memotongnya, sama halnya dengan titik sudut.

Pembagian luas yang sama

Masing-masing garis berat membagi luas segitiga menjadi setengah, dan karena itu suatu objek segitiga dengan kerapatan seragam akan seimbang di sebarang garis berat. (Garis-garis lain yang membagi luas segitiga menjadi dua bagian yang sama tidak akan berpotongan di titik berat.) Ketiga garis berat segitiga membaginya menjadi enam segitiga yang lebih kecil dan mempunyai luas yang sama.

Bukti sifat luas yang sama

Misalkan $ABC$ adalah sebuah segitiga. Misalkan pula $D$ adalah titik tengah ${\overline {AB}}$, $E$ adalah titik tengah ${\overline {BC}}$, $F$ adalah titik tengah ${\overline {AC}}$, dan $O$ adalah titik pusat segitiga.

Berdasarkan definisi, $AD=AB$, $AF=AC$, $BE=EC$. Dengan demikian, $[ADO]=[BDO]$, $[AFO]=[CFO]$, $[BEO]=[CEO]$, dan $[ABE]=[ACE]$, dengan $[ABC]$ mewakili luas segitiga $\triangle ABC$. Hal ini berlaku karena dalam setiap kasus, kedua segitiga memiliki alas dengan panjang yang sama dan membagi garis tinggi segitiga yang sama dari alas (yang diperluas), dan demikian akan memperoleh luas segitiga yang sama dengan setengah perkalian dari alas dan tinggi segitiga. Oleh karena itu, diperoleh $[ABO]=[ABE]-[BEO]$ dan $[ACO]=[ACE]-[CEO]$, sehingga disimpulkan bahwa

$$[ABO]=[ACO],[ADO]=[BDO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO].$$

Karena $[AFO]=[FCO]$, maka ${\textstyle [AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]}$, dan oleh sebab itu, $[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]$. Dengan menggunakan metode yang sama, maka dapat diperlihatkan bahwa

$$[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO].$$

Tiga segitiga yang kongruen

Pada tahun 2014, Lee Sallows menemukan teorema berikut:

Garis berat segitiga memisahkannya menjadi enam segitiga yang lebih kecil dengan luas yang sama dengan tiga pasangan segitiga yang berdampingan akan bertemu di titik tengah $D$, $E$ dan $F$. Jika masing-masing dua segitiga yang berpasangan diputar di titik tengah yang sama sampai bertemu ke sisi yang sama, maka ketiga segitiga baru yang dibentuk oleh gabungan dari masing-masing pasangan dikatakan kongruen.

Rumus yang melibatkan panjang garis berat

Dengan menggunakan teorema Apollonius, akan didapati panjang garis berat, yang dirumuskan sebagai:

$m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}},\,m_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}},\,m_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}},$

dengan $a$, $b$ dan $c$ adalah sisi-sisi segitiga terhadap garis berat $m_{a}$, $m_{b}$, dan $m_{c}$ dari titik tengahnya. Dengan demikian, rumus-rumus tersebut akan menyiratkan:

$${\begin{aligned}a&={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}}\\b&={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}}\\c&={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}}.\end{aligned}}$$

Sifat-sifat lainnya

Misalkan $ABC$ sebuah segitiga, dan misalkan $O$ adalah titik berat segitiga. Misalkan pula $D$ adalah titik tengah $BC$, $E$ adalah titik tengah $CA$, dan $F$ adalah titik tengah $AB$. Untuk sebarang titik $P$ di bidang $ABC$, maka

$$PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.$$

Titik berat segitiga membagi masing-masing garis berat menjadi beberapa bagian dengan perbandingan 2:1. Dengan kata lain, titik berat menjadi dua kali lebih dekat dengan titik tengah sisi segitiga, sama halnya dengan titik sudut yang berhadapan.

Untuk sebarang segitiga dengan sisi $a,b,c$ dan garis berat $m_{a},m_{b},m_{c}$,

${\frac {3}{4}}(a+b+c)<m_{a}+m_{b}+m_{c}<a+b+c\quad {\text{ dan }}\quad {\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.$

Garis berat dari sisi $a$ dan $b$ tegak lurus jika dan hanya jika $a^{2}+b^{2}=5c^{2}$.

Garis berat segitiga siku-siku dengan hipotenusa $c$ memenuhi $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}$.

Untuk sebarang luas segitiga $T$, dapat dinyatakan dalam garis berat $m_{a}$, $m_{b}$, dan $m_{c}$ sebagai berikut: Jika semi-jumlah ${\textstyle (m_{a}+m_{b}+m_{c})/2}$ dinyatakan sebagai $\sigma$, maka dipunyai

$$T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.$$

Bidang empat

Garis berat dari bidang empat

$${\frac {|AS|}{|SS_{BCD}|}}={\frac {|BS|}{|SS_{ACD}|}}={\frac {|CS|}{|SS_{ABD}|}}={\frac {|DS|}{|SS_{ABC}|}}={\frac {3}{1}}$$

Bidang empat (atau tetrahedron) merupakan sebuah objek dalam dimensi tiga yang mempunyai empat muka segitiga. Sebuah ruas garis yang menghubungkan sebuah titik sudut bidang empat ke titik berat dari muka yang berhadapan disebut garis berat bidang empat. Dalam bidang empat, terdapat empat garis berat yang setumpu di titik berat bidang empat. Pada kasus dimensi dua, titik berat bidang empat merupakan pusat massa. Akan tetapi, kebalikan dengan kasus berdimensi dua, titik berat membagi garis dengan perbandingan 3:1, bukan 2:1. (teorema Commandino).

Lihat pula

• Titik istimewa pada segitiga
  • Garis bagi
  • Garis tinggi
  • Garis sumbu
• Segitiga automedian

Pranala luar

• The Medians Diarsipkan 2023-06-27 di Wayback Machine. di cut-the-knot
• Area of Median Triangle Diarsipkan 2023-04-07 di Wayback Machine. di cut-the-knot
• Medians of a triangle Diarsipkan 2023-06-27 di Wayback Machine. dengan animasi interaktif
• Constructing a median of a triangle with compass and straightedge Diarsipkan 2023-06-26 di Wayback Machine., demonstrasi yang dianimasikan
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Triangle Median". MathWorld.