Kuantifikasi semesta

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Kuantifikasi semesta
JenisKuantor
CabangLogika matematika
Pernyataan adalah benar ketika adalah benar untuk semua nilai dari .
Pernyataan dalam bentuk simbol

Dalam logika matematika, kuantifikasi semesta atau kuantifikasi universal adalah jenis kuantifikasi yang dapat diartikan sebagai "untuk semua" atau "untuk setiap". Kuantifikasi semesta menyatakan bahwa suatu predikat terpenuhi oleh setiap anggota universal of discourse. Dengan kata lain, kuantifikasi semesta adalah suatu predikat dari sifat atau relasi untuk setiap anggota domain. Hal ini menyatakan bahwa predikat dalam cakupan kuantifikasi semesta adalah benar untuk nilai variabel predikat.

Kuantifikasi semesta umumnya dilambangkan dengan huruf A terbalik (∀). Hal ini dapat dikaitkan dengan kuantor semesta, yang mana ketika simbol operator logika ini digunakan bersama dengan variabel predikat. Kuantor semesta dapat ditulis sebagai . Kuantifikasi semesta berbeda dengan kuantifikasi eksistensial, jenis kuantifikasi yang hanya mengatakan bahwa sifat atau relasi berlaku untuk setidaknya satu anggota domain.

Kuantor universal diberi kode sebagai U+2200 for all dalam Unicode, dan diberi kode\forall dalam markah LaTeX.

Notasi[sunting | sunting sumber]

Dalam logika simbolik, kuantor semesta diberi simbol , sebuah huruf "A" terbalik, dengan Unicode U+2200. Simbol ini digunakan untuk mengartikan kuantifikasi semesta. Cara menggunakan simbol tersebut berawal dari Gerhard Gentzen pada tahun 1935, yang sejalan dengan notasi Giuseppe Peano (sebuah huruf E terbalik) sebagai simbol kuantifikasi eksistensial.[1]

Sebagai contoh, jika menyatakan predikat "" dan menyatakan himpunan bilangan asli, maka

adalah pernyataan (yang salah). Pernyataan ini dapat dibaca sebagai, "untuk semua bilangan asli , berlaku ". Contoh yang serupa dengannya adalah: jika menyatakan predikat " adalah komposit", maka
adalah pernyataan (yang benar). Pernyataan ini dibaca, "untuk semua bilangan asli , jika komposit, maka ".

Sifat[sunting | sunting sumber]

Negasi[sunting | sunting sumber]

Negasi dari fungsi berkuantor semesta diperoleh dengan mengubah kuantor semesta menjadi kuantor eksistensial, dan kemudian memberi tanda negasi pada rumus. Dengan kata lain, ekuivalen dengan .

Operator logika lainnya[sunting | sunting sumber]

Kuantor universal (dan eksistensial) untuk operator logika , , , dan adalah sebagai berikut:

Sebaliknya, untuk penghubung logis , , , dan , maka kuantifikasi tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:

Aturan inferensi[sunting | sunting sumber]

Aturan inferensi adalah aturan yang membenarkan langkah-langkah logika, dimulai dari hipotesis sampai ke kesimpulan. Beberapa aturan-aturan tersebut memakai kuantor universal.

Instansiasi semesta menyimpulkan bahwa, jika diketahui bahwa fungsi proposisional adalah benar secara universal, maka hal tersebut benar untuk sebarang anggota universal of discourse. Sifat-sifat ini dapat dinyatakan dengan lambang

dengan menyatakan sebarang anggota universe of discourse.

Universal generalization menyimpulkan bahwa fungsi proposisional adalah benar secara universal, jika benar untuk sebarang anggota universal of discourse. Untuk sebarang , dapat diyatakan dengan lambang

Anggota harus sepenuhnya adalah sebarang. Jika tidak, maka logika tersebut berkata lain: jika tidak sebarang, melainkan anggota khusus dari universal of discourse, maka hanya menyiratkan kuantifikasi eksistensial dari fungsi proposisional.

Himpunan kosong[sunting | sunting sumber]

Berdasarkan konvensi, rumus selalu benar untuk manapun.

Universal closure[sunting | sunting sumber]

Universal closure dari rumus menyatakan rumus tanpa variabel bebas yang diperoleh dengan menambahkan kuantor universal untuk setiap variabel bebas di . Sebagai contoh, universal closure dari

ditulis


Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Miller, Jeff. "Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic". Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. 

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

  • Definisi kamus every di Wiktionary