Uji kekonvergenan

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
(Dialihkan dari Limit dari jinumlah)

Uji kekonvergenan (Inggris: convergence tests) dalam matematika adalah kumpulan metode untuk melakukan uji yang berkenaan dengan deret konvergen, kekonvergenan bersyarat, kekonvergenan mutlak, kekonvergenan selang atau divergensi suatu deret tak terhingga.

Daftar uji kekonvergenan[sunting | sunting sumber]

  • Limit dari jinumlah: Jika limit dari jinumlah (atau limit dari yang dijumlahkan) tidak dapat didefinisikan atau bukan nol, yaitu , maka deret tersebut pasti divergen. Dalam hal ini, jumlah parsial merupakan barisan Cauchy hanya jika limit ini ada dan sama dengan nol. Uji ini tidak mempunyai kesimpulan jika limit jumlah semua elemen sama dengan nol.
  • Uji rasio: Uji ini juga dikenal sebagai kriteria d'Alembert (d'Alembert's criterion). Uji ini mengatakan: Misalkan terdapat sedemikian rupa sehingga
    Jika , maka deret tersebut konvergen. Jika , maka deret tersebut divergen. Jika , maka uji rasio tidak meyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.
  • Uji akar: Uji ini juga dikenal sebagai "Uji akar ke-n" (n-th root test)atau kriteria Cauchy (Cauchy's criterion). Misalkan
    dengan melambangkan limit atas (kemungkinannya ∞; jika ada limit, maka itulah nilainya). Jika , maka deret tersebut konvergen. Jika , maka deret tersebut divergen. Jika , maka uji akarnya tidak meyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.
  • Uji integral: Suatu deret dapat dibandingkan dengan suatu integral untuk menguji apakah deret tersebut konvergen atau divergen. Misalkan adalah suatu fungsi positif dan menurun secara monoton sedemikian rupa sehingga . Jika
    maka deret tersebut konvergen. Akan tetapi, jika integralnya divergen, maka deret tersebut juga divergen. Dengan kata lain, deret konvergen jika dan hanya jika integralnya konvergen.
    • Korolari dari uji integral yang umum dipakai adalah uji deret-p: Misalkan , maka konvergen jika . Kasus untuk uji ini akan menghasilkan deret harmonik yang hasilnya divergen. Kasus adalah masalah Basel dan deret tersebut konvergen menuju . Secara umum, untuk , maka deret tersebut sama dengan fungsi zeta Riemann dari , yaitu .
  • Uji perbandingan langsung: Jika deret merupakan suatu deret konvergen mutlak dan untuk yang cukup besar, maka deret konvergen mutlak.
  • Uji perbandingan limit: Jika , dan limit ada, merupakan terhingga dan bukan nol, maka konvergen jika dan hanya jika konvergen.
  • Uji kondensasi Cauchy: Misalkan adalah barisan positif yang tidak menaik, maka jumlah adalah konvergen jika dan hanya jika jumlah konvergen. Terlebih lagi, jika jumlah tersebut konvergen, maka berlaku pertidaksamaan .
  • Uji Abel: Misalnya pernyataan-pernyataan berikut ini benar: adalah suatu deret konvergen; adalah suatu urutan monoton; dan mempunyai batasan (bounded). Maka juga konvergen.
  • Uji Dirichlet: Jika adalah barisan bilangan real dan adalah barisan bilangan kompleks yang memenuhi syarat bahwa: , , dan untuk setiap bilangan bulat positif dengan menyatakan suatu konstan, maka deret konvergen.
  • Uji kekonvergenan Cauchy: Suatu deret adalah konvergen jika dan hanya jika untuk setiap , terdapat suatu bilangan asli sehingga
    berlaku untuk semua dan untuk semua .
  • Teorema Stolz–Cesàro: Misalkan dan adalah dua barisan bilangan real. Asumsi bahwa adalah barisan yang monoton sempurna dan divergen, serta mempunyai nilai limit berikut:
    Maka, limit
  • Uji-M Weierstrass: Misalkan adalah suatu barisan dari fungsi bilangan real atau kompleks yang terdefinisi pada suatu himpunan , dan misalkan terdapat barisan bilangan non-negatif yang memenuhi syarat-syarat: untuk semua dan semua , serta konvergen. Maka deret konvergen mutlak dan seragam di .
  • Uji Raabe–Duhamel: Misalkan adalah barisan bilangan positif. Misalkan terdapat barisan yang didefinisikan dengan
    Jika ada, maka akan ada tiga kemungkinan: Jika , maka deret itu konvergen; jika , maka deret itu divergen; dan jika , maka uji tersebut tidak dapat disimpulkan. Perumusan uji lainnya adalah sebagai berikut: Misalkan adalah suatu deret bilangan real. Jika terdapat dan (adalah suatu bilangan asli) sehingga
    untuk semua , maka deret konvergen.

Catatan[sunting | sunting sumber]

  • Untuk sejumlah jenis deret tertentu ada tes konvergensi yang lebih khusus, misalnya untuk deret Fourier digunakan uji Dini

Contoh[sunting | sunting sumber]

Misalkan, diberikan suatu deret

 

 

 

 

(i)

Uji kondensasi Cauchy menyiratkan bahwa deret di (i) adalah konvergen terhingga jika

 

 

 

 

(ii)

konvergen terhingga. Karena

maka deret di (ii) adalah deret geometri dengan rasio . Deret di (ii) adalah konvergen terhingga jika rasionya lebih kecil dari 1, ditulis . Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa deret di (i) adalah konvergen terhingga jika dan hanya jika .

Kekonvergenan hasil kali[sunting | sunting sumber]

Walaupun kebanyakan uji-uji tersebut berkenaan dengan kekonvergenan dari deret tak terhingga, uji-uji tersebut juga dapat dipakai untuk memperlihatkan kekonvergenan atau kedivergenan dari hasil kali tak terhingga. Hal ini dapat diperoleh dengan menggunakan teorema berikut:

Misalkan adalah barisan bilangan positif, maka hasil kali tak terhingga konvergen jika dan hanya jika deret konvergen. Dengan cara yang serupa, jika berlaku pertidaksamaan , maka mendekati suatu limit tak nol jika dan hanya jika deret konvergen.

Teorema tersebut dapat dibuktikan dengan mengambil logaritma dari hasil kali dan menggunakan uji perbandingan limit.[1]

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Belk, Jim (26 January 2008). "Convergence of Infinite Products". 

Pranala luar[sunting | sunting sumber]