Grup permutasi: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi per 4 Juli 2019 23.26

Dalam matematika, khususnya aljabar, suatu grup permutasi $G$ adalah suatu grup dengan unsur-unsurnya adalah permutasi dari suatu himpunan $M$ dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym( $M$ ) (notasi Sym di sini bermakna Symmetric). Khusus untuk himpunan $M=\{1,2,...,n\}$ , grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai $S_{n}$ . ^[1]

Notasi

Untuk suatu himpunan $M$ , permutasi $\sigma$ atas $M$ adalah suatu bijeksi $\sigma :M\rightarrow M$ . Sebagai contoh, untuk himpunan $M=\{1,2,3,4\}$ , salah satu permutasi yang mungkin adalah permutasi $\sigma$ yang memenuhi

\sigma (1)=3,\sigma (2)=1,\sigma (3)=2

dan

\sigma (4)=4

. Permutasi ini dapat dinyatakan sebagai matriks dengan dua baris

\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&2&4\end{pmatrix}}

atau secara umum, unsur dalam grup permutasi $S_{n}$ dapat ditulis sebagai matriks

\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&...&n\\\sigma (1)&\sigma (2)&\sigma (3)&...&\sigma (n)\end{pmatrix}}

.^[2]

Urutan unsur-unsur pada baris pertama dapat ditulis sebarang asalkan konsisten (baris kedua adalah hasil pemetaan dari baris pertama di kolom yang sama).

Notasi seperti ini dapat diringkas menjadi notasi putaran. Suatu putaran $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ dengan panjang $n$ melambangkan pemetaan $a_{1}\mapsto a_{2},a_{2}\mapsto a_{3},...,a_{n-1}\mapsto a_{n},a_{n}\mapsto a_{1}$ ^[1]. Sebagai contoh, tinjau permutasi $\sigma$ pada grup permutasi $S_{6}$ yang didefinisikan oleh

\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\3&1&2&4&6&5\end{pmatrix}}

.

Untuk meringkas, notasi tersebut dapat ditulis menjadi $(132)(4)(56)$ yang kemudian dapat diringkas lagi dengan menghilangkan setiap putaran dengan panjang 1 menjadi $(132)(56)$ . Dua buah putaran $(a_{1},a_{2},...,a_{m}),(b_{1},b_{2},...,b_{k})$ yang tidak saling lepas (yakni irisan himpunan $\{a_{1},...,a_{m}\}$ dengan $\{b_{1},...,b_{k}\}$ tidak kosong) kemudian dapat dipandang sebagai dua unsur yang berbeda dalam suatu grup permutasi, sehingga komposisinya dapat dipandang sebagai perkalian dua buah permutasi. Untuk sebarang dua buah putaran saling lepas $\alpha ,\beta \in S_{n}$ , berlaku pula $\alpha \beta =\beta \alpha$ . ^[3]

Karena permutasi adalah suatu bijeksi, ia mempunyai invers. Misalkan $\sigma \in S_{n}$ suatu permutasi yang dinyatakan oleh matriks $\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&...&n\\\sigma (1)&\sigma (2)&...&\sigma (n)\end{pmatrix}}$ , invers dari $\sigma$ yang dinotasikan sebagai $\sigma ^{-1}$ dapat dihitung dengan menukar barisnya. Yaitu, $\sigma ^{-1}={\begin{pmatrix}\sigma (1)&\sigma (2)&...&\sigma (n)\\1&2&...&n\end{pmatrix}}$ .^[2]

Dekomposisi Putaran

Setiap permutasi pada grup permutasi $S_{n}$ dapat dinyatakan sebagai hasil kali putaran yang saling lepas ^[2]. Sebagai contoh, permutasi

\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\6&3&4&2&5&1\end{pmatrix}}

dapat ditulis sebagai $\sigma =(16)(234)(5)$ .

Dekomposisi permutasi menjadi putaran-putaran dapat digunakan untuk menentukan orde suatu unsur pada grup permutasi. Misalkan $\sigma \in S_{n}$ terdekomposisi menjadi putaran-putaran dengan panjang $a_{1},a_{2},...,a_{k}$ , orde dari $\sigma$ kemudian adalah kelipatan persekutuan terkecil dari $a_{1},a_{2},...,a_{k}$ . ^[2]

Teorema Cayley

Dalam teori grup, teorema Cayley mengatakan bahwa sebarang grup $G$ isomorfis dengan suatu subgrup dari Sym( $S$ ) untuk suatu $S$ . Untuk $G$ yang memiliki orde berhingga, berlaku $G$ isomorfis dengan grup permutasi $S_{n}$ .^[2]

Referensi

^ ^a ^b Durbin, John R. (2009). Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition. John Willey and Sons, Inc. ISBN 978-0470-38443-5.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Herstein, Israel Nathan (1995). Abstract Algebra, Third Edition.
^ Barra, Aleams (2015). Catatan Kuliah Struktur Aljabar.

[durbin-1] Durbin, John R. (2009). Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition. John Willey and Sons, Inc. ISBN 978-0470-38443-5.

[inh-2] Herstein, Israel Nathan (1995). Abstract Algebra, Third Edition.

[strukal_ab-3] Barra, Aleams (2015). Catatan Kuliah Struktur Aljabar.

[1]

[2]

[3]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
 Dalam matematika, khususnya [[aljabar]], suatu '''grup permutasi''' <math> G </math> adalah suatu [[grup_(matematika)|grup]] dengan unsur-unsurnya adalah [[permutasi]] dari suatu [[himpunan]] <math>M</math> dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym(<math>M</math>) (notasi Sym di sini bermakna ''Symmetric''). Khusus untuk himpunan <math>M = \{1, 2, ..., n\}</math>, grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai <math>S_n</math>. <ref name="durbin"> {{Cite book|title=Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition|publisher=John Willey and Sons, Inc|year=2009|isbn=978-0470-38443-5|last=Durbin|first=John R.}} </ref>
-Dari teorema Cayley, setiap grup dengan orde hingga isomorfis dengan grup permutasi <math>S_n</math>.
 ==Notasi==
@@ Baris 12: / Baris 10: @@
 :<math>\sigma=\begin{pmatrix}
 & 2 & 3 & ... & n \\
-\sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & ... & \sigma(n)\end{pmatrix}</math>.
+\sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & ... & \sigma(n)\end{pmatrix}</math>.<ref name="inh" />
-Urutan unsur-unsur pada baris pertama dapat ditulis sebarang asalkan konsisten (baris kedua adalah hasil pemetaan dari baris pertama di kolom yang sama). <ref name = "durbin" />
+Urutan unsur-unsur pada baris pertama dapat ditulis sebarang asalkan konsisten (baris kedua adalah hasil pemetaan dari baris pertama di kolom yang sama).
-Notasi seperti ini dapat diringkas menjadi notasi putaran. Suatu putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_n)</math> dengan panjang <math>n</math> melambangkan pemetaan <math>a_1 \mapsto a_2, a_2 \mapsto a_3, ..., a_{n-1} \mapsto a_n, a_n \mapsto a_1</math>. Sebagai contoh, tinjau permutasi <math>\sigma</math> pada grup permutasi <math>S_6</math> yang didefinisikan oleh
+Notasi seperti ini dapat diringkas menjadi notasi putaran. Suatu putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_n)</math> dengan panjang <math>n</math> melambangkan pemetaan <math>a_1 \mapsto a_2, a_2 \mapsto a_3, ..., a_{n-1} \mapsto a_n, a_n \mapsto a_1</math><ref name="durbin" />. Sebagai contoh, tinjau permutasi <math>\sigma</math> pada grup permutasi <math>S_6</math> yang didefinisikan oleh
 :<math>\sigma=\begin{pmatrix}
 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
 & 1 & 2 & 4 & 6 & 5\end{pmatrix}</math>.
 Untuk meringkas, notasi tersebut dapat ditulis menjadi <math>(1 3 2)(4)(5 6)</math> yang kemudian dapat diringkas lagi dengan menghilangkan setiap putaran dengan panjang 1 menjadi <math>(1 3 2)(5 6)</math>. Dua buah putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_m), (b_1, b_2, ..., b_k)</math> yang tidak saling lepas (yakni irisan himpunan <math>\{a_1, ..., a_m\}</math> dengan <math>\{b_1, ..., b_k\}</math> tidak kosong) kemudian dapat dipandang sebagai dua unsur yang berbeda dalam suatu grup permutasi, sehingga komposisinya dapat dipandang sebagai perkalian dua buah permutasi. Untuk sebarang dua buah putaran saling lepas <math>\alpha, \beta \in S_n</math>, berlaku pula <math>\alpha \beta = \beta \alpha </math>. <ref name = "strukal_ab"> {{Cite book|title=Catatan Kuliah Struktur Aljabar|year=2015|last=Barra|first=Aleams}}</ref>
+Karena permutasi adalah suatu [[bijeksi]], ia mempunyai invers. Misalkan <math>\sigma \in S_n</math>suatu permutasi yang dinyatakan oleh matriks <math>\sigma=\begin{pmatrix}
+& 2 & ... & n \\
+\sigma(1) & \sigma(2) & ... & \sigma(n) \end{pmatrix}</math>, invers dari <math>\sigma</math>yang dinotasikan sebagai <math>\sigma^{-1}</math>dapat dihitung dengan menukar barisnya. Yaitu, <math>\sigma^{-1} =\begin{pmatrix}
+\sigma(1) & \sigma(2) & ... & \sigma(n) \\
+& 2 & ... & n \end{pmatrix}</math>.<ref name="inh" />
 == Dekomposisi Putaran ==
@@ Baris 32: / Baris 39: @@
 ==Teorema Cayley==
-Dalam [[teori grup]], [[teorema Cayley]] mengatakan bahwa sebarang grup <math>G</math> isomorfis dengan suatu subgrup dari Sym(<math>S</math>) untuk suatu <math>S</math>. Untuk <math>G</math> yang memiliki orde berhingga, berlaku <math>G</math> isomorfis dengan grup permutasi <math>S_n</math> <ref name = "inh">{{Cite book|title=Abstract Algebra, Third Edition|year=1995|last=Herstein|first=Israel Nathan}}</ref>. Sebagai contoh, tinjau suatu grup <math>G</math> dengan unsur-unsurnya <math>\{e, a, b, c = ab = ba\}</math>. Dapat didefinisikan suatu isomorfisma <math> \phi: G \rightarrow S_4 </math> dengan <math>\phi(g) = f_g(x)</math> dan <math>f_g(x) = gx</math> suatu bijeksi dari <math>G</math> ke <math>G</math>. Kita dapatkan pemetaan tersebut dapat direpresentasikan sebagai putaran berikut:
+Dalam [[teori grup]], [[teorema Cayley]] mengatakan bahwa sebarang grup <math>G</math> isomorfis dengan suatu subgrup dari Sym(<math>S</math>) untuk suatu <math>S</math>. Untuk <math>G</math> yang memiliki orde berhingga, berlaku <math>G</math> isomorfis dengan grup permutasi <math>S_n</math>.<ref name = "inh">{{Cite book|title=Abstract Algebra, Third Edition|year=1995|last=Herstein|first=Israel Nathan}}</ref>
-:<math>\phi(e) = f_e(x) = (e)(a)(b)(c)</math>
-:<math>\phi(a) = f_a(x) = (ea)(bc)</math>
-:<math>\phi(b) = f_b(x) = (eb)(ac)</math>
-:<math>\phi(e) = f_c(x) = (ec)(ba)</math>
-Isomorfisma inilah yang dimaksudkan dalam teorema Cayley.
 ==Referensi==
 {{reflist}}

l b s Matematika (Bidang matematika)
Fondasi	Filsafat matematika Logika matematika Teori himpunan Teori informasi Teori kategori Teori tipe
Aljabar	Abstrak Elementer Homologis Komutatif Linear Multilinear Universal Teori grup Teori representasi
Analisis	Kalkulus Analisis fungsional Analisis harmonik Analisis kompleks Analisis real Persamaan diferensial Teori ukuran Teori sistem dinamis
Diskret	Kombinatorika Teori graf Teori order
Geometri	Aljabar Analitis Diferensial Diskrit Euklides Hingga Trigonometri
Komputasi	Analisis numerik (Topik) Ilmu komputer Komputasi simbolik Teori komputasi Teori kompleksitas komputasi Optimisasi matematika
Teori bilangan	Aritmetika Geometri Diophantine Teori bilangan aljabar Teori bilangan analitis
Topologi	Teori homotopi Aljabar Diferensial Geometris Umum
Terapan	Matematika biologi Matematika ekonomi Matematika keuangan Fisika matematis Kimia matematika Psikologi matematis Statistika Statistika matematika Teori peluang Ilmu sistem (Teori kendali, Teori permainan, Riset operasi)
Divisi	Matematika murni Matematika terapan Matematika diskret Matematika komputasi
Topik terkait	Matematika dan seni Matematika rekreasi Pendidikan matematika Sejarah matematika
Kategori Portal matematika Kerangka Daftar