Grup permutasi

Dalam matematika, khususnya aljabar, suatu grup permutasi $G$ adalah suatu grup dengan unsur-unsurnya adalah permutasi dari suatu himpunan $M$ dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym($M$) (notasi Sym di sini bermakna Symmetric). Khusus untuk himpunan $M=\{1,2,...,n\}$, grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai $S_{n}$.

Notasi

Untuk suatu himpunan $M$, permutasi $\sigma$ atas $M$ adalah suatu bijeksi $\sigma :M\rightarrow M$. Sebagai contoh, untuk himpunan $M=\{1,2,3,4\}$, salah satu permutasi yang mungkin adalah permutasi $\sigma$ yang memenuhi

$\sigma (1)=3,\sigma (2)=1,\sigma (3)=2$ dan $\sigma (4)=4$. Permutasi ini dapat dinyatakan sebagai matriks dengan dua baris

$\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&2&4\end{pmatrix}}$

atau secara umum, unsur dalam grup permutasi $S_{n}$ dapat ditulis sebagai matriks

$\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&...&n\\\sigma (1)&\sigma (2)&\sigma (3)&...&\sigma (n)\end{pmatrix}}$.

Notasi seperti ini dapat diringkas menjadi notasi putaran. Suatu putaran $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ dengan panjang $n$ melambangkan pemetaan $a_{1}\mapsto a_{2},a_{2}\mapsto a_{3},...,a_{n-1}\mapsto a_{n},a_{n}\mapsto a_{1}$. Sebagai contoh, tinjau permutasi $\sigma$ pada grup permutasi $S_{6}$ yang didefinisikan oleh

$\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\3&1&2&4&6&5\end{pmatrix}}$.

Untuk meringkas, notasi tersebut dapat ditulis menjadi $(132)(4)(56)$ yang kemudian dapat diringkas lagi dengan menghilangkan setiap putaran dengan panjang 1 menjadi $(132)(56)$. Dua buah putaran $(a_{1},a_{2},...,a_{m}),(b_{1},b_{2},...,b_{k})$ yang tidak saling lepas (yakni irisan himpunan $\{a_{1},...,a_{m}\}$ dengan $\{b_{1},...,b_{k}\}$ tidak kosong) kemudian dapat dipandang sebagai dua unsur yang berbeda dalam suatu grup permutasi, sehingga komposisinya dapat dipandang sebagai perkalian dua buah permutasi. Untuk sebarang dua buah putaran saling lepas $\alpha ,\beta \in S_{n}$, berlaku pula $\alpha \beta =\beta \alpha$.

Karena permutasi adalah suatu bijeksi, ia mempunyai invers. Misalkan $\sigma \in S_{n}$suatu permutasi yang dinyatakan oleh matriks $\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&...&n\\\sigma (1)&\sigma (2)&...&\sigma (n)\end{pmatrix}}$, invers dari $\sigma$yang dinotasikan sebagai $\sigma ^{-1}$dapat dihitung dengan menukar barisnya. Yaitu, $\sigma ^{-1}={\begin{pmatrix}\sigma (1)&\sigma (2)&...&\sigma (n)\\1&2&...&n\end{pmatrix}}$.

Dekomposisi Putaran

Setiap permutasi pada grup permutasi $S_{n}$ dapat dinyatakan sebagai hasil kali putaran yang saling lepas . Sebagai contoh, permutasi

$\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\6&3&4&2&5&1\end{pmatrix}}$

dapat ditulis sebagai $\sigma =(16)(234)(5)$.

Dekomposisi permutasi menjadi putaran-putaran dapat digunakan untuk menentukan orde suatu unsur pada grup permutasi. Misalkan $\sigma \in S_{n}$ terdekomposisi menjadi putaran-putaran dengan panjang $a_{1},a_{2},...,a_{k}$, orde dari $\sigma$ kemudian adalah kelipatan persekutuan terkecil dari $a_{1},a_{2},...,a_{k}$.

Setiap permutasi juga dapat dipandang sebagai hasil kali transposisi, yaitu putaran dengan panjang dua. Transposisi ini dapat diinterpretasikan sebagai suatu permutasi yang menukar tepat dua unsur dari suatu himpunan. Grup permutasi $S_{n}$kemudian dapat dibangun oleh transposisi (yakni setiap unsur di $S_{n}$dapat dinyatakan sebagai hasil kali transposisi). Hasil penting lainnya terkait dekomposisi ini adalah bahwa suatu permutasi pastilah merupakan hasil kali dari sebanyak ganjil atau sebanyak genap transposisi, tetapi tidak keduanya. Hasil inilah yang memotivasi pendefinisian grup berayun, yaitu grup yang himpunannya adalah permutasi genap dari suatu himpunan. Hasil tersebut menjamin operasi pada grup berayun terdefinisi dengan baik.

Teorema Cayley

Dalam teori grup, teorema Cayley mengatakan bahwa sebarang grup $G$ isomorfis dengan suatu subgrup dari Sym($S$) untuk suatu $S$. Untuk $G$ yang memiliki orde berhingga, berlaku $G$ isomorfis dengan grup permutasi $S_{n}$.