Pertidaksamaan: Perbedaan antara revisi

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Bot: Perubahan kosmetika
k ganti sintaks matematika yang sudah usang sesuai dengan mw:Extension:Math/Roadmap
Baris 52: Baris 52:
: <math>x^2 - 3x - 10 = 0</math>
: <math>x^2 - 3x - 10 = 0</math>
: <math>(x + 2)(x - 5) = 0</math>
: <math>(x + 2)(x - 5) = 0</math>
: <math>x = -2 \or x = 5</math>
: <math>x = -2 \lor x = 5</math>


dibuat irisan
dibuat irisan
Baris 62: Baris 62:
|}
|}


: <math>HP = \{x|x < -2 \or x > 5, x \in R \}</math>
: <math>HP = \{x|x < -2 \lor x > 5, x \in R \}</math>


* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan <math>2 - x^2 \le x - 10</math>!
* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan <math>2 - x^2 \le x - 10</math>!
Baris 71: Baris 71:
: <math>x^2 + x - 12 = 0</math>
: <math>x^2 + x - 12 = 0</math>
: <math>(x + 4)(x - 3) = 0</math>
: <math>(x + 4)(x - 3) = 0</math>
: <math>x = -4 \or x = 3</math>
: <math>x = -4 \lor x = 3</math>


dibuat irisan
dibuat irisan
Baris 81: Baris 81:
|}
|}


: <math>HP = \{x|x \le -4 \or x \ge 3, x \in R \}</math>
: <math>HP = \{x|x \le -4 \lor x \ge 3, x \in R \}</math>


=== Pertidaksamaan Akar ===
=== Pertidaksamaan Akar ===
Baris 97: Baris 97:
: <math>x^2 - 3x - 10 = 0</math>
: <math>x^2 - 3x - 10 = 0</math>
: <math>(x + 2)(x - 5) = 0</math>
: <math>(x + 2)(x - 5) = 0</math>
: <math>x = - 2 \or x = 5</math>
: <math>x = - 2 \lor x = 5</math>


dibuat irisan
dibuat irisan
Baris 116: Baris 116:
: <math>x^2 - 4x = 0</math>
: <math>x^2 - 4x = 0</math>
: <math>x(x - 4) = 0</math>
: <math>x(x - 4) = 0</math>
: <math>x = 0 \or x = 4</math>
: <math>x = 0 \lor x = 4</math>


dibuat irisan
dibuat irisan
Baris 126: Baris 126:
|}
|}


: <math>x \le 0 \or x \ge 4</math>
: <math>x \le 0 \lor x \ge 4</math>


; akar 2
; akar 2
Baris 145: Baris 145:
|}
|}


: <math>HP = \{x|-2 < x \le 0 \or 4 \le x < 5, x \in R \}</math>
: <math>HP = \{x|-2 < x \le 0 \lor 4 \le x < 5, x \in R \}</math>


* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan <math>\sqrt {x^2 - 4} \ge \sqrt {3x + 50}</math>!
* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan <math>\sqrt {x^2 - 4} \ge \sqrt {3x + 50}</math>!
Baris 156: Baris 156:
: <math>x^2 - 3x - 54 = 0</math>
: <math>x^2 - 3x - 54 = 0</math>
: <math>(x + 6)(x - 9) = 0</math>
: <math>(x + 6)(x - 9) = 0</math>
: <math>x = -6 \or x = 9</math>
: <math>x = -6 \lor x = 9</math>


dibuat irisan
dibuat irisan
Baris 166: Baris 166:
|}
|}


: <math>x \le -6 \or x \ge 9</math>
: <math>x \le -6 \lor x \ge 9</math>


karena ada syarat akar maka:
karena ada syarat akar maka:
Baris 175: Baris 175:
: <math>x^2 - 4 = 0</math>
: <math>x^2 - 4 = 0</math>
: <math>(x + 2)(x - 2) = 0</math>
: <math>(x + 2)(x - 2) = 0</math>
: <math>x = - 2 \or x = 2</math>
: <math>x = - 2 \lor x = 2</math>


dibuat irisan
dibuat irisan
Baris 185: Baris 185:
|}
|}


: <math>x \le -2 \or x \ge 2</math>
: <math>x \le -2 \lor x \ge 2</math>


; akar 2
; akar 2
Baris 203: Baris 203:
|}
|}


: <math>HP = \{x|2 < x \le 0 \or 4 \le x < 5, x \in R \}</math>
: <math>HP = \{x|2 < x \le 0 \lor 4 \le x < 5, x \in R \}</math>


=== Pertidaksamaan Pecahan ===
=== Pertidaksamaan Pecahan ===
Baris 236: Baris 236:
|}
|}


: <math>HP = \{x|2 < x < \frac{11}{4} \or x > 3, x \in R \}</math>
: <math>HP = \{x|2 < x < \frac{11}{4} \lor x > 3, x \in R \}</math>


* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan <math>\frac{x + 6}{x + 17} \ge \frac{1}{x - 3}</math>!
* Tentukan nilai x dari pertidaksamaan <math>\frac{x + 6}{x + 17} \ge \frac{1}{x - 3}</math>!
Baris 249: Baris 249:
: <math>x^2 + 2x - 35 = 0</math>
: <math>x^2 + 2x - 35 = 0</math>
: <math>(x + 7)(x - 5) = 0</math>
: <math>(x + 7)(x - 5) = 0</math>
: <math>x = - 7 \or x = 5</math> (tanpa gambar irisan)
: <math>x = - 7 \lor x = 5</math> (tanpa gambar irisan)


karena ada syarat pecahan maka:
karena ada syarat pecahan maka:
Baris 268: Baris 268:
|}
|}


: <math>HP = \{x|x < -17 \or -7 \le x < 3 \or x \ge 5, x \in R \}</math>
: <math>HP = \{x|x < -17 \lor -7 \le x < 3 \lor x \ge 5, x \in R \}</math>


=== Pertidaksamaan Mutlak ===
=== Pertidaksamaan Mutlak ===
Baris 275: Baris 275:
haruslah mempunyai dua nilai yaitu
haruslah mempunyai dua nilai yaitu


: <math>| f(x) | = \left\{\begin{matrix} | f(x) | < g(x), & \mbox {maka penyelesaian} -g(x) < f(x) < g(x) \\ \\ | f(x) | > g(x), & \mbox {maka penyelesaian} f(x) < -g(x) \or f(x) > g(x) \end{matrix}\right.</math>
: <math>| f(x) | = \left\{\begin{matrix} | f(x) | < g(x), & \mbox {maka penyelesaian} -g(x) < f(x) < g(x) \\ \\ | f(x) | > g(x), & \mbox {maka penyelesaian} f(x) < -g(x) \lor f(x) > g(x) \end{matrix}\right.</math>


Pertidaksamaan mutlak akan memungkinkan definit + dan - karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y.
Pertidaksamaan mutlak akan memungkinkan definit + dan - karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y.
Baris 296: Baris 296:
: <math>x^2 + x - 12 = 0</math>
: <math>x^2 + x - 12 = 0</math>
: <math>(x + 4)(x - 3) < 0</math>
: <math>(x + 4)(x - 3) < 0</math>
: <math>x = -4 \or x = 3</math>
: <math>x = -4 \lor x = 3</math>


dibuat irisan
dibuat irisan
Baris 322: Baris 322:
: <math>x^2 - 4x - 12 = 0</math>
: <math>x^2 - 4x - 12 = 0</math>
: <math>(x + 2)(x - 6) = 0</math>
: <math>(x + 2)(x - 6) = 0</math>
: <math>x = -2 \or x = 6</math>
: <math>x = -2 \lor x = 6</math>


dibuat irisan
dibuat irisan
Baris 332: Baris 332:
|}
|}


: <math>x \le -2 \or x \ge 6</math>
: <math>x \le -2 \lor x \ge 6</math>


; batasan -f(x)
; batasan -f(x)
Baris 340: Baris 340:
: <math>x^2 - 4x - 12 = 0</math>
: <math>x^2 - 4x - 12 = 0</math>
: <math>(x +2)(x - 6) = 0</math>
: <math>(x +2)(x - 6) = 0</math>
: <math>x = -2 \or x = 6</math>
: <math>x = -2 \lor x = 6</math>


dibuat irisan
dibuat irisan
Baris 385: Baris 385:
: <math>x^2 + 2x - 24 = 0</math>
: <math>x^2 + 2x - 24 = 0</math>
: <math>(x + 6)(x - 4) = 0</math>
: <math>(x + 6)(x - 4) = 0</math>
: <math>x = -6 \or x = 4</math>
: <math>x = -6 \lor x = 4</math>


dibuat irisan
dibuat irisan
Baris 407: Baris 407:
: <math>x^2 - 10x = 0</math>
: <math>x^2 - 10x = 0</math>
: <math>x(x - 10) = 0</math>
: <math>x(x - 10) = 0</math>
: <math>x = 0 \or x = 10</math>
: <math>x = 0 \lor x = 10</math>


dibuat irisan
dibuat irisan
Baris 429: Baris 429:
: <math>x^2 + 2x = 0</math>
: <math>x^2 + 2x = 0</math>
: <math>x(x + 2) = 0</math>
: <math>x(x + 2) = 0</math>
: <math>x = 0 \or x = -2</math>
: <math>x = 0 \lor x = -2</math>


dibuat irisan
dibuat irisan
Baris 450: Baris 450:
: <math>\varnothing</math>
: <math>\varnothing</math>


: <math>HP = \{x|x \le -6 \or 0 \le x \le \frac{7}{6}, x \in R \}</math>
: <math>HP = \{x|x \le -6 \lor 0 \le x \le \frac{7}{6}, x \in R \}</math>


gabungkan ketiga batas-batas. jadi:
gabungkan ketiga batas-batas. jadi:
: <math>HP = \{x|-\frac{11}{5} \le x < -\frac{4}{3} \or -\frac{4}{3} \le x \le 3, x \in R \}</math>
: <math>HP = \{x|-\frac{11}{5} \le x < -\frac{4}{3} \lor -\frac{4}{3} \le x \le 3, x \in R \}</math>
: <math>HP = \{x|-\frac{11}{5} \le x \le 3, x \in R \}</math>
: <math>HP = \{x|-\frac{11}{5} \le x \le 3, x \in R \}</math>


Baris 485: Baris 485:
: <math>x^2 + 3x - 18 = 0</math>
: <math>x^2 + 3x - 18 = 0</math>
: <math>(x + 6)(x - 3) = 0</math>
: <math>(x + 6)(x - 3) = 0</math>
: <math>x = -6 \or x = 3</math> (tanpa gambar irisan)
: <math>x = -6 \lor x = 3</math> (tanpa gambar irisan)


karena ada syarat pecahan maka:
karena ada syarat pecahan maka:
Baris 517: Baris 517:
: <math>x^2 -7x + 10 = 0</math>
: <math>x^2 -7x + 10 = 0</math>
: <math>(x - 2)(x - 5) = 0</math>
: <math>(x - 2)(x - 5) = 0</math>
: <math>x = 2 \or x = 5</math>
: <math>x = 2 \lor x = 5</math>


dibuat irisan
dibuat irisan
Baris 527: Baris 527:
|}
|}


: <math>x \le 2 \or x \ge 5</math>
: <math>x \le 2 \lor x \ge 5</math>


karena ada syarat akar maka:
karena ada syarat akar maka:
Baris 536: Baris 536:
: <math>x^2 - 4x = 0</math>
: <math>x^2 - 4x = 0</math>
: <math>x(x - 4) = 0</math>
: <math>x(x - 4) = 0</math>
: <math>x = 0 \or x = 4</math>
: <math>x = 0 \lor x = 4</math>


dibuat irisan
dibuat irisan
Baris 546: Baris 546:
|}
|}


: <math>x \le 0 \or x \ge 4</math>
: <math>x \le 0 \lor x \ge 4</math>


; akar 2
; akar 2

Revisi per 18 November 2018 19.59

Daerah "feasible" dalam pemrograman linear merupakan kumpulan dari beberapa pertidaksamaan.

Pertidaksamaan dalam matematika adalah kalimat/pernyataan matematika yang menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih. Dua notasi dasar dalam pertidaksamaan adalah:

Notasi pertidaksamaan

Notasi Arti Contoh
< lebih kecil
kurang dari
2 < 3
x + 1 < 3
> lebih besar
lebih dari
3 > 2
3x + 1 > 5
lebih kecil atau sama dengan
batas dibawah
maksimum
maksimal
sebanyaknya
paling banyak
tidak lebih dari
sekurangnya
2 ≤ 3
x + 1 ≤ 3
lebih besar atau sama dengan
batas diatas
minimum
minimal
sesedikitnya
paling sedikit
tidak kurang dari
selebihnya
3 ≥ 2
3x + 1 ≥ 5
tidak sama dengan 2 ≠ 3
x + 1 ≠ 3
a < x < b diantara a dan b 2 < x < 5
a ≤ x < b diantara a dan b bila nilai minimal a 2 ≤ x < 5
a < x ≤ b diantara a dan b bila maksimal b 2 < x ≤ 5
a ≤ x ≤ b diantara a dan b bila minimal a dan maksimal b 2 ≤ x ≤ 5

Jenis-jenis pertidaksamaan

Pertidaksamaan Linear

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
(karena nilai negatif maka tanda harus terbalik)

Pertidaksamaan Kuadrat

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !

dibuat harga nol

dibuat irisan

-2 5
+++ N/A ---- N/A +++
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !

dibuat harga nol

dibuat irisan

(-4) (3)
+++ N/A ---- N/A +++

Pertidaksamaan Akar

Dalam bentuk pertidaksamaan akar sebagai berikut:

atau

haruslah mempunyai syarat yaitu f(x) ≥ 0.

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !

dibuat harga nol

dibuat irisan

-2 5
+++ N/A ---- N/A +++

karena ada syarat akar maka:

akar 1

dibuat harga nol

dibuat irisan

0 4
+++ N/A ---- N/A +++
akar 2

gabungkan umum dan syarat

irisan -2 (0) (4) 5 (10)
pertama tidak N/A ya N/A ya N/A ya N/A tidak N/A tidak
kedua ya N/A ya N/A tidak N/A ya N/A ya N/A ya
ketiga ya N/A ya N/A ya N/A ya N/A ya N/A tidak
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !

dibuat harga nol

dibuat irisan

(-6) (9)
+++ N/A ---- N/A +++

karena ada syarat akar maka:

akar 1

dibuat harga nol

dibuat irisan

(-2) (2)
+++ N/A ---- N/A +++
akar 2

gabungkan umum dan syarat

irisan (-50/3) (-6) (-2) (2) (9)
pertama ya N/A ya N/A tidak N/A tidak N/A tidak N/A ya
kedua ya N/A ya N/A ya N/A tidak N/A ya N/A ya
ketiga tidak N/A ya N/A ya N/A ya N/A ya N/A ya

Pertidaksamaan Pecahan

Dalam bentuk pertidaksamaan pecahan sebagai berikut:

atau

haruslah mempunyai syarat yaitu penyebut atau g(x) ≠ 0.

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1
penyebut 2

dibuat irisan

2 11/4 3
+++ N/A ---- N/A +++ N/A ----
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !

dibuat harga nol

(tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1
penyebut 2

dibuat irisan

-17 (-7) 3 (5)
+++ N/A ---- N/A +++ N/A ---- N/A +++

Pertidaksamaan Mutlak

Dalam bentuk pertidaksamaan mutlak sebagai berikut:

atau

haruslah mempunyai dua nilai yaitu

Pertidaksamaan mutlak akan memungkinkan definit + dan - karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y.

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !

karena f(x) < g(x) maka penyelesaian -g(x) < f(x) < g(x)

untuk
definit +
untuk

dibuat harga nol

dibuat irisan

-4 3
+++ N/A ---- N/A +++
  • Tentukan nilai x dari persamaan !
terlebih dahulu untuk mempunyai batas-batas yang ada
untuk | x^2 - 4x - 12 |
batasan f(x)

dibuat harga nol

dibuat irisan

-2 6
+++ N/A ---- N/A +++
batasan -f(x)

dibuat harga nol

dibuat irisan

-2 6
+++ N/A ---- N/A +++
untuk | 7 - 6x |
batasan f(x)
batasan -f(x)

keempat batas-batas akan dibuat irisan

irisan -2 7/6 6
pertama x^2 - 4x - 12 N/A N/A N/A x^2 - 4x - 12
kedua N/A -(x^2 - 4x - 12) N/A -(x^2 - 4x - 12) N/A
ketiga 7 - 6x N/A 7 - 6x N/A N/A
keempat N/A N/A -(7 - 6x) N/A -(7 - 6x)
untuk x <= -2

dibuat harga nol

dibuat irisan

(-6) (-2) (4)
Ya N/A Ya N/A Tidak N/A Tidak
+++ N/A ---- N/A ---- N/A +++
untuk -2 < x <= 7/6

dibuat harga nol

dibuat irisan

-2 (0) (7/6) (10)
Tidak N/A Ya N/A Ya N/A Tidak N/A Tidak
+++ N/A +++ N/A ---- N/A ---- N/A +++
untuk 7/6 < x < 6

dibuat harga nol

dibuat irisan

(-2) (0) 7/6 6
Tidak N/A Tidak N/A Tidak N/A Ya N/A Tidak
+++ N/A ---- N/A +++ N/A +++ N/A +++

untuk x >= 6

definit +

gabungkan ketiga batas-batas. jadi:

  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !
akar dari
definit +

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1
penyebut 2
akar dari

dibuat harga nol

(tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:

penyebut 1
penyebut 2

dibuat irisan

-6 2* 3 10*
+++ N/A ---- N/A ---- N/A +++ N/A +++
nb: * = mempunyai 2 akar
  • Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !

dibuat harga nol

dibuat irisan

2 5
+++ N/A ---- N/A +++

karena ada syarat akar maka:

akar 1

dibuat harga nol

dibuat irisan

0 4
+++ N/A ---- N/A +++
akar 2

gabungkan umum dan syarat

irisan (0) (2) (10/3) (4) (5)
pertama ya N/A ya N/A tidak N/A tidak N/A tidak N/A ya
kedua ya N/A tidak N/A tidak N/A tidak N/A ya N/A ya
ketiga tidak N/A tidak N/A tidak N/A ya N/A ya N/A ya

Lihat pula