Kekolinearan

Dalam geometri, kekolinieran atau kolinearitas dari suatu himpunan titik-titik ialah sifat titik-titik tersebut terletak pada satu garis. Suatu himpunan titik-titik dengan sifat ini disebut sebagai kolinier, kolinear,^[1] atau segaris.^[1] Dalam pengertian yang lebih umum, istilah ini untuk objek-objek yang sejajar, yaitu benda-benda yang "berada pada satu garis" atau "berada pada suatu barisan".

Titik pada garis

Dalam geometri apa pun, suatu himpunan titik-titik yang terletak pada suatu garis disebut sebagai kolinear. Dalam geometri Euklides, hubungan ini secara intuitif dapat divisualisasikan sebagai titik-titik yang terletak berderet pada "garis lurus". Namun, dalam kebanyakan geometri (termasuk Euklides), garis umumnya merupakan jenis objek primitif (tak terdefinisi), sehingga visualisasi semacam itu tidak selalu sesuai. Sebuah model geometri dapat menawarkan interpretasi bagaimana titik, garis, dan jenis objek lain saling berhubungan, serta bagaimana konsep seperti kolinearitas harus ditafsirkan dalam konteks model tersebut. Sebagai contoh, dalam geometri bola (dimana garis-garis diwakili dalam model standar oleh lingkaran besar pada bola), himpunan titik-titik kolinear ialah titik=titik yang terletak pada lingkaran besar yang sama. Titik-titik tersebut tidak terletak pada "garis lurus" dalam arti Euklides, dan tidak diartikan sebagai titik-titik yang sebaris.

Suatu pemetaan geometri ke dirinya sendiri yang memetakan garis ke garis disebut sebagai kolineasi; pemetaan tersebut mengawetkan sifat kolinieritas. Pemetaan linier (atau fungsi linier) pada ruang vektor (jika dipandang sebagai pemetaaan geometri) memetakan garis ke garis. Dengan kata lain, pemetaan tersebut memetakan himpunan titik-titik kolinear ke himpunan titik-titik kolinear, sehingga pemetaan linier merupakan kolineasi. Dalam geometri proyektif, pemetaan linier ini disebut sebagai homografi dan merupakan satu jenis dari kolineasi.

Aljabar

Kekolinieran titik-titik yang koordinatnya diketahui

Dalam geometri analitis, himpunan tiga (atau lebih) titik-titik berbeda pada ruang dimensi $n$ merupakan titik-titik kolinear jika dan hanya jika matriks dari koordinat vektor-vektor ini memiliki peringkat 1 atau kurang. Sebagai contoh, diberikan tiga titik ${\begin{aligned}A&=\left(a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\ldots ,\,a_{n}\right),\\B&=\left(b_{1},\,b_{2},\,b_{3},\,\ldots ,\,b_{n}\right),\\C&=\left(c_{1},\,c_{2},\,c_{3},\,\ldots ,\,c_{n}\right).\end{aligned}}$ Jika matriks ${\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&\cdots &b_{n}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}&\cdots &c_{n}\end{bmatrix}}$ memiliki peringkat 1 atau kurang, maka ketiga titik tersebut kolinear.

Secara ekuivalen, jika matriks ${\begin{bmatrix}1&a_{1}&a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{n}\\1&b_{1}&b_{2}&b_{3}&\cdots &b_{n}\\1&c_{1}&c_{2}&c_{3}&\cdots &c_{n}\end{bmatrix}}$ memiliki peringkat 2 atau kurang, maka ketiga titik tersebut kolinear. Pada kasus tiga titik berbeda pada sebuah bidang (kasus $n=2$ ), matriks di atas merupakan matriks persegi dan ketiga titik tersebut kolinear jika dan hanya jika nilai determinannya sama dengan nol. Oleh karena nilai determinan dari matriks $3\times 3$ tersebut sama dengan dua kalinya luas segitiga dengan titik sudut pada ketiga titik tersebut, hal ini setara dengan pernyataan bahwa tiga titik berbeda merupakan titik kolinear jika dan hanya jika segitiga dengan ketiga titik tersebut sebagai titik sudut memiliki luas nol.

Kekolinieran titik-titik yang jarak tiap pasangan titik diketahui

Himpunan tiga (atau lebih) titik berbeda merupakan titik-titik kolinear jika dan hanya jika setiap tiga titik berbeda $A$ , $B$ , dan $C$ dari himpunan tersebut, berlaku ${\begin{vmatrix}0&\left(d(A,\,B)\right)^{2}&\left(d(A,\,C)\right)^{2}&1\\\left(d(A,\,B)\right)^{2}&0&\left(d(B,\,C)\right)^{2}&1\\\left(d(A,\,C)\right)^{2}&\left(d(B,\,C)\right)^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}=0$ dengan $d(A,\,B)$ , $d(B,\,C)$ , dan $d(A,\,C)$ berturut-turut menyatakan jarak antara titik $A$ dan titik $B$ , jarak antara titik $B$ dan titik $C$ , dan jarak antara titik $A$ dan titik $C$ . Berdasarkan rumus Heron, nilai determinan tersebut sama dengan −16 kalinya kuadrat dari luas segitiga dengan panjang sisi $d(A,\,B)$ , $d(B,\,C)$ , dan $d(A,\,C)$ . Dengan kata lain, memeriksa apakah nilai determinan ini sama dengan nol setara dengan memeriksa apakah segitiga dengan titik sudut $A$ , $B$ , dan $C$ memiliki luas nol (yang berarti bahwa titik sudutnya kolinear).

Berdasarkan pertidaksamaan segitiga, maka berlaku $d(A,\,B)+d(B,\,C)\geq d(A,\,C)$ untuk setiap tiga titik $A$ , $B$ , dan $C$ . Melalui sudut pandang ini, maka himpunan tiga (atau lebih) titik merupakan titik kolinear jika dan hanya jika berlaku persamaan $d(A,\,B)+d(B,\,C)=d(A,\,C)$ untuk setiap tiga titik $A$ , $B$ , dan $C$ dari himpunan tersebut, dengan $d(A,\,C)$ adalah sisi terpanjang dari ketiga jarak yang diberikan.

Teori bilangan

Dua bilangan bulat $m$ dan $n$ bukan merupakan bilangan relatif prima—atau dengan kata lain, $m$ dan $n$ memiliki faktor persekutuan selain 1—jika dan hanya jika persegi panjang pada kekisi persegi dengan titik sudut pada $\left(0,\,0\right)$ , $\left(m,\,0\right)$ , $\left(m,\,n\right)$ , $\left(0,\,n\right)$ memiliki setidaknya satu titik interior yang kolinier dengan $\left(0,\,0\right)$ dan $\left(m,\,n\right)$ .

Lihat juga

Catatan

1 2 "Kolinear; segaris". Pasti (Padanan Istilah). Badan Pengembangan dan Pembinaan Bahasa. Diakses tanggal 16 Agustus 2025.

Referensi

Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998), Geometry [Geometri] (dalam bahasa Inggris), Cambridge University Press, ISBN 0-521-59787-0
Coxeter, Harold (1969), Introduction to Geometry [Pengantar Geometri] (dalam bahasa Inggris), New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50458-0
Dembowski, Peter (1968), Finite geometries [Geometri Hingga], Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (dalam bahasa Inggris), vol. 44, Berlin: Springer, ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275

[PASTI-1] 1 2 "Kolinear; segaris". Pasti (Padanan Istilah). Badan Pengembangan dan Pembinaan Bahasa. Diakses tanggal 16 Agustus 2025.

[1]