Akar bilangan

Halaman ini berisi artikel tentang Ekspresi radikal bilangan riil dan kompleks. Untuk kegunaan lain, lihat Akar (disambiguasi) § Matematika.

Dalam matematika, Ekspresi radikal dari bilangan x, di mana n biasanya diasumsikan sebagai bilangan bulat positif, adalah angka r yang, ketika dipangkatkan n menghasilkan x:

$r^{n}=x,$

di mana n adalah derajat dari akar. Akar derajat 2 disebut akar kuadrat dan akar derajat 3, akar pangkat tiga. Akar dengan derajat yang lebih tinggi dirujuk dengan menggunakan nomor urut, seperti pada akar keempat, akar kedua puluh, dll.

Ketika akar ke n kompleks dipertimbangkan, seringkali berguna untuk memilih salah satu akar sebagai nilai pokok. Pilihan yang sama adalah yang membuat akar n a fungsi kontinu yang nyata dan positif untuk x nyata dan positif. Lebih tepatnya, akar utama n dari x adalah akar ke n, dengan bagian nyata terbesar dan jika ada dua (untuk x nyata dan negatif), satu dengan bagian imajiner positif.

Kesulitan dengan pilihan ini adalah bahwa, untuk bilangan real negatif dan indeks ganjil, akar utama n bukan akar asli. Misalnya, $-8$ memiliki tiga akar pangkat tiga, $-2$, $1+i{\sqrt {3}}$ dan $1-i{\sqrt {3}}.$ Akar pangkat tiga yang sebenarnya adalah $-2$ dan akar pangkat tiga yang utama adalah $1+i{\sqrt {3}}.$

Akar yang tidak terselesaikan, terutama yang menggunakan simbol akar, terkadang disebut sebagai surd atau radikal. Setiap ekspresi yang mengandung akar, apakah itu akar kuadrat, akar pangkat tiga, atau akar yang lebih tinggi, disebut ekspresi akar , dan jika tidak berisi fungsi transendental atau bilangan transendental, ini disebut ekspresi aljabar.

Akar juga dapat didefinisikan sebagai kasus khusus dari eksponen, di mana eksponen adalah pecahan:

${\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.$

Akar digunakan untuk menentukan jari-jari konvergensi dari deret pangkat dengan uji akar. Akar ke- n dari 1 disebut akar persatuan dan memainkan peran fundamental dalam berbagai bidang matematika, seperti teori bilangan, teori persamaan, dan Transformasi Fourier.

Identitas dan properti

Mengekspresikan derajat akar ke n dalam bentuk eksponennya, seperti pada $x^{1/n}$, membuatnya lebih mudah untuk memanipulasi pangkat dan akar.

${\sqrt[{n}]{a^{m}}}\equiv (a^{m})^{1/n}\equiv a^{m/n}.$

Setiap bilangan riil positif memiliki tepat satu akar ke n nyata positif, demikian juga aturan untuk operasi dengan surds yang melibatkan radikal positif $a,\;b$ langsung dalam bilangan riil:

${\begin{aligned}{\sqrt[{n}]{ab}}&\equiv {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\\{\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}&\equiv {\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\end{aligned}}$

Kehalusan dapat terjadi saat mengambil akar ke n dari negatif atau bilangan kompleks. Misalnya:

${\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\neq {\sqrt {-1\times -1}}=1,\quad$ melainkan $\quad {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}=i\times i=i^{2}=-1.$

Karena aturan itu ${\sqrt[{n}]{a}}\times {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{ab}}$ hanya berlaku untuk radikand riil non-negatif saja, penerapannya akan menyebabkan ketidaksetaraan pada langkah pertama di atas.

Bentuk yang disederhanakan dari ekspresi akar

Ekspresi radikal yang tidak bersarang dikatakan dalam bentuk yang disederhanakan if

1. Tidak ada faktor akar yang dapat ditulis sebagai pangkat yang lebih besar dari atau sama dengan indeks.
2. Tidak ada pecahan di bawah tanda akar.
3. Tidak ada akar di penyebut.

Misalnya untuk menuliskan ekspresi akar ${\sqrt {\tfrac {32}{5}}}$ dalam bentuk yang disederhanakan, kita dapat melanjutkan sebagai berikut. Pertama, cari kuadrat sempurna di bawah tanda akar kuadrat dan hapus:

${\sqrt {\tfrac {32}{5}}}={\sqrt {\tfrac {16\cdot 2}{5}}}=4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}$

Selanjutnya, ada pecahan di bawah tanda akar, yang kita ubah sebagai berikut:

$4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}$

Akhirnya, kita menghilangkan akar dari penyebut sebagai berikut:

${\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}$

Jika ada penyebut yang melibatkan surds, selalu mungkin untuk menemukan faktor untuk mengalikan pembilang dan penyebut dengan menyederhanakan pernyataan. Misalnya menggunakan faktorisasi dari jumlah dua kubus:

${\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}\,.$

Menyederhanakan ekspresi radikal yang melibatkan radikal bersarang bisa jadi cukup sulit. Tidak jelas misalnya bahwa:

${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}$

Di atas dapat diturunkan melalui:

${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}={\sqrt {1+2{\sqrt {2}}+2}}={\sqrt {1^{2}+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}^{2}}}={\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2}}}=1+{\sqrt {2}}$

Deret tak terbatas

Akar atau akar dapat diwakili oleh deret tak hingga:

$(1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(s-kt)}{n!t^{n}}}x^{n}$

dengan $|x|<1$. Ekspresi ini dapat diturunkan dari deret binomial.

Menghitung akar utama

Akar ke n dari sebuah bilangan bulat k hanya sebuah integer jika k adalah hasil kali dari ke n pangkat bilangan bulat. Dalam semua kasus lain, akar ke n dari sebuah integer adalah bilangan irasional. Misalnya, akar kelima dari 248832 adalah

${\sqrt[{5}]{248832}}={\sqrt[{5}]{3^{5}\cdot 2^{5}\cdot 2^{5}}}=12$

dan akar kelima dari 34 adalah

${\sqrt[{5}]{34}}={\sqrt[{5}]{2\cdot 17}}=2.024397458\ldots ,$

dimana di sini titik-titik tidak hanya menandakan bahwa ekspresi desimal tidak berakhir setelah sejumlah digit yang terbatas, tetapi juga bahwa angka-angka tersebut tidak pernah memasuki pola berulang, karena jumlahnya tidak rasional.

Karena untuk bilangan real positif a dan b persamaan $\;{\sqrt[{n}]{a/b}}={\sqrt[{n}]{a}}/{\sqrt[{n}]{b}}\;$ memegang, properti di atas dapat diperpanjang ke bilangan rasional positif. Misalkan $r=p/q$, dengan p dan q coprime dan bilangan bulat positif, menjadi bilangan rasional, then r has a rational nth root, if both positive integers p and q have an integer nth root, i.e., $\;r=p\cdot {\tfrac {1}{q}}\;$ is the product of nth powers of rational numbers. Jika salah satu atau kedua akar nth dari p atau q tidak rasional, hasil bagi juga tidak rasional.

Menggunakan metode Newton

Akar ke n dari sebuah angka A dapat dihitung dengan metode Newton. Mulailah dengan tebakan awal x₀ lalu ulangi menggunakan relasi pengulangan

$x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left({(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right)$

sampai presisi yang diinginkan tercapai.

Tergantung pada aplikasinya, mungkin cukup menggunakan hanya aproksimasi Newton pertama:

${\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}\approx x+{\frac {y}{nx^{n-1}}}.$

Misalnya, untuk mencari akar pangkat lima dari 34, perhatikan bahwa 2⁵ = 32 dan selanjutnya diambil x = 2, n = 5 dan y = 2 dalam rumus di atas. Ini hasil

${\sqrt[{5}]{34}}={\sqrt[{5}]{32+2}}\approx 2+{\frac {2}{5\cdot 16}}=2.025.$

Kesalahan dalam aproksimasi hanya sekitar 0,03%.

Metode Newton dapat dimodifikasi untuk menghasilkan pecahan lanjutan umum untuk akar n yang dapat dimodifikasi dengan berbagai cara. For example:

${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}};$

${\sqrt[{n}]{z}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{n(2z-y)-y-{\cfrac {(1^{2}n^{2}-1)y^{2}}{3n(2z-y)-{\cfrac {(2^{2}n^{2}-1)y^{2}}{5n(2z-y)-{\cfrac {(3^{2}n^{2}-1)y^{2}}{7n(2z-y)-\ddots }}}}}}}}.$

Dalam kasus akar kelima dari 34 di atas (setelah membagi faktor persekutuan yang dipilih):

${\sqrt[{5}]{34}}=2+{\cfrac {1}{40+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {6}{120+{\cfrac {9}{4+{\cfrac {11}{200+{\cfrac {14}{4+\ddots }}}}}}}}}}}}=2+{\cfrac {4\cdot 1}{165-1-{\cfrac {4\cdot 6}{495-{\cfrac {9\cdot 11}{825-{\cfrac {14\cdot 16}{1155-\ddots }}}}}}}}.$

Lihat pula

• Algoritme akar ke N
• Menggeser algoritme akar ke n
• Simbol radikal
• Bilangan aljabar
• Radikal bersarang
• Akar kedua belas dari dua
• Akar pangkat