Pohon biner

Sebuah pohon biner sederhana dengan lebar 9 dan tinggi 3, dengan sebuah akar yang memiliki nilai 2

Dalam ilmu komputer, sebuah pohon biner (binary tree) adalah sebuah pohon struktur data dimana setiap simpul memiliki paling banyak dua anak. Secara khusus anaknya dinamakan kiri dan kanan. Penggunaan secara umum pohon biner adalah Pohon biner terurut, yang lainnnya adalah heap biner.

Definisi untuk pohon berakar

• Sebuah panah langsung mengacu pada penghubung dari ayah ke anak nya (panah di gambar dalam pohon).
• Akar dari pohon adalah simpul tanpa ayah. Terdapat paling banyak satu akar dalam pohon berakar.
• Sebuah daun adalah simpul yang tidak memiliki anak.
• Kedalaman sebuah simpul n adalah panjang jalan dari akar ke simpul. Himpunan semua simpul pada kedalaman yang diberikan kadang-kadang dinamai dengan Tingkat (Level) dari pohon. Akar memiliki kedalaman kosong.
• Tinggi sebuah pohon adalah panjang jalan dari akar ke daun-daunnya.
• Saudara adalah simpul yang memiliki ayah yang sama
• Jika terdapat sebuah jalan dari simpul p ke simpul q, dimana simpul p lebih dekat ke akar daripada q, maka p adalah leluhur dari q dan q adalah keturunan p.
• Lebar daris sebuah simpul adalah jumlah keturunan termasuk simpul itu sendiri.

Jenis pohon biner

• Sebuah pohon biner berakar (rooted binary tree) adalah sebuah pohon berakar dimana setiap simpul paling banyak mempunyai dua anak
• Sebuah pohon biner penuh (full binary tree), atau pohon biner asli (proper binary tree), adalah sebuah pohon dimana setiap simpul mempunyai nol atau dua anak.
• Sebuah pohon biner sempurna (perfect binary tree) (atau kadang-kadang pohon biner lengkap (complete binary tree) adalah sebuah pohon biner penuh dimana semua daun memiliki kedalaman yang sama.
• Sebuah pohon biner lengkap (complete binary tree) dapat didefinisikan juga sebagai sebuah pohon biner penuh dimana semua daunnya memiliki kedalanam n atau n-1 untuk beberapa n. Agar sebuah pohon dapat menjadi sebuah pohon biner lengkap, semua anak pada tingkat terakhir harus menempati titik terkiri secara teratur, dengan tidak ada titik yang menganggur di antara keduanya. Sebagai contoh, jika dua simpul pada tingkat terbawah masing-masing menempati sebuah titik dengan suatu titik kosong di antara keduanya, tetapi sisa simpul anaknya terhimpit tanpa titik di antaranya, maka pohon tersebut tidak dapat membentuk sebuah pohon biner lengkap karena titik kosong tersebut.
• Sebuah pohon biner lengkap berakar (rooted complete binary tree) dapat dikenali dengan magma bebas.
• Sebuah pohon biner hampir lengkap (almost complete binary tree) adalah sebuah pohon diaman setiap simpul yang mempunyai anak kanan juga memiliki anak kiri. Memiliki anak kiri tidak memerlukan sebuah simpul untuk mempunyai anak kanan. Penjelasan lainnya, sebuah pohon biner hampir lengkap adalah sebuah pohon dimana untuk sebuah anak kanan, selalu terdapat anak kiri, tetapi untuk sebuah anak kiri, tidak selalu terdapat sebuah anak kanan.
• Jumlah simpul n dalam pohon biner lengkap dapat dihitung dengan menggunakan rumus: n = 2^(h+1)-1 dimana h adalah tinggi dari pohon.
• Jumlah daun n dalam sebuah pohon biner lengkap dapat dihitung dengan menggunakan rumus: n = 2^h dimana h adalah tinggi dari pohon.

Definisi dalam teori graf

Sebuah pohon biner adalah grafik asiklis yang terhubung dimana setiap tingkatan dari sudut tidak lebih dari 3. Ini dapat ditunjukan bahwa dalam pohon biner manapun, terdapat persis dua atau lebih simpul dengan tingkat satu daripada yang terdapat dengan tingkat tiga, tetapi bisa terdapat angka apa saja dari simpul dengan tingkat dua. Sebuah pohon biner berakar merupakan sebuah grafik yang mempunyai satu dari sudutnya dengan tingkat tidak lebih dari dua sebagai akar.

Dengan akar yang dipilih, setiap sudut akan memiliki ayah khusus, dan diatas dua anak; bagaimanapun juga, sejauh ini terdapat keterbatasan informasi untuk membedakan antara anak kiri atau kanan. Jika kita membuang keperluan yg tak terkoneksi, membolehkan bermacam koneksi dalam komponen di gafik, kita memanggil struktur sebuah hutan.

Sebuah jalan lain untuk mendefinisikan pohon biner melalui definisi rekursif pada grafik langsung. Sebuah pohon biner dapat berarti:

• Sebuah sudut tunggal.
• Sebuah graf yang dibentuk dengan mengambil dua pohon biner, menambahkan sebuah sudut, dan menambahkan sebuah panah langsung dari sudut yang baru ke akar daris setiap pohon biner.

Ini juga tidak menentujan susunan anak, tetapi memperbaiki akar tertentu.

Kombinatorik

Kelompok dari sepasang simpul dalam sebuah pohon dapat digambarkan sebagai pasangan dari aksara dalam tanda kurung. Oleh sebab itu, (a,b) menunjukan pohon biner dimana sub pohon kirinya adalah a sedangkan sub pohon kanannya adalah b. Benang dari tanda kurung yang seimbang mungkin dapat digunakan untuk menunjukan pohon biner pada umumnya. Himpunan dari semua benang yang mungkin yang terdiri dari keseluruhan tanda kurung yang seimbang dikenal sebagal bahasa Dyck.

Diketahui n+1 simpul, jumlah seluruh jalan dimana simpul tersebut dapat disusun kedalam sebuah pohon biner dengan sebuah bilangan Catalan $C_{n}$. Sebagai contoh, $C_{2}=2$ adalah pernyataan bahwa (ab)c dan a(bc) merupakan dua pohon biner yang mungkin, yang memiliki 3 simpul.

Kemampuan untuk menggambarkan pohon biner sebagai benang dari simbol-simbol dan tanda kurung secara tidak langsung menyatakan bahwa pohon biner dapat mewakili elemen dari magma. Sebaliknya, himpunan dari semua pohon biner yang mungkin, bersama-sama dengan operasi natural memasangkan pohon dari satu ke yang lain, dari sebuah magma, magma bebas.

Memberikan benang yang menggambarkan sebuah pohon biner, operator untuk mendapatkan sub pohon kiri dan kanan kadang-kadang mengacu sebagai CAR dan CDR.

Metode untuk menyimpan pohon biner

Pohon biner dapat dikonstruksi dari bahasa pemrograman primitif dalam berbagai cara. Dalam bahasa yang menggunakan records dan referensi, pohon biner secara khas dikonstruksi dengan mengambil sebuah struktur simpul pohon yang memuat beberapa data dan referensi ke anak kiri dan anak kanan. Kadang-kadang itu juga memuat sebuah referensi ke ayahnya yang khas. Jika sebuah simpul mempunyai kurang dari dua anak, beberapa penunjuk anak dapat diatur kedalam nilai nol khusus, atau ke sebuah simpul sentinel.

Pohon biner dapat juga disimpan sebagai struktur data implisit dalam array, dan jika pohon tersebut merupakan sebuah pohon biner lengkap, metode ini tidak boros tempat. Dalam penyusunan yang rapat ini, jika sebuah simpul memiliki indeks i, anaknya dapat ditemukan pada indeks ke-2i+1 dan 2i+2, meskipun ayahnya (jika ada) ditemukan pada indeks lantai((i-1)/2) (asumsikan akarnya memiliki indeks kosong). Metode ini menguntungkan dari banyak penyimpanan yang rapat dan memiliki referensi lokal yang lebih baik, tersitimewa selama sebuah preorder traversal. Bagaimanapun juga, ini terlalu mahal untuk perkembangannya dan boros tempat sebanding dengan 2^h - n untuk sebuah pohon dengan tinggi h dengan nsimpul.

Dalam bahasa dengan tagged union seperti ML, sebuah simpul pohon seringkali sebuah tagged union dari dua jenis simpul, dimana yang satu merupakan data dari 3-tupel, anak kiri, dan anak kanan, dan yang lain dimana sebuah daun, yang tidak memuat data dan fungsi seperti nilai nol dalam bahasa dengan penunjuk (pointers)

Metode iterasi pohon biner

Seringkali, seseorang berkeinginan untuk mengunjungi simpul dalam pohon dan menjalankan perintahnya disana. Terdapat beberapa penyusunan umum dimana simpul-simpuk tersebut dapat dikunjungi, dan setiap simpul memiliki sifat-sifat yang berguna yang dimanfaatkan dalam algoritma yang berdasarkan pada pohon biner.

Pre-order, in-order, dan post-order traversal

Pre-order, in-order, dan post-order traversal mengunjungi setiap simpul dalam sebuah pohon dengan pengunjungan secara berulang-ulang pada sub pohon kiri dan kanan dari akarnya. Jika akarnya dikunjungi sebelum sub pohonnya, ini merupakan preoder. Jika akarnya dikunjungi sesudah sub pohonnya, ini dinamakan postorder dan jika akarnya dikunjungi di antara sub pohonnya, dinamakan inorder. In-order traversal sangat berguna dalam pohon biner terurut, dimana traversal ini mengunjungi simpul dalam urutan yang meningkat.

Depth-first order

Dalam Depth-first order, kita selalu berusaha sebisa mungkin untuk mengunjungi simpul terjauh dari akar, tetapi dengan peringatan bahwa itu haruslah sebuah simpul anak yang telah dikunjungi. Tidak seperti pencarian depth-first order dalam graf, tidak diperlukan untuk mengingat seluruh simpul yang telah dikunjungi, karena sebuah pohon tidak dapat memuat siklus. Pre-order merupakan kasus khusus untuk ini.

Breadth-first order

Dibandingkan dengan depth-first order, breadth-first order, yang selalu berusaha untuk mengnjungi simpul terdekat dengan akar yang belum dikunjunginya.

Penyandian

Penyandian ringkas

Sebuah struktur data ringkas adalah sesuatu yang mengambil tempat minimum mutlak yang mungkin, yang berdiri sebagai teori informasi bawah. Jumlah dari pohon biner yang berbeda pada $n$ simpul adalah $\mathrm {C} _{n}$, Bilangan Catalan ke-$n$ (asumsikan kita melihat pohon dengan struktur yang identik sebagai sebuah kesamaan). Untuk besarnya $n$, ini berkisar kira-kira $4^{n}$; sehingga kita membutuhkan setidaknya kira-kira $\log _{2}4^{n}=2n$ bit untuk menyalinnya. Oleh sebab itu sebuah pohon biner ringkas hanya membutuhkan 2 bit setiap simpul.

Salah satu penggambaran sederhana yang masih berhubungan dengan ini adalah mengunjungi simpul dari pohon dengan preoder, meletakkan "1" untuk sebuah simpul dalan dan "0" untuk sebuah daun. [1] Jika pohon ini memuat data, kita dapat menyimpanya secara serempak dalam sebuah array yang berurutan dengan preoder. Fungsi ini memenuhi:

function EncodeSuccinct(node n, bitstring structure, array data) {
    if n = nil then
        append 0 to structure;
    else
        append 1 to structure;
        append n.data to data;
        EncodeSuccinct(n.left, structure, data);
        EncodeSuccinct(n.right, structure, data);
}

String structure hanya memiliki $2n+1$ bit pada bagian akhir, dimana $n$ adalah angka dari simpul dalam; kita bahkan tidak memerlukan untuk menyimpan panjangnya. Untuk menunjukkan bahwa tidak ada informasi yang hilang, kita dapat mengubah hasilnya kembali seperti pohon aslinya seperti ini:

function DecodeSuccinct(bitstring structure, array data) {
    remove first bit of structure and put it in b
    if b = 1 then
        create a new node n
        remove first element of data and put it in n.data
        n.left = DecodeSuccinct(structure, data)
        n.right = DecodeSuccinct(structure, data)
        return n
    else
        return nil
}

Penggambaran secara ringkas dan rumit memungkinkan tidak hanya penyimpanan yang rapi pada pohon tetapi bahkan operasi yang berguna secara langsung pada pohon tersebut, meskipun mereka masih dalam bentuk yang ringkas.

Penyandian pohon n-er sebagai pohon biner

Terdapat sebuah pemetaan satu-satu antara pohon terurut general dan pohon biner, yang biasanya digunakan oleh Lisp untuk menggambarkan pohon terurut general sebagai pohon biner. Setiap simpul N dalam pohon terurut terhubung ke sebuah simpul N dalam pohon biner; anak kiri dari N merupakan simpul yang terhubung ke anak pertama dari N, dan anak kanan dari N merupakan simpul yang terhubung ke saudara selanjutnya dari N yang merupakan simpul selanjutnya dalam urutan di antara anak-anaknya dari ayahnya N

Suatu cara untuk menyelesaikan ini adalah bahwa setiap anak simpul berada dalam sebuah linked list, dihubungkan bersama dengan bidang kanan mereka, dan simpul yang hanya memiliki sebuah petunjuk ke awalnya atau kepala dari daftar ini, melalui bidang kiri nya.

Sebagai contoh, dalam sebuah pohon bagian kirinya, A memiliki 6 anak {B,C,D,E,F,G}. Ini dapat diubah manjadi sebuah pohon biner bagian kanan.

Pohon biner dapat dianggap sebagai pohon asli yang membujur kesamping, dengan tepi kirinya yang berwarna hitam menggambarkan anak pertama dan tepi kanannya yang berwarna biru menggambarkan saudara selanjutnya. Daun dari bagian kiri pohon ini dapat dituliskan dalam Lips sebagai:

(((M N) H I) C D ((O) (P)) F (L))

yang akan diimplementasikan ke memori sebagai pohon biner kanan, tanpa huruf apapun pada simpul itu yang telah memiliki anak.

Lihat pula

• Pohon (struktur data)
• Pohon biner terurut

Referensi

• Donald Knuth. The art of computer programming vol 1. Fundamental Algorithms, Edisi Ketiga. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89683-4. Section 2.3, khususnya subsections 2.3.1–2.3.2 (hal.318–348).