Persamaan Friedmann

Alexander Friedmann.

Persamaan Friedmann adalah serangkaian persamaan dalam bidang kosmologi fisik yang mengatur pengembangan ruang dalam model alam semesta yang homogen dan isotropik dalam konteks relativitas umum. Persamaan ini pertama kali dirumuskan oleh Alexander Friedmann pada tahun 1922 dari persamaan medan gravitasi untuk metrik Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker. Persamaan untuk kurvatur ruang negatif dirumuskan oleh Friedmann pada tahun 1924.

Persamaan

Terdapat dua persamaan independen untuk permodelan alam semesta yang homogen dan isotropik. Yang pertama adalah:

${\frac {{\dot {a}}^{2}+kc^{2}}{a^{2}}}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda c^{2}}{3}}$

yang berasal dari komponen 00 persamaan medan Einstein, sementara yang kedua adalah:

${\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}$

yang berasal dari yang pertama ditambah dengan jejak (trace) persamaan medan Einstein.$H\equiv {\frac {\dot {a}}{a}}$ adalah parameter Hubble, G, Λ, dan c adalah konstanta universal (G adalah konstanta gravitasi Newton, Λ adalah konstanta kosmologis, c adalah kecepatan cahaya dalam vakum). k adalah konstanta dalam solusi tertentu, namun mungkin berbeda antara satu solusi dengan solusi lainnya. a, H, ρ, dan p merupakan fungsi waktu.$k \over a^{2}$ adalah kurvatur ruang dalam irisan waktu (time-slice) alam semesta; angkanya sama dengan seperenam kurvatur Ricci karena $R={\frac {6}{c^{2}a^{2}}}({\ddot {a}}a+{\dot {a}}^{2}+kc^{2})$ dalam model Friedmann. Dapat dilihat bahwa dalam persamaan Friedmann, a(t) hanya bergantung pada ρ, p, Λ, dan kurvatur intrinsik k. Konstanta tersebut tidak bergantung pada sistem koordinat mana yang dipilih untuk irisan ruang.