Topologi

Sebuah Pita Möbius, objek penelitian dalam topologi.

Deformasi sebuah cangkir menjadi torus/donat

Topologi (dari bahasa Yunani τόπος, "tempat", dan λόγος, "ilmu") merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan tata ruang yang tidak berubah dalam deformasi dwikontinu (yaitu ruang yang dapat ditekuk, dilipat, disusut, direntangkan, dan dipilin, tetapi tidak diperkenankan untuk dipotong, dirobek, ditusuk atau dilekatkan). Karena sifat ini, topologi disebut pula geometri karet. Ia muncul melalui pengembangan konsep dari geometri dan teori himpunan, seperti ruang, dimensi, bentuk, dan transformasi.

Ide yang sekarang diklasifikasikan kedalam topologi telah dinyatakan semenjak 1736, dan pada akhir abad ke-19 sebuah ilmu yang jelas terpisah dikembangkan. Ilmu ini disebut dalam bahasa Latin sebagai geometria situs ( "geometri dari tempat") atau analisis situs (Yunani-Latin untuk "pengkajian tempat "), dan kemudian memperoleh nama mutakhir topologi. Di tengah-tengah abad ke-20, topologi telah menjadi salah satu cabang utama matematika.

Kata topologi digunakan baik untuk cabang matematika dan untuk keluarga himpunan dengan beberapa sifat yang digunakan untuk menentukan ruang topologi, objek dasar dari topologi. Beberapa yang penting adalah homeomorfisme yang dapat didefinisikan sebagai fungsi malar dengan balikan malar pula. Misalnya, fungsi y = 3x adalah homeomorfisme dari garis bilangan real ke dirinya sendiri.

Topologi mencakup banyak subbidang. Bagian yang paling mendasar dan tradisional dalam topologi adalah:

• Topologi titik-himpunan, yang menetapkan dasar aspek topologi dan menyelidiki konsep yang hakiki pada ruang topologi - contoh dasar adalah kekompakan dan kesinambungan.
• Topologi aljabar, yang umumnya mencoba untuk mengukur tingkat kesinambungan menggunakan konstruksi aljabar seperti kelompok homotopi, homologi
• Topologi geometris yang terutamanya mengkaji keragaman dan pembenamannya di keragaman lainnya.

Beberapa bidang yang paling aktif, seperti topologi dimensi rendah dan teori grafik, tidak muat dengan rapi dalam pembagian ini.

Definisi

Topologi dapat didefinisikan sebagai:

• Abstraksi geometri dimana konsep jarak absolut dibuang, dan kita melihat sub himpunan geometri tak tergantung ukuran, bentuk atau lokasi.
• Studi dasar-dasar teoritik himpunan untuk konsep fungsi kontinu.
• Studi himpunan yang memiliki beberapa ide "kedekatan" titik yang ditetapkan.

Topologi berkenaan dengan studi sifat-sifat topologi dari bentuk, yakni sifat yang tidak berubah dalam transformasi bikontinu satu-satu (disebut homeomorfisme).

Dua bentuk dapat dideformasi dari satu menjadi yang lain disebut homeomorfis, dan dipandang sama dari tinjauan topologi. Sebagai contoh, kubus padat dan bola padat adalah homeomorfis.

Akan tetapi, tidaklah mungkin untuk mendeformasi bola menjadi lingkaran oleh transformasi bikontinu satu-satu. Dimensi adalah sifat topologi. Dalam makna, sifat topologi adalah sifat bentuk yang lebih mendalam.

Konsep Dasar

Topologi terhadap Himpunan

Artikel Utama: Ruang topologi

Istilah topologi juga dipakai untuk sebuah ide matematis yang sangat pokok dalam sebuah cabang matematika yang disebut topologi. Secara sederhana, sebuah topologi memberikan deskripsi bagaimana anggota-anggota dalam sebuah himpunan saling terkait secara spasial (misal kedekatan antara 2 titik). Himpunan yang sama dapat pula diberikan topologi yang berbeda. Misalkan, garis bilangan real, bidang kompleks, dan himpunan Kantor dapat dianggap sebagai himpunan yang sama tetapi dengan topologi yang berbeda-beda (ketiganya memiliki kardinalitas yang sama).

Secara formal, misalkan X sebuah himpunan dan τ adalah keluarga subhimpunan dari X. Maka τ disebut topologi terhadap X jika:

1. Himpunan kosong dan X adalah anggota dari τ.$\emptyset ,X\in \tau$
2. Gabungan anggota-anggota dari τ dengan jumlah sembarang adalah anggota dari τ.$\forall {\mathcal {A}}\subset \tau :\bigcup _{A\in {\mathcal {A}}}A\in \tau$
3. Irisan anggota-anggota dari τ yang jumlahnya berhingga adalah anggota dari τ.$\forall n\in \mathbb {N} ,\forall A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\in \tau :\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\in \tau$

Jika τ adalah topologi terhadap X maka pasangan (X, τ) disebut ruang topologi.

Anggota dari τ disebut himpunan terbuka di dalam X. Sebuah subhimpunan A dari X disebut tertutup jika komplemennya ada di dalam τ (komplemennya terbuka, X ∖ A ϵ τ). Sebuah subhimpunan dari X dapat merupakan himpunan terbuka, tertutup, terbuka dan tertutup, atau tidak kedua-duanya. Himpunan kosong dan X sendiri masing-masing selalu tertutup dan terbuka. Sebuah subhimpunan N(x) dari X yang merupakan superhimpunan dari sebuah himpunan terbuka U yang memiliki sebagai salah satu anggotanya adalah x disebut tetangga dari x ($x\in U\subset N(x):U\in \tau$).

Homeomorfisme

Artikel Utama: Homeomorfisme

Dalam bidang topologi, homeomorfisme atau isomorfisme topologi (dari bahasa Yunani, homeos = identik dan morphe = bentuk) adalah isomorfisme khusus antara ruang topologi yang memenuhi sifat-sifat topologi. Dua ruang dengan homeomorfisme antara mereka disebut homeomorfis. Dari tinjauan topologi mereka adalah sama. Pengertian isomorfisme sendiri adalah kemiripan yang nampak antara dua makhluk yang sebenarnya memiliki asal-usul berbeda dan kelas yang berbeda.

Secara kasar dapat dikatakan, ruang topologi adalah objek geometri dan homeomorfisme adalah peregangan dan pembengkokan kontinu dari suatu objek menjadi objek bentuk baru. Jadi persegi dan lingkaran adalah homeomorfis. Dalam tinjauan topologi, cangkir bergagang satu dan kue donat adalah sama.

Sifat-sifat Topologi

Dalam topologi dan bidang matematika terkait, sifat topologi atau invarian topologi adalah sifat ruang topologi yang invarian dalam homeomorfisme. Jika diberikan dua ruang topologi X dan Y dan homeomorfisme f antara mereka, sifat topologi untuk sub himpunan A dari X berlaku jika dan hanya jika ia berlaku untuk f(A).

Soal umum dalam topologi adalah memutuskan apakah dua ruang topologi homeomorfis atau tidak homeomorfis. Untuk membuktikan bahwa dua ruang adalah homeomorfis, cukup untuk menemukan sifat topologi yang tidak terbagi oleh mereka.

Lihat pula

• Topologi jaringan

Pranala luar

• (Indonesia) A brief of topology