Homologi (matematika)

Dalam matematika, istilah homologi, awalnya dikenalkan pada topologi aljabar, memiliki tiga penggunaan yang saling berhubungan. Penggunaan paling langsung terhadap istilah ini adalah mengambil homologi dari kompleks rantai, yang menghasilkan barisan grup Abelian yang disebut sebagai grup homologi. Operasi ini memungkinkan penggunaan nama homologi dan teori homologi pada berbagai tipe dari objek matematika. Terakhir, karena banyak teori homologi untuk ruang topologis yang menghasilkan jawaban yang sama, matematikawan sering menyebutkan tentang homologi dari ruang topologis. Terdapat pula gagasan tentang kohomologi dari kompleks korantai yang memunculkan beberapa teori kohomologi, sebagai tambahan terhadap gagasan kohomologi dari ruang topologis.

Homologi dari kompleks rantai

Untuk mendapatkan homologi dari kompleks rantai, kita dapat memulai dengan kompleks rantai, yang adalah barisan (C _• , d _• ) dari grup Abelian C_n (yang elemennya disebut sebagai rantai) yang maka komposisi dari dua peta berurutan adalah nol:

$C_{\bullet }:\cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots ,\quad d_{n}\circ d_{n+1}=0.$

Grup homologi H_n ke-n dari kompleks rantai ini adalah grup hasil bagi H_n = Z_n / B_n dari siklus batas modulo, dengan grup siklus Z_n ke-n diberikan dengan subgrup kernel Z_n := ker d_n := { c ∈ C_n | d_n(c) = 0 }, dan grup batas B_n ke-n diberikan sebagai bayangan subgrup B_n := im d_{n + 1} := { d_{n + 1}(c) | c ∈ C_{n + 1} }. Kita juga dapat memberikan tambahan struktur pada kkompleks rantai, misalnya dengan menambahkan grup C_n menjadi modul terhadap gelanggang koefisien R, dan mengambil peta batas d_n menjadi modul homomorfisme R, menghasilkan grup homologi H_n yang juga merupakan modul hasil bagi. Perkakas dari aljabar homologis dapat juga digunakan menghubungkan grup homologi dari beberapa kompleks rantai yang berbeda.

Teori homologi

Untuk mengasosiasikan teori homologi pada objek matematika lainnya, kita pertama harus membuat "resep" untuk mengasosiasikan kompleks rantai pada objek tersebut, dan lalu mengambil homologi pada kompleks rantai tersebut. Agar homologi teori menjadi valid, seluruh kompleks rantai yang diasosiasikan pada objek matematika tersebut harus memiliki homologi yang sama. Hasil teori homologi tersebut seringkali dinamakan berdasarkan tipe dari kompleks rantai yang dibuat. Misalnya, homologi tunggal, homologi Morse, homologi Khovanov, dan homologi Hochschild masing-masing didapatkan dari kompleks rantai tunggal, Morse, Khovanov, dan Hochschild. Pada kasus lain, misalnya grup homologi, terdapat berbagai metode umum untuk menghitung grup homologi yang sama.

Pada area teori kategori, teori homologi adalah tipe dari fungtor dari kategori dari objek matematika yang dipelejari pada kategori grup Abelian dan grup homomorfisme, atau lebih umumnya pada kategori yang sesuai dengan kompleks rantai yang diasosiasikan. Kita dapat memformulasikan teori homologi sebagai fungtor yang diturunkan pada kategori abelian yang sesuai. Hal ini dapat dilakukan untuk mengukur kegagalan dari fungtor yang sesuai sebagai eksak. Kita dapat mendeskripsikan konstruksi terakhir tersebut lebih eksplisit menurut resolusi, atau lebih abstrak dari perspektif Kategori yang diturunkan atau kategori model.

Terlepas dari bagaimana mereka diformulasikan, teori homologi membantu memberikan informasi tentang struktur dari objek matematika yang diasosiasikan padanya, dan kadang dapat membantu membedakan objek yang berbeda.

Contoh informal

Untuk grup homologi untuk grafik, lihat homologi grafik.

Homologi dari ruang topologis X adalah himpunan dari invarian topologis dari X yang direpresentasikan oleh grup homologinya:

$$H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots$$

dengan grup homologi H_k(X) ke-k mendeskripsikan, secara informal, jumlah lubang pada X dengan batas dimensi k. Sebuah lubang batas dimensi 0 secara sederhana adalah celah antara dua komponen. Konsekuensinya, H₀(X) mendeskripsikan komponen yang terhubung jalur dari X.

Lingkaran dari bola-1 S¹

Bola-2 S² adalah cangkang luar, bukan bagian dalam, dari bola.

Sebuah bola satu dimensi S¹ adalah lingkaran. Hal ini memiliki satu komponen yang terkoneksi dan satu lubang batas satu dimensi, tetapi tidak ada lubang dengan dimensi lebih tinggi. Grup homologi yang sesuai diberikan sebagai

$$H_{k}\left(S^{1}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\\{0\}&{\text{lainnya}}\end{cases}}$$

dengan Z adalah grup dari bilangan bulat dan {0} adalah grup trivial. Grup H₁(S¹) = Z merepresentasikan Grup abelian yang dihasilkan hingga, dengan satu generator tunggal merepresentasikan lubang satu dimensi yang terkandung pada lingkaran.

Bola dua dimensi s² memiliki satu komponen terkoneksi, tidak ada lubang batas dimensi satu, dan sebuah lubang batas dimensi dua, dan tidak ada lubang dimensi lebih tinggi. Grup homologi yang sesuai adalah

$$H_{k}\left(S^{2}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\{0\}&{\text{lainnya}}\end{cases}}$$

Secara umum, untuk bola berdimensi n Sⁿ, grup homologi adalah

$$H_{k}\left(S^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{lainnya}}\end{cases}}$$

Cakram pejal atau bola-2 B²

Torys T = S¹ × S¹

Bola dua dimensi B² adalah cakram pejal. Bola ini memiliki komponen jalur-terhubung, tapi tidak seperti lingkaran, tidak memiliki lubang dimensi lebih tinggi. Grup homologi yang sesuai adalah trivial kecuali untuk H₀(B²) = ℤ. Secara umum, untuk sebuah bola berdimensi n Bⁿ,

$$H_{k}\left(B^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\{0\}&{\text{lainnya}}\end{cases}}$$

Torus didefinisikan sebagai produk dari dua lingkaran T² = S¹ × S¹. Torus memiliki satu komponen jalur terhubung, dua lubang satu dimensi independen (diindikasikan ooleh lingkaran dengan merah dan biru) dan satu lubang dua dimensi sebagai interior dari torus. Grup homologi yang sesuai adalah $$H_{k}(T^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\\{0\}&{\text{lainnya}}\end{cases}}$$

Jika produk n dari ruang topologis X ditulis sebagai Xⁿ, maka secara umum, untuk torus berdimensi n Tⁿ = (S¹)ⁿ,

$$H_{k}(T^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}&0\leq k\leq n\\\{0\}&{\text{lainnya}}\end{cases}}$$

(Lihat Torus § torus berdimmensi n dan Nomor Betti § Lebih banyak contoh untuk lebih detailnya).

Dua lubang dimensi 1 independen membentuk generator independen pada grup Abelian yang dibuat terbatas, diekspresikan sebagai produk grup ℤ × ℤ.

Untuk bidang proyektif P, sebuah perhitungan sederhana (dengan ℤ₂ adalah grup siklik dengan orde 2):

$$H_{k}(P)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{lainnya}}\end{cases}}$$

H₀(P) = ℤ menyesuaikan, seperti contoh sebelumnya, kepada fakta bahwa terdapat sebuah komponen terkoneksi tunggal. H₁(P) = ℤ₂ adalah fenomena baru: secara intuitif, hal ini sesuai dengan fakta bahwa terdapat sebuah "pengulangan" yang tidak dapat dikecilkan, tapi jika kita membuat pengulangan tersebut dua kali, ia menjadi dapat dikecilkan menjadi nol. Fenomena ini disebut sebagai torsi.

Bacaan lebih lanjut

• Cartan, Henri Paul; Eilenberg, Samuel (1956). Homological Algebra. Princeton mathematical series. Vol. 19. Princeton University Press. ISBN 9780674079779. OCLC 529171. Pemeliharaan CS1: Ref menduplikasi bawaan (link)
• Edelsbrunner, Herbert; Harer, John L. (2010). "Computational Topology: An Introduction". American Mathematical Society. Pemeliharaan CS1: Ref menduplikasi bawaan (link)
• Eilenberg, Samuel; Moore, J.C. (1965). Foundations of relative homological algebra. Memoirs of the American Mathematical Society number. Vol. 55. American Mathematical Society. ISBN 9780821812556. OCLC 1361982. Pemeliharaan CS1: Ref menduplikasi bawaan (link)
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre, ed. (2010), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, ISBN 9781400830398.
• Hatcher, A. (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0. Detailed discussion of homology theories for simplicial complexes and manifolds, singular homology, etc.
• Hilton, Peter (1988), "A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century", Mathematics Magazine, 60 (5), Mathematical Association of America: 282–291, doi:10.1080/0025570X.1988.11977391, JSTOR 2689545
• Kaczynski, Tomasz; Mischaikow, Konstantin; Mrozek, Marian (2004). Computational Homology. Springer. ISBN 9780387215976.
• Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University.
• Spanier, Edwin H. (1966), Algebraic Topology, Springer, hlm. 155, ISBN 0-387-90646-0.
• Stillwell, John (1993), "Homology Theory and Abelianization", Classical Topology and Combinatorial Group Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 72, Springer, hlm. 169–184, doi:10.1007/978-1-4612-4372-4_6, ISBN 978-0-387-97970-0.
• Teicher, M., ed. (1999), The Heritage of Emmy Noether, Israel Mathematical Conference Proceedings, Bar-Ilan University/American Mathematical Society/Oxford University Press, ISBN 978-0-19-851045-1, OCLC 223099225
• Weibel, Charles A. (1999), "28. History of Homological Algebra" (PDF), dalam James, I. M. (ed.), History of Topology, Elsevier, ISBN 9780080534077.