Irisan (teori himpunan)

Irisan dari dua himpunan $A$ dan $B$, dinyatakan melalui lingkaran. Warna merah menyatakan anggota dari $A\cap B$.

Dalam matematika, irisan dari dua himpunan $A$ dan $B$ adalah himpunan yang memuat semua anggota dari $A$ juga milik $B$ (atau, semua anggota dari $B$ yang juga milik $A$). Irisan dari kedua himpunan tersebut dinyatakan secara matematis:

$A\cap B$,

Notasi dan istilah

Irisan ditulis menggunakan simbol "∩" di antara ekspresi berupa kumpulan anggota-anggota, dalam notasi infiks. Berikut adalah contoh-contohnya:

$\{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}$

$\{1,2,3\}\cap \{1,5,10\}\cap \{1,4,9\}=\{1\}$

$\{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\emptyset$

$\mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N}$

$\{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}$

Ketika irisan terjadi lebih dari dua himpunan (irisan yang diperumum), notasinya mirip seperti notasi Sigma, yang ditulis sebagai

$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$.

Definisi

Irisan dari huruf Yunani, Latin, dan Rusia, hanya dipandang sebagai bentuk-bentuk dari huruf-huruf dan mengabaikan pengucapannya.

Contoh irisan dari himpunan.

Irisan dari dua himpunan $A$ dan $B$, dilambangkan dengan $A\cap B$, merupakan himpunan dari semua objek yang merupakan anggota dari kedua himpunan $A$ dan $B$. Secara matematis, ditulis

$A\cap B=\{x:x\in A{\text{ dan }}x\in B\}.$

Hal ini mengartikan bahwa $x$ adalah anggota dari irisan $A\cap B$ jika dan hanya jika $x$ adalah anggota dari $A$ dan anggota dari $B$. Sebagai contohː

• Irisan dari himpunan $\{1,2,3\}$ dan $\{2,3,4\}$ adalah $\{2,3\}$.
• Bilangan 9 bukanlah irisan dari himpunan bilangan prima $\{2,3,5,7,11,\dots \}$ dan himpunan bilangan ganjil $\{1,3,5,7,9,11,\dots \}$, karena 9 bukanlah bilangan prima.

Himpunan beririsan dan saling lepas

Himpunan $A$ dikatakan beririsan dengan himpunan $B$ jika terdapat $x$ yang merupakan anggota dari himpunan $A$ dan $B$.

Himpunan $A$ dan $B$ dikatakan saling lepas jika $A$ tidak beririsan dengan $B$. Penjelasan yang lebih sederhananya, kedua himpunan tersebut tidak memiliki anggota yang sama. Himpunan $A$ dan $B$ saling lepas jika irisannya adalah kosong, dilambangkan $A\cap B=\varnothing$.

Sebagai contoh, himpunan $\{1,2\}$ dan $\{3,4\}$ saling lepas, sedangkan himpunan bilangan genap beririsan dengan himpunan kelipatan dari 3 di himpunan kelipatan 6.

Sifat aljabar

Irisan dari tiga himpunan $~A\cap B\cap C$

• Irisan adalah operasi yang bersifat komutatif; yaitu, untuk setiap himpunan $A$ dan $B$, berlaku:
  $A\cap B=B\cap A$.
• Irisan adalah operasi yang bersifat asosiatif; yaitu, untuk setiap himpunan $A$, $B$, dan $C$, berlaku:
  $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$.
  Berdasarkan sifat ini, penulisan lambang kurung boleh diabaikan sama sekali tanpa mengubah makna; sehingga bentuk di atas dapat ditulis sebagai $A\cap B\cap C$.
• Irisan bersifat idempoten; yakni, untuk sebarang himpunan $A$ berlaku
  $A\cap A=A$

Sifat-sifat tersebut bersesuaian dengan logika konjungsi

• Irisan bersifat distributif terhadap gabungan dan gabungan bersifat distributif terhadap irisan; yaitu, untuk setiap himpunan $A$ dan $B$, berlaku:
  $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$.
  $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$.
• Dalam semesta $U$, komplemen $A^{\complement }$ dari himpunan $A$ dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua anggota dari $U$ yang tidak termuat dalam $A$. Selanjutnya, irisan dari $A$ dan $B$ dapat ditulis sebagai komplemen dari gabungan dari komplemennya, diturunkan dengan mudah dari hukum de Morganː
  $$A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}.$$

Irisan sebarang

Perumuman gagasan irisan adalah irisan sebarang kumpulan takkosong himpunan-himpunan. Jika $M$ adalah himpunan bukan kosong yang anggotanya adalah himpunan juga, maka $x$ adalah anggota dari irisan dari $M$ jika dan hanya jika untuk setiap anggota $A$ dari $M$, $x$ adalah sebuah anggota dari $A$. Secara matematis ditulisː

$\left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right)$.

Notasi mengenai konsep terakhir ini dapat ditulis dengan berbagai cara. Sebagian pakar teori himpunan terkadang menulis ${\textstyle \bigcap M}$, sementara yang lainnya menulis ${\textstyle \bigcap _{A\in M}A}$. Penulisan notasi terakhir dapat diperumum menjadi ${\textstyle \bigcap _{i\in I}A_{i}}$, yang mengacu pada irisan kumpulan $\{A_{i}:i\in I\}$. Dalam notasi terakhir itu, $I$ adalah himpunan takkosong, dan $A_{i}$ adalah sebuah himpunan dari setiap $i$ dalam $I$.

Pada sebuah kasus bahwa himpunan indeks $I$ adalah himpunan bilangan asli, notasi irisan sembarang mirip dengan notasi darab takterhingga.

$\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}$.

Notasi tersebut juga dapat ditulis $A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \dots$.

Irisan kosong

Konjungsi dari argumen dalam tanda kurung.

Konjungsi tanpa argumen adalah tautologi (bandingkan darab kosong); demikian irisan tanpa himpunan adalah semesta.

Perhatikan bahwa dalam bagian sebelumnya, kita mengecualikan kasus untuk $M$ adalah himpunan kosong ($\varnothing$). Alasannya adalah bahwa Irisan dari kumpulan $M$ didefinisikan sebagai himpunan (lihat notasi ungkapan himpunan)

$\bigcap _{A\in M}A=\{x:\forall A\in M,x\in A\}.$

Jika $M$ kosong, maka tidak ada himpunan $A$ dalam $M$. Hal ini memunculkan sebuah pertanyaan: "$x$ manakah yang memenuhi syarat yang disebutkan?". Jawabannya bisa saja untuk setiap kemungkinan $x$. Ketika $M$ kosong, syarat yang disebutkan di atas merupakan sebuah contoh dari kebenaran yang hampa. Jadi, irisan dari keluarga kosong harus berupa himpunan semesta (anggota identitas untuk operasi dari irisan) , namun dalam teori himpunan (Zermelo-Fraenkel) standar, himpunan semesta tidak ada.

Lihat pula

• Aljabar himpunan
• Beda setangkup
• Gabungan
• Irisan graf
• Kardinalitas
• Komplemen
• Logika konjungsi
• MinHash
• Operasi biner teriterasi
• Teori himpunan naif

Bacaan lanjutan

• Devlin, K. J. (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (edisi ke-Second). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4. 
• Munkres, James R. (2000). "Set Theory and Logic". Topology (edisi ke-Second). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2. 
• Rosen, Kenneth (2007). "Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums". Discrete Mathematics and Its Applications (edisi ke-Sixth). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0. 

Pranala luar

• Weisstein, Eric W. "Intersection". MathWorld.