Kuantifikasi semesta

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam logika matematika, kuantifikasi semesta adalah jenis kuantifikasi dari konstanta logika ditafsirkan sebagai "diberikan apa saja" atau "untuk semua". Menyatakan bahwa predikat satifibilitas oleh setiap anggota dari domain wacana. Dengan kata lain, predikasi dari sifat atau relasi untuk anggota domain. Ini menegaskan bahwa predikat dalam cakupan dari kuantifikasi universal adalah benar untuk nilai dari variabel predikat.

Biasanya dilambangkan dengan turned A (∀) operator logika simbol, jika digunakan dengan variabel predikat, disebut kuantifikasi semesta ("x", "∀(x)", atau dengan "(x)"). Kuantifikasi universal berbeda dari kuantifikasi eksistensial ("ada"), yang hanya menegaskan bahwa properti atau relasi berlaku untuk setidaknya satu anggota domain.

Kuantifikasi secara umum dibahas dalam artikel kuantifikasi (logika). Penghitung universal dikodekan sebagai U+2200 for all di Unicode, dan sebagai \forall di LaTeX dan editor rumus terkait,

Dasar[sunting | sunting sumber]

Misalkan diberikan

2·0 = 0 + 0, dan 2·1 = 1 + 1, dan 2·2 = 2 + 2, dll

Ini tampaknya menjadi konjungsi logis karena penggunaan berulang "dan". Namun, "dll" tidak dapat diartikan sebagai konjungsi dalam logika formal. Alih, pernyataan tersebut harus diucapkan ulang:

Untuk semua bilangan asli n, salah satunya memiliki 2·n = n + n.

Pernyataan tunggal yang menggunakan penghitungan universal.

Pernyataan ini bisa dikatakan lebih tepat daripada yang asli. Sedangkan "dll" secara informal menyertakan bilangan asli, dan tidak lebih, ini tidak diberikan secara ketat. Sebaliknya, dalam penghitungan universal, bilangan asli disebutkan secara eksplisit.

Contoh khusus ini adalah benar (logika) benar, karena bilangan asli diganti dengan n dan pernyataan "2·n = n + n". Sebaliknya,

Untuk semua bilangan asli n, satu memiliki 2·n > 2 + n

adalah salah, karena jika n diganti dengan, misalnya, 1 pernyataan "2·1> 2 + 1" salah. It is immaterial that "2·n > 2 + n" adalah benar untuk kebanyakan bilangan asli n: bahkan keberadaan satu contohkounter sudah cukup untuk membuktikan kuantifikasi universal.

Di samping itu, untuk bilangan komposit sn, satu memiliki 2·n> 2 + n adalah benar, karena tidak ada contoh bilangan yang merupakan bilangan komposit. Ini menunjukkan pentingnya domain diskursus, yang menentukan nilai n dimana yang digunakan.[note 1] Secara khusus, perhatikan bahwa jika domain diskursus dibatasi untuk hanya terdiri dari objek-objek yang memenuhi predikat tertentu, maka untuk penghitungan universal ini membutuhkan kondisi logika. Sebagai contoh,

Untuk semua bilangan komposit n, satu memiliki 2·n > 2 + n

adalah setara dengan

Untuk semua bilangan asli n, jika n komposit, maka 2·n > 2 + n.

Di sini konstruksi "jika ... maka" menunjukkan persyaratan logis.

Notasi[sunting | sunting sumber]

Dalam logika simbolik, simbol pembilang universal (huruf "A" yang dibalik dalam font sans-serif, Unicode U+2200) digunakan untuk menunjukkan kuantifikasi universal. Pertama kali digunakan dengan cara ini oleh Gerhard Gentzen pada tahun 1935, dengan analogi dengan Giuseppe Peano (menjadi E) notasi untuk kuantifikasi eksistensial dan penggunaan kemudian notasi Peano oleh Bertrand Russell.[1]

Misalnya, jika P(n) adalah predikat "2·n > 2 + n" dan N adalah himpunan dari bilangan asli, maka

adalah pernyataan (salah)

"untuk semua bilangan asli n, satu memiliki 2·n > 2 + n".

Begitu pula, jika Q(n) predikat "n adalah komposit", maka

adalah pernyataan (benar)

"untuk semua bilangan asli n, jika n komposit, maka n > 2 + n".

Beberapa variasi dalam notasi untuk kuantifikasi (yang berlaku untuk semua bentuk) dapat ditemukan di artikel Kuantifer.

Sifat[sunting | sunting sumber]

Negasi[sunting | sunting sumber]

Perhatikan bahwa fungsi proposisional terkuantifikasi adalah pernyataan; dengan demikian, seperti pernyataan, fungsi terkuantifikasi dapat dinegasikan. Notasi yang digunakan sebagian besar matematikawan dan logikawan untuk menunjukkan negasi adalah: . Namun, beberapa menggunakan tilde (~).

Misalnya, jika P ( x ) adalah fungsi proposisional "x menikah", maka, untuk wacana semesta X dari semua manusia yang hidup, kuantifikasi semesta

Diberikan setiap orang x, orang tersebut sudah menikah

diberikan:

Dapat dilihat bahwa ini salah yang tidak dapat ditarik kembali. Sejujurnya, hal itu dikatakan

Tidak demikian halnya, mengingat orang x, tetapi orang tersebut sudah menikah

atau, secara simbolis:

.

Jika pernyataan itu tidak benar untuk Elemen Wacana Universal, maka menganggap wacana universal kosong, setidaknya harus ada satu elemen yang pernyataannya salah. Artinya, negasi dari secara logis setara dengan "Ada orang x yang belum menikah", atau:

Secara umum, negasi dari kuantifikasi universal fungsi proposisional merupakan kuantifikasi eksistensial dari negasi fungsi proposisional tersebut; secara simbolis,

Untuk menyatakan "semua orang belum menikah" (yaitu "belum ada orang yang menikah") jika diartikan bahwa "tidak semua orang menikah" (yaitu "ada orang yang belum menikah"):

Koneksi lainnya[sunting | sunting sumber]

Pembilang universal (dan eksistensial) bergerak tidak berubah di seluruh koneksi logis s , , , dan , dari operan lain adalah:

Sebaliknya, untuk penghubung logis , , , dan , maka kuantifikasi:

Aturan inferensi[sunting | sunting sumber]

Aturan inferensi adalah aturan yang membenarkan langkah logika dari hipotesis hingga kesimpulan. Beberapa aturan inferensi yang memanfaatkan pembilang universal.

Instansiasi universal menyimpulkan bahwa, jika fungsi proposisional diketahui benar secara universal, maka hal tersebut benar untuk elemen sembarang wacana universal. Secara simbolis, direpresentasikan sebagai

dimana c adalah elemen yang sepenuhnya sewenang-wenang dari alam semesta wacana.

Generalisasi universal menyimpulkan bahwa fungsi proposisional diketahui benar secara universal jika benar untuk elemen sembarang wacana universal. Secara simbolis, untuk sembarang c,

Elemen c diketahui benar; jika, logika tersebut tidak mengikuti: jika c tidak sembarang, dan sebagai gantinya merupakan elemen spesifik dari alam semesta wacana, maka P(c) hanya menyiratkan kuantifikasi eksistensial dari fungsi proposisional.

Himpunan kosong[sunting | sunting sumber]

Menurut konvensi, rumusnya selalu benar, apa pun rumus P(x); Lihat prinsip vacuous.

Penutupan universal[sunting | sunting sumber]

Penutupan universal dari rumus φ adalah rumus tanpa variabel bebas yang diperoleh dengan menambahkan bilangan universal untuk setiap variabel bebas di φ. Misalnya, penutupan universal

adalah

.

Sebagai adjoin[sunting | sunting sumber]

Dalam teori kategori dan teori topoi elementer, pembilang universal dapat dipahami sebagai titik kanan dari funktor antara himpunan daya, fungsi citra invers dari fungsi antara himpunan; demikian pula, pembilang eksistensial adalah penyambung kiri.[2]

Untuk satu himpunan , maka menunjukkan himpunan daya. Untuk fungsi antara himpunan and , ada fungsi citra invers antara daya, himpunan bagian dari codomain dari f kembali ke subset dari domainnya. Adjoin kiri dari functor ini adalah pembilang eksistensial dan adjoin kanan adalah kuantifikasi universal .

Artinya, adalah funktor, untuk himpunan bagian , diberikan himpunan bagian diberikan oleh

dalam citra di bawah . Seperti kuantifikasi universal adalah funktor, untuk himpunan bagian , diberikan himpunan diberikan oleh

pracitra di bawah dalam .

Bentuk bilangan yang dikenal seperti digunakan dalam logika orde pertama dengan menggunakan fungsi f menjadi fungsi unik maka adalah himpunan dua elemen yang menyimpan nilai benar dan salah, himpunan bagian S adalah himpunan bagian yang dipegang oleh predikat ,

yang benar jika tidak kosong, dan

yang salah jika S bukan X.

Bilangan universal dan eksistensial yang diberikan di atas digeneralisasikan ke kategori presheaf.

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Informasi lebih lanjut tentang penggunaan domain wacana dengan pernyataan terkuantifikasi dapat ditemukan di artikel Kuantifikasi (logika).

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Miller, Jeff. "Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic". Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. 
  2. ^ Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk, (1992) Sheaves in Geometry and Logic Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4 Lihat halaman 58

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

  • Definisi kamus every di Wiktionary