Relasi biner

Relasi, dalam matematika, adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis.

Definisi

Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama dengan B), maka relasi R dari A ke B adalah subhimpunan dari A×B.

$R_{AB}\subseteq A\times B$

Relasi dan fungsi proposisi

Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah fungsi proposisi atau kalimat terbuka yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut.

Sebagai contoh, pandang himpunan B = { apel, jeruk, mangga, pisang } dengan himpunan W = { hijau, kuning, orange}. Suatu relasi R dari A ke B didefinisikan sebagai R = {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}. Terdapat fungsi proposisi w(x, y) = "x berwarna y", yang himpunan penyelesaiannya adalah {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}, yang tidak lain adalah relasi R.

Jenis-jenis relasi

Relasi Refleksif

$\forall _{a\in A}\quad (a,a)\in R$

atau

$\forall _{a\in A}\quad aRa$

Relasi Irefleksif

$\forall _{a\in A}\quad (a,a)\notin R$

atau

$\forall _{a\in A}\quad \lnot (aRa)$

Relasi Simetrik

$\forall _{a,b\in A}\quad (a,b)\in R\rightarrow (b,a)\in R$

atau

$\forall _{a,b\in A}\quad aRb\rightarrow bRa$

Relasi Anti-simetrik

$\forall _{a,b\in A}\quad (a,b)\in R\wedge (b,a)\in R\rightarrow a=b$

atau

$\forall _{a,b\in A}\quad aRb\wedge bRa\rightarrow a=b$

Relasi Transitif

$\forall _{a,b,c\in A}\quad (a,b)\in R\wedge (b,c)\in R\rightarrow (a,c)\in R$

atau

$\forall _{a,b,c\in A}\quad aRb\wedge bRc\rightarrow aRc$

Relasi khusus

Relasi Ekivalen

Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:

• Refleksif
• Simetrik, dan
• Transitif

Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan partisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekivalen atau kelas kesetaraan.

Orde Parsial

Orde parsial adalah relasi yang bersifat:

• Refleksif
• Anti-simetrik, dan
• Transitif

Lihat Juga

• Teori himpunan
• Himpunan
• Fungsi
• Kelas ekivalen