Transformasi geometri

Transformasi geometri adalah proses pemindahan atau pembentukan hasil suatu bayangan dari suatu titik atau pada kurva. Yang dimaksud perpindahan dalam transformasi geometri adalah posisi dari suatu posisi awal (x , y) ke posisi lain (x’ , y’). Jenis transformasi geometri yaitu translasi (pergeseran), dilatasi (perkalian), transformasi bersesuaian matriks, rotasi (perputaran), dan refleksi (pencerminan).

Dalam koordinat kartesius, memindahkan satu titik atau sebuah bangun pada bidang bisa menggunakan transformasi. Artinya, transformasi geometri adalah proses mengubah semua titik koordinat menjadi titik koordinat lain padasebuah bidang tertentu. Transformasi tidak berlaku pada titik saja, tetapi bisa juga berlaku pada kumpulan titik berbentuk bidang atau bangun tertentu. Maka dari itu, pemetaan yang dilakukan pada bangun geometri disebut transformasi geometri. Fungsi pada bidang V adalah padanan yang menghubungkan setiap anggota V dengan anggota V yang lain. Suatu transformasi bidang V atau bidang Euclid adalah fungsi bijektif dengan domain bidang V dan kodomain pada bidang V juga.

Sejarah

Sejak zaman Euclid (300 SM sampai abad 17 Masehi), geometri dipelajari sebagai suatu ilmu dari perspektif sintesis. Pada abad ke-17 banyak pengembangan ide baru dalam matematika. Banyak gagasan yang diterapkan sebagai sebuah revolusi untuk mempelajari geometri. Misalnya, Fermat (1601–1665) dan Rene Descartes (1596–1650) yang menerapkan notasi-notasi berikut konsep aljabar geometri untuk menciptakan geometri analitik. Selain itu, ada diferensial geometri yang dikembangkan sebagai suatu konsep yang menggunakan notasi dari kalkulus yang telah dikembangkan oleh Newton dan Leibniz. Pada abad ke-18 sampai 19, sejumlah geometri Non-Euclid terus dikembangkan. Tapi hal itu berdampak pada kekhawatiran beberapa ahli bahwa geometri akan terpisah dengan sendirinya dan disesuaikan dengan teori-teori yang bersaing satu dengan yang lain.

Pada tahun 1782, ahli matematika Felix Klein mengusulkan prinsip pemersatu untuk menggolongkan berbagai geometri berikut menerangkan hubungan-hubungan di antaranya. Inti gagasan dari konsep Klein adalah Geometri Transformasi. Prinsip transformasi geometri adalah memetakan satu persatu menggunakan himpunan titik-titik sebagai input dan titik kembalinya sebagai output. Sederhananya, berbagai himpunan input dinamakan obyek dan output yang bersesuaian dinamakan image. Berdasarkan prinsip tadi, transformasi-transformasi dapat diterapkan pada berbagai obyek geometri yang dikenal secara umum, misalnya poligon, garis, polihedral atau pun pada ruang obyek-obyek itu berada. Transformasi geometri menawarkan berbagai pandangan dalam banyak topik tradisional, seperti kesebangunan, kongruensi, dan simetri. Selain itu juga, memiliki fungsi sebagai basis aplikasi kontemporer dalam arsitektur, seni, film, permesinan, dan televisi. Hal paling penting adalah definisi Felix Klein yang menyatakan geometri adalah studi mengenai sifat-sifat suatu himpunan S yang tidak berubah, walaupun elemen-elemen S ditransformasikan oleh sekelompok transformasinya. Definisi ini semakin memperjelas bahwa transformasi geometri adalah suatu cara memahami hubungan-hubungan antara semua geometri, baik itu Euclid atau non Euclid.

Isometri

Isometri adalah transformasi yang mengawetkan jarak, kecuali untuk mengawetkan jarak antara dua titik. Sifat isomentrik dapat memetakan garis menjadi garis (Kolineasi) dan mengawetkan besar sudut antara dua garis dan kesejajaran dua garis. Isometri ada dua jenis yaitu sebagai berikut.

• Memindahkan bangun geometri secara langsung dari satu posisi ke berbagai posisi lain.
• Memindahkan bangun dengan cara memutar bangunnya.

Pemetaan bisa dikatakan terjadi langsung, apabila pemetaannya bisa mengawetkan orientasi. Hal itu bisa terjadi jika arah gerak benda sama dengan arah gerak bayangan. Sebaliknya, pemetaan dikatakan berlawanan apabila pemetaan tersebut membalikan orientasi. Hal ini bisa terjadi kalau arah gerakan benda berlawanan dengan arah gerakan bayangan.

Tranlasi

Translasi atau pergeseran adalah salah satu transformasi yang memindahkan semua titik yang ada pada bidang dengan jarak atau arah yang konstan. Translasi bisa disebut juga transformasi yang sifatnya Isometris. Suatu padanan S dikatakan mengalami geseran apabila ada ruas garis berarah ${\overrightarrow {ab}}$, sehingga titik P pada bidang menjadi P’ dengan rumus P' = S ${\overrightarrow {ab}}$ (P) dan PP = ${\overrightarrow {ab}}$. Setiap ruas garis berarah akan menentukan translasi. Apabila ${\overrightarrow {ab}}$ suatu garis berarah, maka lambang S ${\overrightarrow {ab}}$ dianggap sebagai geseran yang sesuai dengan ${\overrightarrow {ab}}$.

Rumus translasi adalah (x',y') = (a,b) + (x,y). Dimana (x',y') adalah titik bayangan. (a,b) adalah vektor tranlasi, dan (x,y) adalah titik asal.

Dilatasi

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah jarak titik dengan faktor pengali terhadap titik tertentu. Yang dimaksud faktor pengali adalah faktor skala titik tertentu yang berperan sebagai pusat dilatasi. Faktor skala adalah perbandingan jarak titik bayangan yang dimulai dari titik pusat dilatasi dan jarak titik benda yang berkaitan dengan sebuah titik pusat dilatasi. Selain itu, faktor skala juga merupakan perbandingan panjang sisi setiap bayangan dan panjang sisi yang erat kaitannya pada benda.

Faktor skala k = ${\frac {jarakbayangan}{jarakbenda}}$ atau ${\frac {panjangbayangan}{panjangbenda}}$

Rotasi

Perputaran atau rotasi adalah salah satu transformasi yang memasang satu titik ke kumpulan titik lainnya dengan cara diputar. Selain itu, rotasi juga dianggap sebagai kegiatan memindahkan objek (gambar) melalui garis lengkung pada titik dengan sudut putar tertentu sebagai pusat. Perpindahan yang dimaksud bisa dilakukan searah jarum jam atau berlawanan dengan arah jarum jam yang penting bisa mengubah kedudukan gambar. Sebelum memahami sebuah perputaran, maka terlebih dahulu harus mengerti tentang sudut berarah. Sudut berarah adalah salah satu sudut yang satu kakinya berperan sebagai sisi awal dan kaki yang lainnya dianggap sebagai sisi akhir. Pada transformasi, perputaran terlihat pada titik atau bayangan bangun yang kongruen dengan bangun asalnya. Maka dari itu, rotasi juga memiliki sifat transformasi isometris seperti halnya translasi dan refleksi. Pada transformasi isometris, jarak dianggap sebagai besaran yang tidak berubah atau inverian. Perputaran juga ditentukan oleh titik pusat rotasi, arah sudut rotasi, dan besar sudut rotasi. Apabila arah putaran searah dengan jarum jam, maka hal itu dipandang sudut yang negatif. Sebaliknya apabila arah perputaran berlawanan dengan jarum jam maka dianggap sebagai sudut positif.

Rumus rotasi secara umum dengan titik pusat (a,b).

• Rotasi sejauh $\emptyset$ dengan pusat (a,b) : ${\binom {x'}{y'}}={\begin{pmatrix}\cos {\displaystyle \emptyset }&-\sin {\displaystyle \emptyset }\\\sin {\displaystyle \emptyset }&\cos {\displaystyle \emptyset }\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}x&-a\\y&-b\end{pmatrix}}+{\binom {a}{b}}$
• Rotasi sejauh 90° dengan pusat (a,b) : ${\binom {x'}{y'}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}x&-a\\y&-b\end{pmatrix}}+{\binom {a}{b}}$
• Rotasi sejauh 180° dengan pusat (a,b) : ${\binom {x'}{y'}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}x&-a\\y&-b\end{pmatrix}}+{\binom {a}{b}}$
• Rotasi sejauh 270° dengan pusat (a,b) : ${\binom {x'}{y'}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}x&-a\\y&-b\end{pmatrix}}+{\binom {a}{b}}$

Refleksi

Refleksi atau disebut juga pencerminan adalah salah satu bagian transformasi yang memindahkan titik pada bangun geometri dengan menggunakan sifat benda dan bayangan cermin datar. Lambang refleksi adalah R. Refleksi garis S adalah fungsi Rs yang didefinisikan pada semua titik bidang v dengan penjelasan rumus sebagai berikut.

• P $\in$ S, Rs (P) = P'
• P $\not \in$ S, Rs (P) = P', sehingga S adalah sumbu ruas PP'.

Rumus umum refleksi adalah sebagai berikut.

• Pencerminan terhadap sumbu -x : (x,y) → (x, -y)
• Pencerminan terhadap sumbu -y : (x,y) → (-x, y)
• Pencerminan terhadap garis y = x : (x,y) → (y,x)
• Pencerminan terhadap garis y = x : (x,y) → (-y, -x)
• Pencerminan terhadap garis x = h : (x,y) → (2h -x,y)
• Pencerminan terhadap garis y = k : (x,y) → (x, 2k – y)

Pranala luar

• Translasi
• Refleksi
• Rotasi